Квадратура Гаусса – Якоби

В численном анализе квадратура Гаусса–Якоби (названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Карла Густава Якоби Якоби ) — это метод числовой квадратуры, основанный на квадратуре Гаусса . Квадратура Гаусса – Якоби может использоваться для аппроксимации интегралов вида

$\int _{-1}^{1}f(x)(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,dx$

где ƒ — гладкая функция на [−1, 1] и α , β > −1 . Интервал [−1, 1] можно заменить любым другим интервалом с помощью линейного преобразования. Таким образом, квадратуру Гаусса – Якоби можно использовать для аппроксимации интегралов с особенностями на концах. Квадратура Гаусса – Лежандра является частным случаем квадратуры Гаусса – Якоби с α = β = 0 . Аналогично квадратура Чебышева – Гаусса первого (второго) рода возникает, если взять α = β = −0,5 (+0,5) . В более общем смысле, специальный случай α = β превращает полиномы Якоби в полиномы Гегенбауэра , и в этом случае этот метод иногда называют квадратурой Гаусса – Гегенбауэра .

В квадратуре Гаусса – Якоби используется ω ( x ) = (1 - x ) ^а (1 + х ) ^б как весовая функция. Соответствующая последовательность ортогональных полиномов состоит из полиномов Якоби . Таким образом, квадратурное правило Гаусса–Якоби на n точках имеет вид

$\int _{-1}^{1}f(x)(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,dx\approx \lambda _{1}f(x_{1})+\lambda _{2}f(x_{2})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n}),$

где x ₁ , …, x _n — корни многочлена Якоби степени n . Веса λ ₁ , …, λ _n определяются по формуле

$\lambda _{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}\,{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}\,{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )\,\prime }(x_{i})P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x_{i})}},$

где Γ обозначает гамма-функцию , а P ^{( а , б )}
_n ( x ) полином Якоби степени n .

Погрешность (разница между приблизительным и точным значением) составляет:

$E_{n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)[\Gamma (2n+\alpha +\beta +1)]^{2}}}{\frac {2^{2+\alpha +\beta +1}}{(2n)!}}f^{(2n)}(\xi ),$

где $-1<\xi <1$.

Ссылки

• Рабиновиц, Филип (2001), «§4.8-1: квадратура Гаусса – Якоби», Первый курс численного анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-41454-6 .

Внешние ссылки

• Правило Якоби - бесплатное программное обеспечение (Matlab, C++ и Fortran) для вычисления интегралов с помощью квадратурных правил Гаусса – Якоби.
• Правило Гегенбауэра - бесплатное программное обеспечение (Matlab, C++ и Fortran) для квадратуры Гаусса – Гегенбауэра.