Уравнение Танаки

Не путать с формулой Танаки .

В математике . уравнение Танаки является примером стохастического дифференциального уравнения , которое допускает слабое решение, но не имеет сильного решения Он назван в честь японского математика Хироши Танаки (Tanaka Hiroshi).

Уравнение Танаки представляет собой одномерное стохастическое дифференциальное уравнение.

$\mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

движимый каноническим броуновским движением B с начальным условием X ₀ = 0, где знак обозначает знаковую функцию

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0.\end{cases}}$

(Обратите внимание на нетрадиционное значение знака (0).) Сигнум-функция не удовлетворяет условию непрерывности Липшица , требуемому для обычных теорем, гарантирующих существование и единственность сильных решений. Уравнение Танаки не имеет сильного решения, то есть такого, для которого версия B броуновского движения задана заранее, а решение X адаптировано порождаемой к фильтрации, B и начальными условиями. Однако уравнение Танаки действительно имеет слабое решение, для которого процесс X и версия броуновского движения указаны как часть решения, а не броуновское движение задано априори . В этом случае просто выберите X в качестве любого броуновского движения. ${\hat {B}}$ и определить ${\tilde {B}}$ к

${\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\,\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\,\mathrm {d} X_{s},$

т.е.

$\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} X_{t}.$

Следовательно,

$\mathrm {d} X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} {\tilde {B}}_{t},$

и поэтому X является слабым решением уравнения Танаки. Более того, это решение слабо единственно, т. е. любое другое слабое решение должно иметь тот же закон .

Другой контрпример такого типа — стохастическое дифференциальное уравнение Цирельсона .

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . (Пример 5.3.2)