Локальная волатильность

Модель локальной волатильности в математических финансах и финансовой инженерии — это модель ценообразования опционов, которая рассматривает волатильность как функцию текущего уровня активов $S_{t}$ и времени $t$. По существу, это обобщение модели Блэка-Шоулза , где волатильность является константой (т.е. тривиальной функцией $S_{t}$ и $t$). Модели локальной волатильности часто сравнивают со стохастическими моделями волатильности , где мгновенная волатильность не является просто функцией уровня активов. $S_{t}$ но зависит также от новой «глобальной» случайности, исходящей из дополнительного случайного компонента.

Формулировка

В математических финансах обычно предполагается, что актив S _t , лежащий в основе подчиняется производного финансового инструмента, стохастическому дифференциальному уравнению вида

$dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma _{t}S_{t}\,dW_{t}$,

в рамках нейтральной к риску меры, где $r_{t}$ – мгновенная безрисковая ставка , придающая среднее локальное направление динамике, и $W_{t}$ — винеровский процесс , представляющий приток случайности в динамику. Амплитуда этой случайности измеряется мгновенной волатильностью. $\sigma _{t}$. В простейшей модели, т. е. модели Блэка–Шоулза , $\sigma _{t}$ предполагается постоянной или, самое большее, детерминированной функцией времени; в действительности, реализованная волатильность базового актива фактически меняется со временем и в зависимости от самого базового актива.

Когда такая волатильность имеет собственную случайность — часто описываемую другим уравнением, обусловленным другим W , — описанная выше модель называется моделью стохастической волатильности . когда такая волатильность является просто функцией текущего уровня базового актива St _И и времени t , мы имеем модель локальной волатильности. Модель локальной волатильности является полезным упрощением модели стохастической волатильности.

Таким образом, «локальная волатильность» — это термин, используемый в количественных финансах для обозначения набора коэффициентов диффузии. $\sigma _{t}=\sigma (S_{t},t)$, которые соответствуют рыночным ценам для всех опционов на данный базовый актив, что дает модель цены актива типа

$dS_{t}=(r_{t}-d_{t})S_{t}\,dt+\sigma (S_{t},t)S_{t}\,dW_{t}.$

Эта модель используется для расчета оценок экзотических опционов , которые соответствуют наблюдаемым ценам ванильных опционов .

Развитие

Концепция локальной волатильности, полностью соответствующая опционным рынкам, была разработана Бруно Дюпире. и Эмануэль Дерман и Ирадж Кани отметил, что существует уникальный процесс диффузии, соответствующий нейтральным к риску плотностям, полученным на основе рыночных цен европейских опционов.

Дерман и Кани описали и реализовали функцию локальной волатильности для моделирования мгновенной волатильности. Они использовали эту функцию на каждом узле модели ценообразования биномиальных опционов . Дерево успешно позволило получить оценки опционов, соответствующие всем рыночным ценам по срокам исполнения и срокам действия. Таким образом, была сформулирована модель Дермана-Кани с дискретными шагами по времени и цене акций. (Дерман и Кани создали так называемое « подразумеваемое биномиальное дерево »; вместе с Нилом Криссом они расширили это до подразумеваемого триномиального дерева . Процесс подгонки подразумеваемого биномиального дерева был численно нестабильным.)

Ключевые уравнения непрерывного времени, используемые в моделях локальной волатильности, были разработаны Бруно Дюпире. в 1994 году. Уравнение Дюпира гласит:

${\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC$

Для расчета частных производных существует несколько известных параметризаций подразумеваемой поверхности волатильности, основанных на модели Хестона: Шенбухер, SVI и gSVI. Другие методы включают сочетание логнормального распределения и стохастической коллокации.

Вывод

Учитывая цену актива $S_{t}$ регулируется нейтральной к риску SDE

$dS_{t}=(r-d)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}$

Вероятность перехода $p(t,S_{t})$ при условии $S_{0}$ удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова (также известному как уравнение Фоккера – Планка )

$p_{t}=-[(r-d)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}$

где для краткости обозначение $f_{x}$ обозначает частную производную функции f по x и где обозначение $f_{xx}$ обозначает частную производную второго порядка функции f по x. Таким образом, $p_{t}$ является частной производной плотности $p(t,S)$ относительно t и, например $[(\sigma s)^{2}p]_{ss}$ является второй производной от $(\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)$ относительно С. р будет обозначать $p(t,S)$, а внутри интеграла $p(t,s)$.

