Уравнение Фоккера – Планка

Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка как с дрейфовым, так и с диффузионным членом. В этом случае начальным условием является дельта-функция Дирака, центрированная от нулевой скорости. Со временем распределение расширяется за счет случайных импульсов.

В статистической механике и теории информации уравнение Фоккера -Планка представляет собой уравнение в частных производных , которое описывает эволюцию во времени функции плотности вероятности скорости частицы под действием сил сопротивления и случайных сил, как в броуновском движении . Уравнение можно обобщить и на другие наблюдаемые. Уравнение Фоккера-Планка имеет множество приложений в теории информации, теории графов, науке о данных, финансах, экономике и т. д.

Он назван в честь Адриана Фоккера и Макса Планка , описавших его в 1914 и 1917 годах. Оно также известно как прямое уравнение Колмогорова , в честь Андрея Колмогорова , который независимо открыл его в 1931 году. Применительно к распределениям положений частиц оно более известно как уравнение Смолуховского (в честь Мариана Смолуховского ), и в этом контексте оно эквивалентно уравнению конвекции-диффузии . Применительно к распределению положения частиц и импульсов оно известно как уравнение Клейна – Крамерса . Случай с нулевой диффузией представляет собой уравнение неразрывности . Уравнение Фоккера-Планка получается из основного уравнения посредством расширения Крамерса-Мойала .

Первый последовательный микроскопический вывод уравнения Фоккера–Планка в единой схеме классической и квантовой механики был выполнен Николаем Боголюбовым и Николаем Крыловым .

Одно измерение

В одном пространственном измерении x для процесса Ито, управляемого стандартным процессом Винера. $W_{t}$ и описывается стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ) $$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}$$

с дрейфом $\mu (X_{t},t)$ и диффузии коэффициент $D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2$, уравнение Фоккера–Планка для плотности вероятности $p(x,t)$ случайной величины $X_{t}$ является

${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].$

показывать

Связь между СДУ Ито и уравнением Фоккера – Планка

In the following, use $\sigma ={\sqrt {2D}}$.

Define the infinitesimal generator ${\mathcal {L}}$ (the following can be found in Ref.): $${\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} {\big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).$$

The transition probability $\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$, the probability of going from $(t',x')$ to $(t,x)$, is introduced here; the expectation can be written as $$\mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,dy.$$ Now we replace in the definition of ${\mathcal {L}}$, multiply by $\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$ and integrate over $dx$. The limit is taken on $$\int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$ Note now that $$\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(y\mid x'),$$ which is the Chapman–Kolmogorov theorem. Changing the dummy variable $y$ to $x$, one gets $${\begin{aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}$$ which is a time derivative. Finally we arrive to $$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\partial _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.$$ From here, the Kolmogorov backward equation can be deduced. If we instead use the adjoint operator of ${\mathcal {L}}$, ${\mathcal {L}}^{\dagger }$, defined such that $$\int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}}^{\dagger }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,$$ then we arrive to the Kolmogorov forward equation, or Fokker–Planck equation, which, simplifying the notation $p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')$, in its differential form reads $${\mathcal {L}}^{\dagger }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).$$

Remains the issue of defining explicitly ${\mathcal {L}}$. This can be done taking the expectation from the integral form of the Itô's lemma: $$\mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p(X_{t'})\,dt'\right).$$

The part that depends on $dW_{t}$ vanished because of the martingale property.

Then, for a particle subject to an Itô equation, using $${\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},$$ it can be easily calculated, using integration by parts, that $${\mathcal {L}}^{\dagger }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),$$ which bring us to the Fokker–Planck equation: $$\partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\partial _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).$$

Хотя уравнение Фоккера-Планка используется в задачах, где известно начальное распределение, если проблема состоит в том, чтобы узнать распределение в предыдущие моменты времени, можно использовать формулу Фейнмана-Каца , которая является следствием обратного уравнения Колмогорова.

Случайный процесс, определенный выше в смысле Ито, можно переписать в рамках соглашения Стратоновича как СДУ Стратоновича: $$dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.$$ Он включает в себя дополнительный термин дрейфа, вызванный шумом, из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение СДУ Стратоновича является решением СДУ Ито.

