Точный процесс Пуассона

Пуассоновский процесс

Функция плотности вероятности
Иметь в виду	$a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha$
Дисперсия	$a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}$ с $R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}$ где для $E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}$

Визуальное изображение запуска точечного процесса Пуассона.

В теории вероятностей , статистике и смежных областях точечный процесс Пуассона — это тип случайного математического объекта , который состоит из точек, случайно расположенных в математическом пространстве, с той существенной особенностью, что точки возникают независимо друг от друга. Точечный процесс Пуассона также называют случайной мерой Пуассона , полем случайных точек Пуассона и точечным полем Пуассона . Когда процесс определяется на прямой числовой линии , его часто называют просто процессом Пуассона.

Этот точечный процесс имеет удобные математические свойства: что привело к тому, что его часто определяли в евклидовом пространстве и использовали в качестве математической модели для, казалось бы, случайных процессов во многих дисциплинах, включая астрономию . биология , экология , геология , сейсмология , физика , экономика , обработка изображений , и телекоммуникации .

Название процесса происходит от того факта, что если набор случайных точек образует процесс Пуассона, то количество точек в области конечного размера является случайной величиной с распределением Пуассона . Процесс и распределение названы в честь французского математика Симеона Дени Пуассона . Сам процесс был открыт независимо и неоднократно в нескольких местах, включая эксперименты по радиоактивному распаду , телефонным звонкам и актуарной науке .

Точечный процесс Пуассона часто определяют на прямой числовой линии, где его можно рассматривать как случайный процесс . Он используется, например, в теории массового обслуживания. моделировать случайные события, распределенные во времени, например приход покупателей в магазин, телефонные звонки на бирже или возникновение землетрясений. На плоскости точечный процесс, также известный как пространственный процесс Пуассона , может представлять расположение разбросанных объектов, таких как передатчики в беспроводной сети , частицы, сталкивающиеся с детектором или деревьями в лесу. Этот процесс часто используется в математических моделях и в смежных областях пространственных точечных процессов. стохастическая геометрия , пространственная статистика и теория перколяции континуума .

Точечный процесс Пуассона можно определить в более абстрактных пространствах. Помимо приложений, точечный процесс Пуассона сам по себе является объектом математического исследования. Точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что каждая точка стохастически независима от всех других точек процесса, поэтому его иногда называют чисто или полностью случайным процессом. Моделирование системы как процесса Пуассона недостаточно, когда взаимодействия между точками слишком сильны (т. е. точки не являются стохастически независимыми). Такую систему лучше моделировать с помощью другого точечного процесса.

Точечный процесс зависит от одного математического объекта, который, в зависимости от контекста, может быть константой , локально интегрируемой функцией или, в более общих условиях, мерой Радона . В первом случае константа, известная как скорость или интенсивность , представляет собой среднюю плотность точек пуассоновского процесса, расположенных в некоторой области пространства. Результирующий точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона . Во втором случае точечный процесс называется неоднородным или неоднородным точечным пуассоновским процессом , а средняя плотность точек зависит от расположения основного пространства пуассоновского точечного процесса. Слово точка часто опускается. но существуют и другие процессы Пуассона для объектов, которые вместо точек состоят из более сложных математических объектов, таких как линии и многоугольники , и такие процессы могут быть основаны на точечном процессе Пуассона. Как однородные, так и неоднородные точечные процессы Пуассона являются частными случаями обобщенного процесса восстановления .

Обзор определений

В зависимости от настройки процесс имеет несколько эквивалентных определений. а также определения различной общности благодаря многочисленным применениям и характеристикам. Точечный процесс Пуассона можно определить, изучить и использовать в одном измерении, например, на реальной линии, где его можно интерпретировать как процесс подсчета или часть модели массового обслуживания; в более высоких измерениях, таких как плоскость, где он играет роль в стохастической геометрии. и пространственная статистика ; или в более общих математических пространствах. Следовательно, обозначения, терминология и уровень математической строгости, используемые для определения и изучения точечного процесса Пуассона и точечных процессов в целом, различаются в зависимости от контекста.

