Личность Зоммерфельда

Тождество Зоммерфельда — математическое тождество Арнольда Зоммерфельда , используемое в теории распространения волн .

${\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}$

где

$\mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}$

следует брать с положительной вещественной частью, чтобы обеспечить сходимость интеграла и его исчезновение в пределе $z\rightarrow \pm \infty$ и

$R^{2}=r^{2}+z^{2}$.

Здесь, $R$ расстояние от начала координат, а $r$ - расстояние от центральной оси цилиндра, как в $(r,\phi ,z)$ цилиндрическая система координат . Здесь обозначения функций Бесселя следуют немецкому соглашению, чтобы соответствовать исходным обозначениям, использованным Зоммерфельдом. Функция $I_{0}(z)$ нулевого порядка — функция Бесселя первого рода, более известная под обозначениями $I_{0}(z)=J_{0}(iz)$ в английской литературе.Это тождество известно как тождество Зоммерфельда.

В альтернативных обозначениях тождество Зоммерфельда легче рассматривать как разложение сферической волны в терминах цилиндрически-симметричных волн:

${\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}$

Где

$k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}$

Используемые здесь обозначения отличаются от приведенных выше: $r$ теперь расстояние от начала координат и $\rho$ - радиальное расстояние в цилиндрической системе координат, определяемое как $(\rho ,\phi ,z)$. Физическая интерпретация состоит в том, что сферическую волну можно разложить в сумму цилиндрических волн в $\rho$ направление, умноженное на двустороннюю плоскую волну в $z$ направление; см. расширение Якоби-Ангера . Суммирование необходимо производить по всем волновым числам. $k_{\rho }$.

Тождество Зоммерфельда тесно связано с двумерным преобразованием Фурье с цилиндрической симметрией, т. е. с преобразованием Ханкеля . Он находится путем преобразования сферической волны по плоским координатам ( $x$, $y$, или $\rho$, $\phi$), но не преобразуясь по координате высоты $z$.

Ссылки

• Зоммерфельд, Арнольд (1964). Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса . ISBN  9780126546583 .
• Чу, Венг Чо (1990). Волны и поля в неоднородных средах . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд . ISBN  9780780347496 .