Тан-квадратура рождения

Квадратура Тань-синя — это метод численного интегрирования, предложенный Хидэтоси Такахаши и Масатаке Мори в 1974 году. Это особенно применяется там, где особенности или бесконечные производные существуют в одной или обеих конечных точках.

В методе используются гиперболические функции при замене переменных.

$x=\tanh \left({\frac {1}{2}}\pi \sinh t\right)\,$

преобразовать интеграл на интервале x ∈ (−1, 1) в интеграл на всей вещественной прямой t ∈ (−∞, ∞), причем два интеграла имеют одинаковое значение.После этого преобразования подынтегральная функция затухает с двойной экспоненциальной скоростью, поэтому этот метод также известен как формула двойной экспоненты (DE) .

Для заданного размера шага $h$, интеграл аппроксимируется суммой

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{k=-\infty }^{\infty }w_{k}f(x_{k}),$

с абсциссами

$x_{k}=\tanh \left({\frac {1}{2}}\pi \sinh kh\right)$

и веса

$w_{k}={\frac {{\frac {1}{2}}h\pi \cosh kh}{\cosh ^{2}\left({\frac {1}{2}}\pi \sinh kh\right)}}.$

Использовать

Метод Тань-Синь совершенно нечувствителен к поведению конечной точки. Если особенности или бесконечные производные существуют в одной или обеих конечных точках интервала (-1, 1), они отображаются в конечные точки (-∞, ∞) преобразованного интервала, в результате чего особенности конечных точек и бесконечные производные исчезают. Это приводит к значительному повышению точности процедуры численного интегрирования, которая обычно выполняется по правилу трапеций . В большинстве случаев преобразованное подынтегральное выражение имеет быстрый спад (затухание), что позволяет численному интегратору быстро достичь сходимости.

Как и квадратура Гаусса , квадратура Тань-Синь хорошо подходит для интегрирования произвольной точности , где желательна точность в сотни или даже тысячи цифр. Сходимость является экспоненциальной (в смысле дискретизации) для достаточно хороших подынтегральных выражений : удвоение количества точек оценки примерно удваивает количество правильных цифр.Однако квадратура Таня-Шина не так эффективна, как квадратура Гаусса для гладких подынтегральных выражений; но, в отличие от квадратуры Гаусса, имеет тенденцию одинаково хорошо работать с подынтегральными выражениями, имеющими особенности или бесконечные производные на одной или обеих конечных точках интервала интегрирования, как уже отмечалось. Кроме того, квадратуру Тань-Шинь можно реализовать прогрессивным способом, при этом размер шага будет уменьшаться вдвое при каждом повышении уровня правила, а также повторно использовать значения функции, рассчитанные на предыдущих уровнях. Еще одним преимуществом является то, что абсциссы и веса относительно легко вычислить. Стоимость расчета пар абсцисса-вес для n цифр составляет примерно точности н ² бревно ² н по сравнению с н ³ log n для квадратуры Гаусса.

Бэйли и другие провели обширное исследование квадратуры Тань-Синь, квадратуры Гаусса и квадратуры функции ошибки, а также нескольких классических квадратурных методов и обнаружили, что классические методы не конкурируют с первыми тремя методами, особенно при высокой точности. требуются результаты. В докладе на конференции RNC5 по действительным числам и компьютерам (сентябрь 2003 г.) при сравнении квадратуры Тань-Синь с квадратурой Гаусса и квадратурой функции ошибки Бэйли и Ли обнаружили: «В целом схема Тань-Синь кажется лучшей. Она сочетает в себе превосходную точность и быстрое время работы. На сегодняшний день это наиболее близкая к действительно универсальной квадратурной схеме » .

Сравнив схему с квадратурой Гаусса и квадратурой функции ошибки , Бейли и др. (2005) обнаружили, что схема Тань-Синь «кажется лучшей для подынтегральных выражений того типа, который чаще всего встречается в экспериментальных математических исследованиях».