Согласно теореме ценообразования Мартингейла , цена опциона колл со сроком погашения $T$ и ударить $K$ является

${\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}$

Дифференциация цены опциона колл по отношению к $K$

$C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds$

и замену в формуле цены опциона колл и перестановку условий

$e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=C-K\,C_{K}$

Дифференциация цены опциона колл по отношению к $K$ дважды

$C_{KK}=e^{-rT}p$

Дифференциация цены опциона колл по отношению к $T$ урожайность

$C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)p_{T}ds$

используя прямое уравнение Колмогорова

$C_{T}=-r\,C-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(r-d)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(s-K)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds$

интегрирование по частям первого интеграла один раз и второго интеграла дважды

$C_{T}=-r\,C+(r-d)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p$

используя полученные формулы, дифференцирующие цену опциона колл по отношению к $K$

${\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(r-d)(C-K\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(r-d)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}$

локальной

Подход Дюпире непараметричен. Требуется предварительная интерполяция данных для получения континуума торгуемых цен и выбора типа интерполяции. В качестве альтернативы можно сформулировать параметрические модели локальной волатильности. Несколько примеров представлены ниже.

Модель бакалавра

Модель Башелье была вдохновлена ​​работой Луи Башелье в 1900 году. Эту модель, по крайней мере, для активов с нулевым дрейфом, например, форвардных цен или форвардных процентных ставок в рамках их форвардного измерения, можно рассматривать как модель локальной волатильности.

$dF_{t}=v\,dW_{t}$.

В модели Башелье коэффициент диффузии является константой. $v$, поэтому у нас есть $\sigma (F_{t},t)F_{t}=v$, подразумевая $\sigma (F_{t},t)=v/F_{t}$. Поскольку процентные ставки во многих странах стали отрицательными, Модель Башелье вызвала интерес, поскольку она может моделировать отрицательные форвардные ставки F через свое гауссово распределение.

Модель

Эту модель представил Марк Рубинштейн . Для цены акции это следует за динамикой

$dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}$

где для простоты мы предполагаем нулевую дивидендную доходность. Модель может быть получена с заменой переменной из стандартной модели Блэка-Шоулза следующим образом. Установив $Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}$ сразу видно, что Y следует стандартной модели Блэка-Шоулза

$dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.$

В качестве SDE для $Y$ является геометрическим броуновским движением , оно имеет логнормальное распределение , и учитывая, что $S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}$ Модель S также называется смещенной логнормальной моделью, причем сдвиг в момент времени t равен $\beta e^{rt}$. Чтобы оценить опцион колл со страйком K по S, просто записывают выигрыш. $(S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}$где H — новый страйк $H=K-\beta e^{rT}$. Поскольку Y следует модели Блэка-Шоулза, цена опциона становится ценой Блэка-Шоулза с модифицированным страйком, и ее легко получить. Модель создает монотонную кривую улыбки волатильности, характер которой уменьшается при отрицательных значениях. $\beta$. Кроме того, для отрицательного $\beta$, от $S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}$ отсюда следует, что активу S разрешено принимать отрицательные значения с положительной вероятностью. Это полезно, например, при моделировании процентных ставок, когда отрицательные ставки влияют на экономику нескольких стран.

Модель CEV

Модель постоянной эластичности дисперсии (CEV) — это модель локальной волатильности, в которой динамика акций при нейтральном к риску показателе и при условии отсутствия дивидендов:

$\mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},$

для постоянной процентной ставки r положительная константа $\sigma >0$ и показатель степени $\gamma \geq 0,$ так что в этом случае

$\sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.$

Модель иногда классифицируется как модель стохастической волатильности , хотя согласно данному здесь определению это модель локальной волатильности, поскольку в коэффициенте диффузии нет новой случайности. Эта модель и соответствующие ссылки подробно показаны на соответствующей странице .

Модель

Эта модель разрабатывалась с 1998 по 2021 год в нескольких версиях Дамиано Бриго , Фабио Меркурио и соавторами. Кэрол Александер изучала краткосрочные и долгосрочные эффекты улыбки. Отправной точкой является базовая формула Блэка-Шоулза, вытекающая из нейтральной к риску динамики. $dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},$ с постоянной детерминированной волатильностью $\sigma$ и с логнормальной функцией плотности вероятности, обозначаемой $p_{t,\sigma }^{lognormal}$. В модели Блэка-Шоулза цена европейского опциона, не зависящего от траектории, получается путем интегрирования выигрыша по опциону с этой логнормальной плотностью при погашении. Основная идея модели динамики логнормальной смеси. заключается в рассмотрении логнормальных плотностей, как в модели Блэка-Шоулза, но для ряда $N$ возможных постоянных детерминированных волатильностей $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}$, куда мы звоним $p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}$, логнормальная плотность модели Блэка-Шоулза с волатильностью $\sigma _{i}$. При моделировании цены акций Бриго и Меркурио построить локальную модель волатильности

$dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},$

где $\sigma _{mix}(t,S_{t})$ определяется таким образом, чтобы сделать нейтральным к риску распределение $S_{t}$ искомая смесь логнормальных плотностей $p_{i,t}$, так что плотность результирующей цены акции равна $p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)$где $\lambda _{i}\in (0,1)$ и $\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1$. $\lambda _{i}$'s - веса разных плотностей $p_{i,t}$ включен в смесь.Мгновенная волатильность определяется как