Несмотря на все это, точечный процесс Пуассона имеет два ключевых свойства — свойство Пуассона и свойство независимости, — которые играют важную роль во всех ситуациях, где используется точечный процесс Пуассона. Эти два свойства не являются логически независимыми; действительно, распределение Пуассона количества точек подразумевает свойство независимости, в то время как в обратном направлении требуются предположения о том, что: (i) точечный процесс прост, (ii) не имеет фиксированных атомов и (iii) ограниченно конечен.

Распределение Пуассона количества точек

Точечный процесс Пуассона характеризуется распределением Пуассона . Распределение Пуассона — это распределение вероятностей случайной величины. ${\textstyle N}$ (называемая случайной величиной Пуассона ) такая, что вероятность того, что $\textstyle N$ равно $\textstyle n$ дается:

$\Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }$

где ${\textstyle n!}$ обозначает факториал и параметр ${\textstyle \Lambda }$ определяет форму распределения. (Фактически, ${\textstyle \Lambda }$ равно ожидаемому значению ${\textstyle N}$.)

По определению, точечный процесс Пуассона обладает тем свойством, что количество точек в ограниченной области основного пространства процесса является случайной величиной, распределенной по Пуассону.

Полная независимость

Рассмотрим набор непересекающихся и ограниченных подобластей основного пространства. По определению число точек точечного процесса Пуассона в каждой ограниченной подобласти будет совершенно независимо от всех остальных.

Это свойство известно под несколькими названиями, такими как полная случайность , полная независимость , или независимое рассеяние и является общим для всех точечных процессов Пуассона. Другими словами, отсутствует взаимодействие между различными регионами и точками в целом. что заставляет процесс Пуассона иногда называть чисто или полностью случайным процессом.

Однородный точечный процесс Пуассона

Если точечный процесс Пуассона имеет параметр вида ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$, где ${\textstyle \nu }$ является мерой Лебега (т. е. присваивает множествам длину, площадь или объём) и ${\textstyle \lambda }$ является константой, то точечный процесс называется однородным или стационарным точечным процессом Пуассона. Параметр, называемый скоростью или интенсивностью , связан с ожидаемым (или средним) количеством точек Пуассона, существующих в некоторой ограниченной области. где скорость обычно используется, когда базовое пространство имеет одно измерение. Параметр ${\textstyle \lambda }$ может интерпретироваться как среднее количество точек на некоторую единицу протяженности, такую ​​как длина , площадь, объем или время, в зависимости от основного математического пространства, и это также называется средней плотностью или средней скоростью ; см . Терминология .

Интерпретируется как процесс подсчета

Однородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, можно определить как счетный процесс , тип случайного процесса, который можно обозначить как ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$. Процесс подсчета представляет собой общее количество происшествий или событий, которые произошли до момента времени включительно. ${\textstyle t}$. Процесс счета – это однородный процесс счета Пуассона со скоростью ${\textstyle \lambda >0}$ если он обладает следующими тремя свойствами:

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• имеет независимые приращения ; и
• количество событий (или точек) в любом интервале длины ${\textstyle t}$ — случайная величина Пуассона с параметром (или средним значением) ${\textstyle \lambda t}$.

Последнее свойство подразумевает:

$\operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.$

Другими словами, вероятность случайной величины ${\textstyle N(t)}$ быть равным ${\textstyle n}$ дается:

$\Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.$

Процесс подсчета Пуассона также можно определить, заявив, что разницы во времени между событиями процесса подсчета являются экспоненциальными переменными со средним значением. ${\textstyle 1/\lambda }$. Разница во времени между событиями или прибытиями известна как межприбытие. или время взаимодействия .

Интерпретируется как точечный процесс на реальной линии

Интерпретируемый как точечный процесс , точечный процесс Пуассона может быть определен на действительной линии , учитывая количество точек процесса на интервале. ${\textstyle (a,b]}$. Для однородного точечного процесса Пуассона на действительной прямой с параметром ${\textstyle \lambda >0}$, вероятность этого случайного числа точек, записанная здесь как ${\textstyle N(a,b]}$, равный некоторому счетному числу ${\textstyle n}$ дается:

$\Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},$

Для некоторого положительного целого числа ${\textstyle k}$, однородный точечный процесс Пуассона имеет конечномерное распределение, определяемое формулой:

$\Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},$

где реальные цифры ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$.

