Филон квадратура

В численном анализе квадратура Филона или Филона представляет собой метод численного интегрирования осциллирующих метод интегралов. Он назван в честь английского математика Луи Наполеона Джорджа Филона , впервые описавшего метод в 1934 году.

Описание

Метод применяется к колебательным определенным интегралам в виде:

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx$

где ${\textstyle f(x)}$ является относительно медленно меняющейся функцией и ${\textstyle g(x)}$ представляет собой либо синус, либо косинус , либо комплексную экспоненту, вызывающую быстрые колебания подынтегральной функции, особенно для высоких частот. В квадратуре Филона ${\textstyle f(x)}$ делится на ${\textstyle 2N}$ подинтервалы длины ${\textstyle h}$ которые затем интерполируются параболами , . Поскольку каждый подинтервал теперь преобразуется в интеграл Фурье квадратичных многочленов , их можно оценить в замкнутой форме путем интегрирования по частям . Для случая ${\textstyle g(x)=\cos(kx)}$, формула интегрирования имеет вид:

$\int _{a}^{b}f(x)\cos(kx)dx\approx h(\alpha \left[f(b)\sin(kb)-f(a)\sin(ka)\right]+\beta C_{2n}+\gamma C_{2n-1})$

где

$\alpha =\left(\theta ^{2}+\theta \sin(\theta )\cos(\theta )-2\sin ^{2}(\theta )\right)/\theta ^{3}$

$\beta =2\left[\theta (1+\cos ^{2}(\theta ))-2\sin(\theta )\cos(\theta )\right]/\theta ^{3}$

$\gamma =4(\sin(\theta )-\theta \cos(\theta ))/\theta ^{3}$

$C_{2n}={\frac {1}{2}}f(a)\cos(ka)+f(a+2h)\cos(k(a+2h))+f(a+4h)\cos(k(a+4h))+\ldots +{\frac {1}{2}}f(b)\cos(kb)$

$C_{2n-1}=f(a+h)\cos(k(a+h))+f(a+3h)\cos(k(a+3h))+\ldots +f(b-h)\cos(k(b-h))$

$\theta =kh$

Явные формулы интегрирования Филона для синусоидальных и комплексных экспоненциальных функций могут быть получены аналогичным образом. Приведенные выше формулы не работают для небольших ${\textstyle \theta }$ значения из-за катастрофической отмены ; В таких случаях аппроксимации рядами Тейлора должны уменьшать численные ошибки, при этом ${\textstyle \theta =1/6}$ рекомендуется в качестве возможной точки переключения для 44-битной мантиссы .

О модификациях, расширениях и обобщениях квадратуры Филона сообщалось в по численному анализу и прикладной математике литературе ; они известны как методы интеграции типа Филона. К ним относятся Филон- трапециевидные и методы Филона– Кленшоу–Кёртиса .

Приложения

Квадратура Филона широко используется в физике и технике для надежного вычисления интегралов типа Фурье. Приложения включают оценку осциллирующих интегралов Зоммерфельда для электромагнитных и сейсмических задач в слоистых средах. и численное решение задач об устойчивом течении несжимаемой жидкости в механике жидкости , а также различные проблемы рассеяния нейтронов , квантовая механика и металлургия .

См. также

• Тан-квадратура рождения