Модель Хестона

В финансах модель Хестона , названная в честь Стивена Л. Хестона , представляет собой математическую модель , описывающую эволюцию волатильности актива базового . Это модель стохастической волатильности : такая модель предполагает, что волатильность актива не является постоянной и даже не детерминированной, а следует случайному процессу .

Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что , _St цена актива, определяется случайным процессом:

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},$

где волатильность ${\sqrt {\nu _{t}}}$ следует процессу Орнштейна-Уленбека

$d{\sqrt {\nu _{t}}}=-\theta {\sqrt {\nu _{t}}}\,dt+\delta \,dW_{t}^{\nu }.$

Лемма Ито показывает, что $\nu _{t}$, мгновенная дисперсия, определяется квадратным корнем Феллера или процессом CIR ,

$d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu },$

и $W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }$ являются винеровскими процессами (т.е. непрерывными случайными блужданиями) с корреляцией ρ.

Модель имеет пять параметров:

• $\nu _{0}$, начальная дисперсия.
• $\theta$, долгосрочное отклонение или среднее долгосрочное отклонение цены; поскольку t стремится к бесконечности, ожидаемое значение ν _t стремится к θ.
• $\rho$, корреляция двух винеровских процессов .
• $\kappa$, скорость, с которой ν _t возвращается к θ.
• $\xi$, волатильность волатильности, или «объем волатильности», которая определяет дисперсию ν _t .

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), то процесс $\nu _{t}$ является строго положительным

$2\kappa \theta >\xi ^{2}.$

-

см. в разделе «Мера, нейтральная к риску». Полный текст статьи

Фундаментальной концепцией ценообразования деривативов является мера, нейтральная к риску ; это объясняется более подробно в статье выше. Для наших целей достаточно отметить следующее:

1. Чтобы оценить производный инструмент, выплата которого является функцией одного или нескольких базовых активов, мы оцениваем ожидаемую стоимость его дисконтированного выигрыша с использованием нейтрального к риску показателя.
2. Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентная мера мартингала, — это мера, которая эквивалентна реальной мере и свободна от арбитража: при такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингейлом. . См. теорему Гирсанова .
3. В рамках Блэка-Шоулза и Хестона (где фильтрация генерируется только на основе линейно независимого набора винеровских процессов) любая эквивалентная мера может быть описана в очень широком смысле путем добавления дрейфа к каждому из винеровских процессов.
4. Выбрав определенные значения для описанных выше дрейфов, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда мы имеем $n$ базовые активы и линейно независимый набор $m$ Винеровские процессы. Множество эквивалентных мер изоморфно R ^м , пространство возможных дрейфов. Рассмотрим множество эквивалентных мартингальных мер, изоморфное многообразию $M$ встроенный в R ^м ; изначально рассмотрим ситуацию, когда у нас нет активов и $M$ изоморфен R ^м .

Теперь рассмотрим каждый из базовых активов как обеспечивающий ограничение на набор эквивалентных показателей, поскольку его ожидаемый процесс дисконтирования должен быть равен константе (а именно, его первоначальной стоимости). Добавляя по одному активу за раз, мы можем рассматривать каждое дополнительное ограничение как уменьшение размерности $M$ по одному измерению. Отсюда мы видим, что в описанной выше общей ситуации размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна $m-n$.

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один винеровский процесс. Размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, можно показать, что существует единственное значение отклонения и, следовательно, одна нейтральная к риску мера, при которой дисконтированный актив $e^{-\rho t}S_{t}$ будет мартингейл.

В модели Хестона у нас все еще есть один актив (волатильность не считается непосредственно наблюдаемой или торгуемой на рынке), но теперь у нас есть два процесса Винера - первый в стохастическом дифференциальном уравнении (SDE) для цены акций, а второй в SDE для изменения цены акции. Здесь размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна единице; не существует уникальной меры, исключающей риск.

Это, конечно, проблематично; Хотя любая из безрисковых мер теоретически может быть использована для определения цены дериватива, вполне вероятно, что каждая из них даст разную цену. Теоретически, однако, только одна из этих безрисковых мер будет совместима с рыночными ценами опционов , зависящих от волатильности (например, европейские колл-опционы или, более конкретно, дисперсионные свопы ). Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности; поступая так, мы добавляем дополнительное ограничение и, таким образом, выбираем единственную безрисковую меру, совместимую с рынком. Эту меру можно использовать для ценообразования.

Реализация

• Использование преобразования Фурье для определения значений было показано Карром и Маданом.

• Обсуждение реализации модели Хестона провели Каль и Йекель.

• Вывод цен опционов в закрытой форме для зависящей от времени модели Хестона был представлен Benhamou et al.

• Вывод цен опционов в закрытой форме для двойной модели Хестона был дан Christoffersen et al. и Готье и Поссамаи.

• Расширение модели Хестона стохастическими процентными ставками было предложено Гржелаком и Остерли.

• Выражение характеристической функции модели Хестона, которое одновременно является численно непрерывным и легко дифференцируемым по параметрам, было введено Cui et al.

• Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности было предложено Ван Дер Вейстом.

• Явное решение ценового уравнения Хестона с точки зрения волатильности было разработано Курицыным. Это можно объединить с известными слабыми решениями уравнения волатильности и теоремой Гирсанова для получения явных слабых решений модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.

• Эталонные цены высокой точности доступны в блоге Алана Льюиса.
• Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности, основанных на модели Хестона (Шенбушер, SVI и gSVI).

Калибровка

Калибровка модели Хестона часто формулируется как задача наименьших квадратов , где целевая функция минимизирует квадрат разницы между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными на основе модели.

Цены обычно такие же, как у ванильных вариантов . Иногда модель также калибруется по временной структуре дисперсионного обмена, как в случае Гийома и Схоутенса. Еще один подход — включить варианты старта вперед или варианты барьера , чтобы уловить улыбку вперед .

В модели Хестона цена ванильных опционов определяется аналитически, но для вычисления интеграла требуется численный метод. Ле Флок обобщил различные применяемые квадратуры и предложил эффективную адаптивную квадратуру Филона .

Калибровка обычно требует градиента целевой функции относительно параметров модели. Обычно это вычислялось с использованием аппроксимации конечной разности, хотя оно менее точно, менее эффективно и менее элегантно, чем аналитический градиент, поскольку подробное выражение последнего стало доступным только тогда, когда Cui et al. представили новое представление характеристической функции. в 2017 году . Другая возможность – прибегнуть к автоматическому дифференцированию . Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может быть применен с использованием двойных чисел простым способом.

См. также

• Стохастическая волатильность
• Риск-нейтральная мера (другое название эквивалентной меры мартингейла)
• Теорема Гирсанова
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Модель волатильности SABR
• Код MATLAB для реализации Каля, Якеля и Лорда

Ссылки

• Дамгани, Бабак Махдави; Кос, Эндрю (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для снижения риска». Уилмотт . 2013 (1): 40–49. дои : 10.1002/wilm.10201 . S2CID   154646708 .
• Марио, Делл'Эра (2014). «РЕШЕНИЕ В ЗАКРЫТОЙ ФОРМЕ ДЛЯ УЧД ХЕСТОНА ПУТЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ» . 4 (6): 793–807. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )