правило Буля

Сюда перенаправляется широко распространенная типографская ошибка «Правило Боде». Чтобы узнать о законе Боде, см. Закон Тициуса-Боде .

В математике , правило Буля , названное в честь Джорджа Буля представляет собой метод численного интегрирования .

Формула

Простое правило Буля

Он приближается к интегралу: $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$ используя значения f в пяти равноотстоящих точках: $${\begin{aligned}&x_{0}=a\\&x_{1}=x_{0}+h\\&x_{2}=x_{0}+2h\\&x_{3}=x_{0}+3h\\&x_{4}=x_{0}+4h=b\end{aligned}}$$

Это выражено у Абрамовица и Стегуна следующим образом : $$\int _{x_{0}}^{x_{4}}f(x)\,dx={\frac {2h}{45}}{\bigl [}7f(x_{0})+32f(x_{1})+12f(x_{2})+32f(x_{3})+7f(x_{4}){\bigr ]}+{\text{error term}}$$ где член ошибки $$-\,{\frac {8f^{(6)}(\xi )h^{7}}{945}}$$ на какое-то число ⁠ $\xi$⁠ между ⁠ $x_{0}$⁠ и ⁠ $x_{4}$⁠ где 945 = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 .

Его часто называют правилом Боде из-за типографской ошибки, исходящей от Абрамовица и Стегуна.

Ниже представлена ​​очень простая реализация метода в Common Lisp , которая игнорирует термин ошибки:

(defun integrate-booles-rule (f x1 x5)
  "Calculates the Boole's rule numerical integral of the function F in
   the closed interval extending from inclusive X1 to inclusive X5
   without error term inclusion."
  (declare (type (function (real) real) f))
  (declare (type real                   x1 x5))
  (let ((h (/ (- x5 x1) 4)))
    (declare (type real h))
    (let* ((x2 (+ x1 h))
           (x3 (+ x2 h))
           (x4 (+ x3 h)))
      (declare (type real x2 x3 x4))
      (* (/ (* 2 h) 45)
         (+ (*  7 (funcall f x1))
            (* 32 (funcall f x2))
            (* 12 (funcall f x3))
            (* 32 (funcall f x4))
            (*  7 (funcall f x5)))))))

Составное правило Буля

В случаях, когда допускается интегрирование на равноотстоящих участках интервала $[a,b]$, можно применить составное правило Буля. Данный $N$ подразделения, где $N$ против $4=0$, интегрированное значение составляет:

$$\int _{x_{0}}^{x_{N}}f(x)\,dx={\frac {2h}{45}}\left(7(f(x_{0})+f(x_{N}))+32\left(\sum _{i\in \{1,3,5,\ldots ,N-1\}}f(x_{i})\right)+12\left(\sum _{i\in \{2,6,10,\ldots ,N-2\}}f(x_{i})\right)+14\left(\sum _{i\in \{4,8,12,\ldots ,N-4\}}f(x_{i})\right)\right)+{\text{error term}}$$

где член ошибки аналогичен приведенному выше. Следующий код Common Lisp реализует вышеупомянутую формулу:

(defun integrate-composite-booles-rule (f a b n)
  "Calculates the composite Boole's rule numerical integral of the
   function F in the closed interval extending from inclusive A to
   inclusive B across N subintervals."
  (declare (type (function (real) real) f))
  (declare (type real                   a b))
  (declare (type (integer 1 *)          n))
  (let ((h (/ (- b a) n)))
    (declare (type real h))
    (flet ((f[i] (i)
            (declare (type (integer 0 *) i))
            (let ((xi (+ a (* i h))))
              (declare (type real xi))
              (the real (funcall f xi)))))
      (* (/ (* 2 h) 45)
         (+ (*  7 (+ (f[i] 0) (f[i] n)))
            (* 32 (loop for i from 1 to (- n 1) by 2 sum (f[i] i)))
            (* 12 (loop for i from 2 to (- n 2) by 4 sum (f[i] i)))
            (* 14 (loop for i from 4 to (- n 4) by 4 sum (f[i] i))))))))

См. также

• Формулы Ньютона–Котеса
• Правило Симпсона
• метод Ромберга

Ссылки

• Буль, Джордж (1880) [1860]. Трактат об исчислении конечных разностей (3-е изд.). Макмиллан и компания .
• Дэвис, Филип Дж.; Полонский, Иван (1983) [июнь 1964]. «Глава 25, уравнение 25.4.14» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 886. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Саблоньер, П.; Сбибих, Д.; Тахричи, М. (2010). «Оценка ошибки и экстраполяция квадратурной формулы, полученной на основе квазиинтерполянта сплайна четвертой степени». БИТ Численная математика . 50 : 843–862. дои : 10.1007/s10543-010-0278-0 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Правило Буля» . Математический мир .