$\sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),$ или более подробно

$\sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}$

для $(t,y)>(0,0)$; $\sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}$ для $(t,y)=(0,s_{0}).$ Исходная модель имеет регуляризацию коэффициента диффузии на малом начальном интервале времени. $[0,\epsilon ]$. Благодаря этой корректировке SDE с $\sigma _{mix}$ имеет единственное сильное решение,предельная плотность - это желаемая смесь $p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.$Можно еще написать $\sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},$где $\Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)$ и $\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1$.Это показывает, что $\sigma _{mix}^{2}(t,y)$ представляет собой «средневзвешенное» значение $\sigma _{i}^{2}$с гирями

$\Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.$

Цену опциона в этой модели рассчитать очень просто. Если $\mathbb {E} ^{Q}$ обозначает нейтральное к риску ожидание, согласно теореме о ценообразовании мартингала цена опциона колл на S со страйком K и сроком погашения T определяется выражением $V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}$$=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy$$=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})$где $V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})$ — соответствующая цена опциона «колл» в модели Блэка-Шоулза с волатильностью. $\sigma _{i}$. Цена опциона задается формулой закрытой формы и представляет собой линейную выпуклую комбинацию цен Блэка-Шоулза опционов колл с волатильностью. $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}$ взвешенный по $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}$. То же самое справедливо для опционов пут и всех других простых условных требований. Эта же выпуклая комбинация применима и к нескольким вариантам греки, такие как Дельта, Гамма, Ро и Тета. Динамика смеси является гибкой моделью, так как можно выбирать количество компонентов. $N$ по сложности улыбки. Оптимизация параметров $\sigma _{i}$ и $\lambda _{i}$и возможный параметр сдвига позволяют воспроизвести большинство улыбок рынка. Модель успешно использовалась в акционерном капитале, Форекс, и рынки процентных ставок.

В модели динамики смеси можно показать, что результирующая кривая улыбки волатильности будет иметь минимум для K, равный форвардной цене при деньгах. $S_{0}e^{rT}$. Этого можно избежать и сделать улыбку более общей, объединив идеи динамики смеси и смещенной диффузии, что приведет к смещенной логнормальной динамике смеси.

Модель также применялась с волатильностью. $\sigma _{i}$в смеси компонентов, которые зависят от времени, чтобы откалибровать временную структуру улыбки. Было изучено расширение модели, в котором разные плотности смеси имеют разные средние значения: при сохранении итогового безарбитражного дрейфа в динамике. Дальнейшим расширением стало применение к многомерному случаю, когда была сформулирована многомерная модель, согласующаяся со смесью многомерных логнормальных плотностей, возможно, со сдвигами, и где отдельные активы также распределяются как смеси. согласование моделирования отдельных активов с улыбкой на индексе этих активов. Вторым применением многомерной версии стала триангуляция улыбок волатильности валютного курса. Наконец, модель связана с моделью неопределенной волатильности, где, грубо говоря, волатильность представляет собой случайную величину, принимающую значения $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}$ с вероятностями $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}$. Технически можно показать, что динамика локальной логнормальной смеси волатильности представляет собой марковскую проекцию модели неопределенной волатильности.

Используйте

Модели локальной волатильности полезны на любом рынке опционов, на котором волатильность базового актива преимущественно зависит от уровня базового актива, например, процентных деривативов. Независимая от времени локальная волатильность предположительно несовместима с динамикой подразумеваемой поверхности волатильности индекса акций. но см. Крепи (2004), который утверждает, что такие модели обеспечивают лучшее среднее хеджирование для опционов на индексы акций, и отмечает, что такие модели, как динамика смеси, учитывают зависящую от времени локальную волатильность, калибруя также временную структуру улыбки. Модели локальной волатильности также полезны при разработке моделей стохастической волатильности .

Модели локальной волатильности имеют ряд привлекательных особенностей. Поскольку единственным источником случайности является цена акций, модели локальной волатильности легко калибровать. Для работы с процессами Маккина-Власова разработаны многочисленные методы калибровки, включая наиболее часто используемый подход частиц и контейнеров. Кроме того, они приводят к созданию законченных рынков, где хеджирование может быть основано только на базовом активе. Как упоминалось выше, общий непараметрический подход Дюпира проблематичен, поскольку необходимо произвольно предварительно интерполировать входную поверхность подразумеваемой волатильности перед применением метода . Альтернативой могут быть альтернативные параметрические подходы с богатой и надежной параметризацией, такие как описанные выше модели динамической локальной волатильности с управляемой смесью. Поскольку в моделях локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией случайной цены акции, модели локальной волатильности не очень хорошо используются для оценки опционов клика или опционов форвардного старта , значения которых зависят конкретно от случайного характера самой волатильности. В таких случаях моделям стохастической волатильности предпочтение отдается .