Процесс Маккина – Власова

В теории вероятностей процесс Маккина–Власова — это случайный процесс, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением , где коэффициенты диффузии зависят от распределения самого решения. Эти уравнения представляют собой модель уравнения Власова и были впервые изучены Генри Маккином в 1966 году. Это пример распространения хаоса , поскольку его можно получить как предел системы взаимодействующих частиц среднего поля: поскольку число частиц стремится к бесконечности, взаимодействия между любой отдельной частицей и остальной частью пула будут зависят только от самой частицы.

Определение

Рассмотрим измеримую функцию $\sigma :\mathbb {R} ^{d}\times {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )$ где ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})$ – пространство вероятностных распределений на $\mathbb {R} ^{d}$ оснащен метрикой Вассерштейна $W_{2}$ и ${\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )$ — пространство квадратных матриц размерности $d$. Рассмотрим измеримую функцию $b:\mathbb {R} ^{d}\times {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ^{d}$. Определять $a(x,\mu ):=\sigma (x,\mu )\sigma (x,\mu )^{T}$.

Случайный процесс $(X_{t})_{t\geq 0}$ является процессом Маккина–Власова, если он решает следующую систему:

• $X_{0}$ имеет закон $f_{0}$
• $dX_{t}=\sigma (X_{t},\mu _{t})dB_{t}+b(X_{t},\mu _{t})dt$

где $\mu _{t}={\mathcal {L}}(X_{t})$ описывает закон ​ $X$ и $B_{t}$ обозначает $d$-мерный винеровский процесс . Этот процесс является нелинейным в том смысле, что связанное с ним уравнение Фоккера-Планка для $\mu _{t}$ является нелинейным уравнением в частных производных .

Существование решения

Следующую теорему можно найти в.

Существование решения . Предположим , $b$ и $\sigma$ , глобально липшицевы т. е. существует константа $C>0$ такой, что:

$|b(x,\mu )-b(y,\nu )|+|\sigma (x,\mu )-\sigma (y,\nu )|\leq C(|x-y|+W_{2}(\mu ,\nu ))$

где $W_{2}$ — метрика Вассерштейна .

Предполагать $f_{0}$ имеет конечную дисперсию.

Тогда для любого $T>0$ существует единственное сильное решение системы уравнений Маккина-Власова на $[0,T]$. Более того, его закон является уникальным решением нелинейного уравнения Фоккера – Планка :

$\partial _{t}\mu _{t}(x)=-\nabla \cdot \{b(x,\mu _{t})\mu _{t}\}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{d}\partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}\{a_{ij}(x,\mu _{t})\mu _{t}\}$

Распространение хаоса

Процесс МакКина-Власова является примером распространения хаоса . Это означает, что многие процессы Маккина-Власова могут быть получены как предел дискретных систем стохастических дифференциальных уравнений. $(X_{t}^{i})_{1\leq i\leq N}$.

Формально определим $(X^{i})_{1\leq i\leq N}$ быть $d$-размерные решения для:

• $(X_{0}^{i})_{1\leq i\leq N}$ не соблюдаем закон $f_{0}$
• $dX_{t}^{i}=\sigma (X_{t}^{i},\mu _{X_{t}})dB_{t}^{i}+b(X_{t}^{i},\mu _{X_{t}})dt$

где $(B^{i})_{1\leq i\leq N}$ являются iid броуновским движением , а $\mu _{X_{t}}$ является эмпирической мерой, связанной с $X_{t}$ определяется $\mu _{X_{t}}:={\frac {1}{N}}\sum \limits _{1\leq i\leq N}\delta _{X_{t}^{i}}$ где $\delta$ является мерой Дирака .

Распространение хаоса — это свойство, которое с увеличением количества частиц $N\to +\infty$, взаимодействие между любыми двумя частицами исчезает и случайная эмпирическая мера $\mu _{X_{t}}$ заменяется детерминированным распределением $\mu _{t}$.

При некоторых условиях регулярности только что определенный процесс среднего поля будет сходиться к соответствующему процессу Маккина-Власова.

Приложения

• Теория среднего поля
• Теория игр среднего поля
• Случайные матрицы : включая модель Дайсона о динамике собственных значений для случайных симметричных матриц и полукруговое распределение Вигнера.