Стохастическое дифференциальное уравнение Цирельсона

Стохастическое дифференциальное уравнение Цирельсона (также дрейф Цирельсона или уравнение Цирельсона ) — стохастическое дифференциальное уравнение , которое имеет слабое решение , но не имеет сильного решения . Таким образом, он является противоположным примером и назван в честь своего первооткрывателя Бориса Цирельсона . Уравнение Цирельсона имеет вид

$dX_{t}=a[t,(X_{s},s\leq t)]dt+dW_{t},\quad X_{0}=0,$

где $W_{t}$ — одномерное броуновское движение . Цирельсон выбрал дрифт $a$ быть ограниченной измеримой функцией , которая зависит от прошлых моментов времени $X$ но не зависит от естественной фильтрации ${\mathcal {F}}^{W}$ броуновского движения. Это дает слабое решение, но поскольку процесс $X$ не ${\mathcal {F}}_{\infty }^{W}$-измеримое, не сильное решение.

Дрейф Цирельсона

Позволять

• ${\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s}:0\leq s\leq t)$ и $\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ — естественная броуновская фильтрация, удовлетворяющая обычным условиям,
• $t_{0}=1$ и $(t_{n})_{n\in -\mathbb {N} }$ быть нисходящей последовательностью $t_{0}>t_{-1}>t_{-2}>\dots ,$ такой, что $\lim _{n\to -\infty }t_{n}=0$,
• $\Delta X_{t_{n}}=X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ и $\Delta t_{n}=t_{n}-t_{n-1}$,
• $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ быть десятичной частью .

Цирельсон теперь определил следующий дрейф

$a[t,(X_{s},s\leq t)]=\sum \limits _{n\in -\mathbb {N} }{\bigg \{}{\frac {\Delta X_{t_{n}}}{\Delta t_{n}}}{\bigg \}}1_{(t_{n},t_{n+1}]}(t).$

Пусть выражение

$\eta _{n}=\xi _{n}+\{\eta _{n-1}\}$

быть аббревиатурой для

${\frac {\Delta X_{t_{n+1}}}{\Delta t_{n+1}}}={\frac {\Delta W_{t_{n+1}}}{\Delta t_{n+1}}}+{\bigg \{}{\frac {\Delta X_{t_{n}}}{\Delta t_{n}}}{\bigg \}}.$

Теорема

По теореме Цирельсона и Йора :

1) Естественная фильтрация $X$ имеет следующее разложение

${\mathcal {F}}_{t}^{X}={\mathcal {F}}_{t}^{W}\vee \sigma {\big (}\{\eta _{n-1}\}{\big )},\quad \forall t\geq 0,\quad \forall t_{n}\leq t$

2) Для каждого $n\in -\mathbb {N}$ тот $\{\eta _{n}\}$ распределены равномерно по $[0,1)$ и независимо от $(W_{t})_{t\geq 0}$ соотв. ${\mathcal {F}}_{\infty }^{W}$.

3) ${\mathcal {F}}_{0+}^{X}$ это $P$- тривиальная σ-алгебра , т.е. все события имеют вероятность $0$ или $1$.

Литература

• Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 2, Исчисление Ито . Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. стр. 155–156.