Другими словами, ${\textstyle N(a,b]}$ — случайная величина Пуассона со средним значением ${\textstyle \lambda (b-a)}$, где ${\textstyle a\leq b}$. Более того, количество точек в любых двух непересекающихся интервалах, скажем, ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ и ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ независимы друг от друга, и это распространяется на любое конечное число непересекающихся интервалов. В контексте теории массового обслуживания можно рассматривать существующую точку (в интервале) как событие , но это отличается от слова «событие» в смысле теории вероятностей. Отсюда следует, что ${\textstyle \lambda }$ — ожидаемое количество прибытий , происходящих в единицу времени.

Ключевые свойства

Предыдущее определение имеет две важные особенности, общие для точечных процессов Пуассона в целом:

• число прибывших в каждом конечном интервале имеет распределение Пуассона;
• количество вступлений в непересекающиеся интервалы является независимыми случайными величинами.

Кроме того, у него есть третья особенность, связанная только с однородным точечным процессом Пуассона:

• распределение Пуассона числа прибывших в каждом интервале ${\textstyle (a+t,b+t]}$ зависит только от длины интервала ${\textstyle b-a}$.

Другими словами, для любого конечного ${\textstyle t>0}$, случайная величина ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ не зависит от ${\textstyle t}$, поэтому его еще называют стационарным процессом Пуассона.

Закон больших чисел

Количество ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ можно интерпретировать как ожидаемое или среднее количество точек, встречающихся в интервале ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$, а именно:

$\operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),$

где $\operatorname {E}$ обозначает оператор ожидания . Другими словами, параметр ${\textstyle \lambda }$ процесса Пуассона совпадает с плотностью точек. Более того, однородный точечный процесс Пуассона придерживается своей собственной формы (сильного) закона больших чисел. Точнее, с вероятностью один:

$\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,$

где ${\textstyle \lim }$ обозначает предел функции, а $\lambda$ ожидаемое количество прибытий, произошедших в единицу времени.

Свойство без памяти

Расстояние между двумя последовательными точками точечного процесса на действительной прямой будет экспоненциальной случайной величиной с параметром ${\textstyle \lambda }$ (или, что то же самое, означает ${\textstyle 1/\lambda }$). Это означает, что точки обладают свойством отсутствия памяти : существование одной точки в конечном интервале не влияет на вероятность (распределение) существования других точек. но это свойство не имеет естественной эквивалентности, когда процесс Пуассона определен в пространстве более высоких измерений.

Упорядоченность и простота

Точечный процесс со стационарными приращениями иногда называют упорядоченным . или обычный, если:

$\Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),$

где обозначение Little-o используется . Точечный процесс называется простым точечным процессом , если вероятность совпадения любой из двух его точек в одном и том же положении в базовом пространстве равна нулю. Для точечных процессов вообще на действительной прямой свойство упорядоченности означает, что процесс прост, что имеет место для однородного точечного процесса Пуассона.

Характеристика Мартингейла

На реальной линии однородный точечный процесс Пуассона связан с теорией мартингалов посредством следующей характеристики: точечный процесс является однородным точечным пуассоновским процессом тогда и только тогда, когда

$N(-\infty ,t]-\lambda t,$

это мартингейл.

Связь с другими процессами

В действительности процесс Пуассона представляет собой разновидность Марковского процесса с непрерывным временем, известного как процесс рождения , частный случай процесса рождения-смерти (с только рождениями и нулевым числом смертей). более сложные процессы с марковским свойством , такие как марковские процессы прибытия , где процесс Пуассона является особым случаем. Были определены

Ограничено полулинией

Если рассматривать однородный пуассоновский процесс только на полупрямой ${\textstyle [0,\infty )}$, что может иметь место, когда ${\textstyle t}$ представляет время тогда результирующий процесс не является истинно инвариантным относительно трансляции. В этом случае процесс Пуассона больше не является стационарным, согласно некоторым определениям стационарности.