Уравнение нулевого дрейфа с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического броуновского движения : $${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].$$

Эта модель имеет дискретный спектр решений, если для $\{0\leq x\leq L\}$: $${\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}$$

Было показано что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести локальное соотношение неопределенностей для координатно-скоростного фазового объема: $$\Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.$$ Здесь $D_{0}$ — минимальное значение соответствующего диффузионного спектра $D_{j}$, пока $\Delta x$ и $\Delta v$ представляют неопределенность определения координаты-скорости.

Высшие измерения

В более общем смысле, если

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},$$

где $\mathbf {X} _{t}$ и ${\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)$ являются N -мерными векторами , ${\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)$ это $N\times M$ матрица и $\mathbf {W} _{t}$ — M -мерный стандартный винеровский процесс , плотность вероятности $p(\mathbf {x} ,t)$ для $\mathbf {X} _{t}$ удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка

${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],$

с вектором дрейфа ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})$ и тензор диффузии ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$, то есть $$D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).$$

Если вместо СДУ Ито СДУ Стратоновича рассматривать ,

$$d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},$$

уравнение Фоккера-Планка будет выглядеть следующим образом:

$${\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}$$

Обобщение

В общем, уравнения Фоккера – Планка представляют собой частный случай общего прямого уравнения Колмогорова.

$$\partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho$$

где линейный оператор ${\mathcal {A}}^{*}$ является эрмитовым, сопряженным к бесконечно малому генератору марковского процесса .

Примеры

Винеровский процесс

Стандартный скалярный винеровский процесс порождается стохастическим дифференциальным уравнением

$$dX_{t}=dW_{t}.$$

Здесь дрейфовый член равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

$${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

что является простейшей формой уравнения диффузии . Если начальное условие $p(x,0)=\delta (x)$, решение

$$p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.$$

Распределение Больцмана при термодинамическом равновесии

Перезатухающее уравнение Ланжевена $$dx_{t}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}(\nabla _{x}U)dt+dW_{t}$$дает ${\textstyle \partial _{t}p={\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {p}{k_{\text{B}}T}}\nabla U+\nabla p\right)}$. Распределение Больцмана $p(x)\propto e^{-U(x)/k_{\text{B}}T}$является равновесным распределением, и если предположить, что $U$ растет достаточно быстро (т. е. потенциальная яма достаточно глубока, чтобы удержать частицу), распределение Больцмана является единственным равновесием.

Процесс Орнштейна – Уленбека

Процесс Орнштейна – Уленбека – это процесс, определяемый как

$$dX_{t}=-aX_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}.$$

с $a>0$. Физически это уравнение можно мотивировать следующим образом: частица массы $m$ со скоростью $V_{t}$ движение в среде, например жидкости, будет испытывать силу трения, противодействующую движению, величину которой можно аппроксимировать как пропорциональную скорости частицы. $-aV_{t}$ с $a=\mathrm {constant}$. Другие частицы в среде будут случайным образом пинать частицу при столкновении с ней, и этот эффект можно аппроксимировать термином белого шума; $\sigma (dW_{t}/dt)$. Второй закон Ньютона записывается как

$$m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.$$

принимая $m=1$ для простоты и изменив обозначения как $V_{t}\rightarrow X_{t}$ приводит к знакомой форме $dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}$.

Соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид $${\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

Стационарное решение ( $\partial _{t}p=0$) является $$p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{ax^{2}}/{\sigma ^{2}}}.$$

Физика плазмы

В физике плазмы функция распределения частиц определенного вида $s$, $p_{s}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$, занимает место функции плотности вероятности . Соответствующее уравнение Больцмана имеет вид

$${\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),$$

где третий член включает ускорение частицы за счет силы Лоренца , а член Фоккера – Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Количества $\langle \Delta v_{i}\rangle$ и $\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle$ — среднее изменение скорости частицы типа $s$ переживания из-за столкновений со всеми другими видами частиц в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. Если пренебречь столкновениями, уравнение Больцмана сводится к уравнению Власова .

