Личность Зоммерфельда
Тождество Зоммерфельда — математическое тождество Арнольда Зоммерфельда , используемое в теории распространения волн .
где
следует брать с положительной вещественной частью, чтобы обеспечить сходимость интеграла и его исчезновение в пределе и
- .
Здесь, расстояние от начала координат, а - расстояние от центральной оси цилиндра, как в цилиндрическая система координат . Здесь обозначения функций Бесселя следуют немецкому соглашению, чтобы соответствовать исходным обозначениям, использованным Зоммерфельдом. Функция нулевого порядка — функция Бесселя первого рода, более известная под обозначениями в английской литературе.Это тождество известно как тождество Зоммерфельда. [1]
В альтернативных обозначениях тождество Зоммерфельда легче рассматривать как разложение сферической волны в терминах цилиндрически-симметричных волн: [2]
Где
Используемые здесь обозначения отличаются от приведенных выше: теперь расстояние от начала координат и - радиальное расстояние в цилиндрической системе координат, определяемое как . Физическая интерпретация состоит в том, что сферическую волну можно разложить в сумму цилиндрических волн в направление, умноженное на двустороннюю плоскую волну в направление; см. расширение Якоби-Ангера . Суммирование необходимо производить по всем волновым числам. .
Тождество Зоммерфельда тесно связано с двумерным преобразованием Фурье с цилиндрической симметрией, т. е. с преобразованием Ханкеля . Он находится путем преобразования сферической волны по плоским координатам ( , , или , ), но не преобразуясь по координате высоты . [3]
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Зоммерфельд, Арнольд (1964). Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса . ISBN 9780126546583 .
- Чу, Венг Чо (1990). Волны и поля в неоднородных средах . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд . ISBN 9780780347496 .