Приложения

Было много применений однородного процесса Пуассона на реальной линии в попытке смоделировать происходящие, казалось бы, случайные и независимые события. Он играет фундаментальную роль в теории массового обслуживания , которая представляет собой поле вероятности разработки подходящих стохастических моделей для представления случайного появления и ухода определенных явлений. Например, прибытие и обслуживание клиентов или телефонные звонки, поступающие на телефонную станцию, можно изучать с помощью методов теории массового обслуживания.

Обобщения

Однородный процесс Пуассона на действительной прямой считается одним из простейших стохастических процессов подсчета случайного числа точек. Этот процесс можно обобщить несколькими способами. Одним из возможных обобщений является расширение распределения времен между прибытиями с экспоненциального распределения на другие распределения, что вводит стохастический процесс, известный как процесс восстановления . Другое обобщение заключается в определении точечного процесса Пуассона в пространствах более высоких размерностей, таких как плоскость.

Пространственный точечный процесс Пуассона

Дополнительная информация: Полная пространственная случайность.

Пространственный пуассоновский процесс — это точечный пуассоновский процесс, определенный на плоскости $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$. Для ее математического определения сначала рассматривают ограниченную, открытую или закрытую (точнее, измеримую по Борелю ) область. ${\textstyle B}$ самолета. Количество точек точечного процесса $\textstyle N$ существующий в этом регионе $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}$ – случайная величина, обозначаемая $\textstyle N(B)$. Если точки принадлежат однородному пуассоновскому процессу с параметром $\textstyle \lambda >0$, то вероятность $\textstyle n$ точки, существующие в $\textstyle B$ дается:

$\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}$

где $\textstyle |B|$ обозначает площадь $\textstyle B$.

Для некоторого конечного целого числа $\textstyle k\geq 1$, мы можем дать конечномерное распределение однородного точечного процесса Пуассона, сначала рассмотрев набор непересекающихся ограниченных борелевских (измеримых) множеств $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}$. Количество точек точечного процесса $\textstyle N$ существующий в $\textstyle B_{i}$ можно записать как $\textstyle N(B_{i})$. Тогда однородный точечный процесс Пуассона с параметром $\textstyle \lambda >0$ имеет конечномерное распределение:

$\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.$

Приложения

Согласно одному статистическому исследованию, положения базовых станций сотовой или мобильной связи в австралийском городе Сидней , изображенном выше, напоминают реализацию однородного точечного процесса Пуассона, в то время как во многих других городах мира это не так, а другие точечные процессы необходимый.

Пространственный точечный процесс Пуассона занимает видное место в пространственной статистике . стохастическая геометрия и теория перколяции континуума . Этот точечный процесс применяется в различных физических науках, например, в модели, разработанной для обнаружения альфа-частиц. В последние годы его часто использовали для моделирования, казалось бы, неупорядоченных пространственных конфигураций определенных сетей беспроводной связи. Например, были разработаны модели сотовых или мобильных телефонных сетей, в которых предполагается, что передатчики телефонной сети, известные как базовые станции, расположены в соответствии с однородным точечным процессом Пуассона.

Определено в более высоких измерениях

Предыдущий однородный точечный процесс Пуассона немедленно распространяется на более высокие измерения, заменяя понятие площади (многомерным) объемом. Для некоторой ограниченной области $\textstyle B$ евклидова пространства $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$, если точки образуют однородный пуассоновский процесс с параметром $\textstyle \lambda >0$, то вероятность $\textstyle n$ точки, существующие в $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}$ дается:

$\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}$

где $\textstyle |B|$ теперь обозначает $\textstyle d$-мерный объем $\textstyle B$. Более того, для набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}$, позволять $\textstyle N(B_{i})$ обозначают количество точек $\textstyle N$ существующий в $\textstyle B_{i}$. Тогда соответствующий однородный точечный процесс Пуассона с параметром $\textstyle \lambda >0$ имеет конечномерное распределение:

$\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.$

Однородные точечные пуассоновские процессы не зависят от положения подстилающего пространства через его параметр $\textstyle \lambda$, что означает, что это одновременно стационарный процесс (инвариантный к перемещению) и изотропный (инвариантный к вращению) случайный процесс. Как и в одномерном случае, однородный точечный процесс ограничен некоторым ограниченным подмножеством ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$, то в зависимости от некоторых определений стационарности процесс перестает быть стационарным.

