Квадратура Лебедева

В численном анализе квадратура Лебедева , названная в честь Вячеслава Ивановича Лебедева , представляет собой приближение поверхностного интеграла функции по трёхмерной сфере . Сетка построена так, чтобы иметь октаэдрическое вращение и инверсионную симметрию. Количество и расположение точек сетки вместе с соответствующим набором весов интегрирования определяются путем обеспечения точного интегрирования полиномов ( или, что то же самое, сферических гармоник ) до заданного порядка, что приводит к последовательности все более плотных сеток, аналогичной той, что -мерная схема Гаусса-Лежандра .

Сетка Лебедева часто используется при численном вычислении объемных интегралов в сферической системе координат , где она сочетается с одномерной схемой интегрирования по радиальной координате. Приложения сетки можно найти в таких областях, как вычислительная химия и транспорт нейтронов .

Угловые интегралы

Поверхностный интеграл функции по единичной сфере,

$I[f]=\int \mathrm {d} \Omega \ f(\Omega )=\int _{0}^{\pi }\sin(\theta )\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \ f(\theta ,\varphi ),$

аппроксимируется по схеме Лебедева формулой

${\tilde {I}}[f]=4\pi \sum _{i=1}^{N}\ w_{i}f(\theta _{i},\varphi _{i}),$

где должны быть определены конкретные точки сетки и веса сетки. Использование одной суммы, а не двух одномерных схем дискретизации интегралов θ и φ по отдельности, приводит к более эффективной процедуре: для получения аналогичной точности требуется меньшее количество точек сетки. Конкурирующим фактором является ускорение вычислений, доступное при использовании прямого произведения двух одномерных сеток. Несмотря на это, сетка Лебедева по-прежнему превосходит продуктовые сетки. Однако использование двух одномерных интегрирований позволяет лучше осуществлять точную настройку сеток и упрощает использование любой симметрии подынтегрального выражения для удаления точек сетки, эквивалентных симметрии.

Строительство

Точки сетки Лебедева построены так , чтобы лежать на поверхности трехмерной единичной сферы и быть инвариантными относительно октаэдрической группы вращения с инверсией. Для любой точки сферы существует пять, семь, одиннадцать, двадцать три или сорок семь эквивалентных точек относительно октаэдрической группы, и все они включены в сетку. Кроме того, все точки, эквивалентные в группе вращения и инверсии, имеют одинаковые веса. Наименьший такой набор точек состоит из всех шести перестановок (±1, 0, 0) (вместе обозначаемых как ¹ ), что приводит к схеме интеграции

${\tilde {I}}_{6}[f]=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1}),$

Различные классы точек сетки

	Типовой элемент	Ограничение	Количество очков
$a^{1}\,$	$(1,0,0)\,$		6
$a^{2}\,$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1,0)$		12
$a^{3}\,$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}(1,1,1)$		8
$b^{k}\,$	$(l_{k},l_{k},m_{k})\,$	$2l_{k}^{2}+m_{k}^{2}=1$	24
$c^{k}\,$	$(p_{k},q_{k},0)\,$	$p_{k}^{2}+q_{k}^{2}=1$	24
$d^{k}\,$	$(r_{k},S_{k},W_{k})\,$	$r_{k}^{2}+S_{k}^{2}+W_{k}^{2}=1$	48

где вес сетки равен A ₁ . Геометрически эти точки соответствуют вершинам правильного октаэдра, выровненного по декартовым осям. Еще два набора точек, соответствующие центрам и вершинам октаэдра, представляют собой восемь некоррелированных перестановок $1/{\sqrt {3}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ (обозначается как ³ ), и все двенадцать перестановок $1/{\sqrt {2}}(\pm 1,\pm 1,0)$ (обозначается как ² ). Этот выбор точек сетки приводит к схеме

${\tilde {I}}_{26}[f]=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1})+A_{2}\sum _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\sum _{i=1}^{8}f(a_{i}^{3}),$

где A ₁ , A ₂ и A ₃ — весовые функции, которые еще предстоит определить. Можно использовать еще три типа точек, как показано в таблице. Каждый из этих типов классов может вносить в сетку более одного набора точек. В полной общности схема Лебедева имеет вид

${\begin{aligned}{\tilde {I}}_{N}[f]=A_{1}\sum _{i=1}^{6}f(a_{i}^{1})&+A_{2}\sum _{i=1}^{12}f(a_{i}^{2})+A_{3}\sum _{i=1}^{8}f(a_{i}^{3})\\&+\sum _{k=1}^{N_{1}}B_{k}\sum _{i=1}^{24}f(b_{i}^{k})+\sum _{k=1}^{N_{2}}C_{k}\sum _{i=1}^{24}f(c_{i}^{k})+\sum _{k=1}^{N_{3}}D_{k}\sum _{i=1}^{48}f(d_{i}^{k}),\end{aligned}}$

где общее количество точек N равно

$N=26+24(N_{1}+N_{2})+48N_{3}.\,$

но в некоторых случаях A ₂ устанавливается равным нулю, а количество точек равно

$N=14+24(N_{1}+N_{2})+48N_{3}.\,$

Определение весов сетки достигается за счет того, что схема интегрирует ровно все полиномы до заданного порядка. На единичной сфере это эквивалентно интегрированию всех сферических гармоник до одного и того же порядка. Эту задачу упрощает теорема Сергея Львовича Соболева , согласно которой это условие необходимо накладывать только на те многочлены, которые инвариантны относительно октаэдрической группы вращений с инверсией. Выполнение этих условий приводит к набору нелинейных уравнений, которые были решены и сведены в таблицы до 131 порядка полинома.

Внешние ссылки

• Код Фортрана для оценки точек и весов сетки Лебедева
• Коды Python: Quadpy и CasperBeentjes
• [1] Загружаемые точки сетки