Уравнение диффузии Смолуховского

Рассмотрим перезатухающую броуновскую частицу под действием внешней силы. $F(r)$: $$m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)$$где $m{\ddot {r}}$ термин пренебрежимо мал (значение «перезатухающий»). Таким образом, это просто $\gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}$. Уравнение Фоккера–Планка для этой частицы представляет собой уравнение диффузии Смолуховского: $$\partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]$$Где $D$ - константа диффузии и $\beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}$. Важность этого уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть как влияние температуры на систему частиц, так и пространственно-зависимую константу диффузии.

показывать

Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера – Планка.

Starting with the Langevin Equation of a Brownian particle in external field $F(r)$, where $\gamma$ is the friction term, $\xi$ is a fluctuating force on the particle, and $\sigma$ is the amplitude of the fluctuation.

$$m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)$$

At equilibrium the frictional force is much greater than the inertial force, $\left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert$. Therefore, the Langevin equation becomes,

$$\gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)$$

Which generates the following Fokker–Planck equation,

$$\partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})$$

Rearranging the Fokker–Planck equation,

$$\partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})$$

Where $D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}$. Note, the diffusion coefficient may not necessarily be spatially independent if $\sigma$ or $\gamma$ are spatially dependent.

Next, the total number of particles in any particular volume is given by,

$$N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})$$

Therefore, the flux of particles can be determined by taking the time derivative of the number of particles in a given volume, plugging in the Fokker–Planck equation, and then applying Gauss's Theorem.

$$\partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}d\mathbf {a} \cdot j(r,t|r_{0},t_{0})$$

$$j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})$$

In equilibrium, it is assumed that the flux goes to zero. Therefore, Boltzmann statistics can be applied for the probability of a particles location at equilibrium, where $F(r)=-\nabla U(r)$ is a conservative force and the probability of a particle being in a state $r$ is given as $P(r,t|r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}$.

$$j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0$$

$$\Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)$$

This relation is a realization of the fluctuation–dissipation theorem. Now applying $\nabla \cdot \nabla$ to $DP(r,t|r_{0},t_{0})$ and using the Fluctuation-dissipation theorem,

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}$$

Rearranging,

$$\Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})$$

Therefore, the Fokker–Planck equation becomes the Smoluchowski equation, $$\partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})$$

for an arbitrary force $F(r)$.

Вычислительные соображения

Броуновское движение следует уравнению Ланжевена , которое можно решить для множества различных стохастических воздействий с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярной динамике ). Однако вместо этого трудоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность $p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v}$ частицы, имеющей скорость в интервале $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )$ когда он начинает свое движение с $\mathbf {v} _{0}$ в момент 0.

Моделирование броуновской динамики частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера – Планка

Пример одномерного линейного потенциала

Броуновская динамика в одном измерении проста.

Теория

Начиная с линейного потенциала вида $U(x)=cx$ соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид:

$$\partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})$$

Где константа диффузии, $D$, постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность обращается в нуль при $x\rightarrow \pm \infty$ с начальным состоянием ансамбля частиц, начинающегося в одном и том же месте, $P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})$.

Определение $\tau =Dt$ и $b=\beta c$ и применив преобразование координат,

$$y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b$$

С $P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})$ уравнение Смолуховского принимает вид: $$\partial _{\tau }q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})$$

Это уравнение свободной диффузии с решением: $$q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}$$

И после преобразования обратно в исходные координаты, $$P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {\left[{-{\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}\right]}$$

Моделирование

Моделирование справа было выполнено с использованием моделирования броуновской динамики . Начнем с уравнения Ланжевена для системы: $$m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)$$ где $\gamma$ это член трения, $\xi$ представляет собой флуктуирующую силу, действующую на частицу, а $\sigma$ – амплитуда колебания. В состоянии равновесия сила трения намного превышает силу инерции. $\left|\gamma {\dot {x}}\right|\gg \left|m{\ddot {x}}\right|$. Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид: $$\gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)$$

Для броуновского динамического моделирования сила флуктуации $\xi (t)$ предполагается гауссовой с амплитудой, зависящей от температуры системы ${\textstyle \sigma ={\sqrt {2\gamma k_{\text{B}}T}}}$. Переписав уравнение Ланжевена,

$${\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)$$ где ${\textstyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{\gamma }}}$ есть соотношение Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения было выполнено с использованием метода Эйлера-Маруямы для численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.