Бэйли (2006) обнаружил, что: «Квадратурная схема Тань-Синь является самой быстрой из известных в настоящее время квадратурной схемой высокой точности , особенно если учитывать время вычисления абсцисс и весов. Она успешно применяется для квадратурных вычислений до 20 000- точность цифр».

Таким образом, квадратурная схема Тань-Синь разработана таким образом, чтобы давать наиболее точный результат при минимальном количестве вычислений функции. На практике правило квадратур Тань-Синь почти всегда является лучшим правилом и часто единственным эффективным правилом, когда требуются результаты с повышенной точностью. .

Реализации

• Квадратура Тан-син, экс-син и Син-син реализованы в библиотеке C++ Boost.
• Квадратура Тан-Шинь реализована в электронной таблице Excel с поддержкой макросов Грэма Деннеса.
• Квадратура Тань-Синь реализована в интеграции пакета Haskell .
• Квадратура Тань-Шинь реализована в библиотеке Python mpmath.
• Эффективная реализация квадратуры Тань-Синь на C#, автор Нед Ганчовски.

Дальнейшее чтение

• Бейли, Дэвид Х. « Квадратура высокой точности Тань-Шинь ». (2006).
• Молин, Паскаль, Численное интегрирование и расчеты L-функций (на французском языке) , докторская диссертация (2010).
• Бейли, Дэвид Х., Картик Джеябалан и Сяое С. Ли , « Сравнение трех высокоточных квадратурных схем ». Экспериментальная математика , 14.3 (2005).
• Бейли, Дэвид Х., Джонатан М. Борвейн, Дэвид Бродхерст и Вадим Зудлин, Экспериментальная математика и математическая физика , в «Жемчужинах экспериментальной математики» (2010), Американское математическое общество, стр. 41–58.
• Джонатан Борвейн , Дэвид Х. Бейли и Роланд Гиргенсон, Эксперименты в математике — вычислительные пути к открытиям . АК Петерс, 2003. ISBN   1-56881-136-5 .
• Мори, Масатаке; Сугихара, Масааки (15 января 2001 г.). «Двухэкспоненциальное преобразование в численном анализе» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 127 (1–2): 287–296. дои : 10.1016/S0377-0427(00)00501-X . ISSN   0377-0427 .
• Мори, Масатаке (2005), «Открытие двойного экспоненциального преобразования и его развитие», Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 41 (4): 897–935, doi : 10.2977/prims/1145474600 , ISSN   0034-5318 . Этот документ также доступен здесь .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 4.5. Квадратура путем преобразования переменной» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Такахаси, Хидетоши; Мори, Масатаке (1974), «Двойные экспоненциальные формулы для числового интегрирования», Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 9 (3): 721–741, doi : 10.2977/prims/1195192451 , ISSN   0034-5318 . Этот документ также доступен здесь .

Внешние ссылки

• Кук, Джон Д., « Двойная экспоненциальная интеграция » с исходным кодом .
• Деннес, Грэм, « Численное интегрирование с квадратурой Тань-Синь » Рабочая тетрадь Microsoft Excel, содержащая четырнадцать квадратурных программ, демонстрирующих Тань-Синь и другие квадратурные методы. Демонстрирует поразительную скорость и точность метода Тань-Синь в частности и методов двойной экспоненты в целом. Квадратурные программы выполняются с использованием широкого и разнообразного набора тестовых интегралов с результатами. Предоставляется полный открытый исходный код VBA и документация.
• Ван Энгелен, Роберт А., « Улучшение формул двойной экспоненциальной квадратуры Тань-Синь, Синх-Синь и Эксп-Синь » сравнивает реализации Тань-Шинь и представляет оптимизации для улучшения скорости и точности сходимости Тань-Шинь. Включает методы Tanh-Sinh, Sinh-Sinh и Exp-Sinh с исходным кодом.