Формула Танаки

Не путать с уравнением Танаки .

В исчислении стохастическом формула Танаки для броуновского движения гласит, что

$|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}$

где B _t — стандартное броуновское движение, знак обозначает знаковую функцию

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}$

и L _t — его местное время в точке 0 (местное время, проведенное B в точке 0 до времени t ), определяемое L ² -предел

$L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.$

Можно также распространить формулу на семимартингалы .

Характеристики

Формула Танаки представляет собой явное разложение Дуба – Мейера субмартингала | Б _т | в мартингальную часть ( интеграл в правой части, который представляет собой броуновское движение) ) и непрерывный возрастающий процесс (по местному времени). Ее также можно рассматривать как аналог леммы Ито для (негладкой) функции абсолютного значения. $f(x)=|x|$, с $f'(x)=\operatorname {sgn}(x)$ и $f''(x)=2\delta (x)$; см. по местному времени формальное объяснение термина Ито .

Схема доказательства

Функция ​ | х | это не С ² в x при x = 0, поэтому мы не можем применить формулу Ито напрямую. Но если мы аппроксимируем его около нуля (т.е. в [− ε , ε ]) параболами

${\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}.$

и использовать формулу Ито , мы можем затем взять предел при ε → 0, что приведет к формуле Танаки.

Ссылки

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . (Пример 5.3.2)
• Ширяев Альберт Николаевич ; пер. Н. Кружилин (1999). Основы стохастических финансов: факты, модели, теория . Расширенная серия по статистическим наукам и прикладной теории вероятности № 3. Ривер-Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN  981-02-3605-0 .