Решение

Будучи уравнением в частных производных , уравнение Фоккера–Планка может быть решено аналитически только в особых случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера–Планка с уравнением Шрёдингера позволяет в ряде случаев использовать для его решения современные операторные методы, известные из квантовой механики. Кроме того, в случае перезатухающей динамики, когда уравнение Фоккера–Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение можно записать в виде основного уравнения , которое легко решить численно. Во многих приложениях нас интересует только установившееся распределение вероятностей. $p_{0}(x)$, который можно найти из ${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$. Вычисление среднего времени первого прохождения и вероятностей расщепления можно свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.

Частные случаи с известным решением и обращением.

В математическом финансировании при волатильности моделировании опционов через локальную волатильность возникает проблема получения коэффициента диффузии. ${\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)$ согласуется с плотностью вероятности, полученной из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема представляет собой обращение уравнения Фоккера-Планка: учитывая плотность f(x,t) опциона, лежащего в основе X, выведенную из рынка опционов, мы стремимся найти локальную волатильность. ${\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)$ соответствует ф . Это обратная задача , которая была решена Дюпиром (1994, 1997) с помощью непараметрического решения. Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме с помощью определенной локальной волатильности. ${\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)$ согласуется с решением уравнения Фоккера-Планка, заданным моделью смеси . Более подробную информацию можно найти также у Фенглера (2008), Сбор (2008), и Мусиела и Рутковски (2008).

Уравнение Фоккера–Планка и интеграл по траекториям

Каждое уравнение Фоккера–Планка эквивалентно интегралу по путям . Формулировка интеграла по траекториям является отличной отправной точкой для применения методов теории поля. Это используется, например, в критической динамике .

Вывод интеграла по путям возможен аналогично тому, как это делается в квантовой механике. Вывод уравнения Фоккера–Планка с одной переменной $x$ заключается в следующем. Начните с вставки дельта-функции , а затем интегрируйте по частям:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}$$

The $x$-производные здесь действуют только на $\delta$-функция, не включена $p(x,t)$. Интегрировать по временному интервалу $\varepsilon$,

$$p(x',t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\mathrm {d} x\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x'-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).$$

Вставьте интеграл Фурье

$$\delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}$$

для $\delta$-функция,

$${\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}$$

Это уравнение выражает $p(x',t+\varepsilon )$ как функционал $p(x,t)$. Итерация $(t'-t)/\varepsilon$ раз и выполнение лимита $\varepsilon \rightarrow 0$ дает путь, интеграл с действием

$$S=\int \mathrm {d} t\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].$$

Переменные ${\tilde {x}}$ сопряжено с $x$ называются «переменными ответа».

Несмотря на формальную эквивалентность, различные проблемы легче решить с помощью уравнения Фоккера – Планка или формулировки интеграла по траекториям. Например, равновесное распределение можно получить более непосредственно из уравнения Фоккера – Планка.

См. также

• Обратное уравнение Колмогорова
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Ланжевена
• уравнение Власова
• Основное уравнение
• Теория игр среднего поля
• Иерархия уравнений Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона
• Процесс Орнштейна – Уленбека
• Уравнение конвекции-диффузии
• Уравнение Клейна – Крамерса

Дальнейшее чтение

• Фрэнк, Тилль Дэниел (2005). Нелинейные уравнения Фоккера–Планка: основы и приложения . Спрингеровская серия по синергетике. Спрингер. ISBN  3-540-21264-7 .
• Гардинер, Криспин (2009). Стохастические методы (4-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3-540-70712-7 .
• Павлиотис, Григориос А. (2014). Стохастические процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера-Планка и Ланжевена . Спрингеровские тексты по прикладной математике. Спрингер. ISBN  978-1-4939-1322-0 .
• Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера–Планка: методы решения и приложения . Серия Спрингера по синергетике (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-61530-Х .