Очки распределяются равномерно

Если однородный точечный процесс определен на реальной линии как математическая модель возникновения какого-либо явления, то его характеристикой является то, что положения этих явлений или событий на реальной линии (часто интерпретируемые как время) будут равномерно распределены. Точнее, если событие происходит (согласно этому процессу) в интервале $\textstyle (a,b]$ где $\textstyle a\leq b$, то его местоположение будет однородной случайной величиной, определенной на этом интервале. Кроме того, однородный точечный процесс иногда называют равномерным точечным процессом Пуассона (см. Терминологию ). Это свойство однородности распространяется на более высокие измерения в декартовой координате, но не, например, в полярных координатах.

Неоднородный точечный процесс Пуассона

График неоднородного точечного процесса Пуассона на прямой. События отмечены черными крестиками, скорость зависит от времени. $\lambda (t)$ задается функцией, отмеченной красным.

Неоднородный неоднородный или ) — это точечный процесс Пуассона (см. Терминологию точечный процесс Пуассона с набором параметров Пуассона как некоторой зависящей от местоположения функции в базовом пространстве, на котором определен процесс Пуассона. Для евклидова пространства $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$, это достигается введением локально интегрируемой положительной функции $\lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )$, такой, что для каждой ограниченной области $\textstyle B$ ( $\textstyle d$-мерный) объемный интеграл $\textstyle \lambda (x)$ по региону $\textstyle B$ конечно. Другими словами, если этот интеграл, обозначаемый $\textstyle \Lambda (B)$, является:

$\Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,$

где $\textstyle {\mathrm {d} x}$ это ( $\textstyle d$-мерный) элемент объема, тогда для любого набора непересекающихся по Борелю множеств ограниченных измеримых $\textstyle B_{1},\dots ,B_{k}$, неоднородный пуассоновский процесс с функцией (интенсивности) $\textstyle \lambda (x)$ имеет конечномерное распределение:

$\Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.$

Более того, $\textstyle \Lambda (B)$ имеет интерпретацию как ожидаемое количество точек процесса Пуассона, расположенных в ограниченной области. $\textstyle B$, а именно

$\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].$

Определено на реальной линии

На действительной прямой неоднородный или неоднородный точечный процесс Пуассона имеет среднюю меру, определяемую одномерным интегралом. Для двух действительных чисел $\textstyle a$ и $\textstyle b$, где $\textstyle a\leq b$, обозначим $\textstyle N(a,b]$ число точек неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности $\textstyle \lambda (t)$ происходит в интервале $\textstyle (a,b]$. Вероятность $\textstyle n$ точки, существующие в указанном выше интервале $\textstyle (a,b]$ дается:

$\Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.$

где среднее значение или мера интенсивности:

$\Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,$

это означает, что случайная величина $\textstyle N(a,b]$ — случайная величина Пуассона со средним значением $\textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)$.

Особенностью одномерной постановки является то, что неоднородный пуассоновский процесс можно преобразовать в однородный с помощью монотонного преобразования или отображения, что достигается с помощью обратного процесса: $\textstyle \Lambda$.

Интерпретация процесса подсчета

Неоднородный точечный процесс Пуассона, если рассматривать его на положительной полупрямой, также иногда определяют как счетный процесс. При такой интерпретации процесс, который иногда записывают как $\textstyle \{N(t),t\geq 0\}$, представляет собой общее количество происшествий или событий, произошедших до момента времени включительно. $\textstyle t$. Говорят, что счетный процесс является неоднородным пуассоновским счетным процессом, если он обладает четырьмя свойствами:

• $\textstyle N(0)=0;$
• имеет независимые приращения ;
• $\textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);$ и
• $\textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),$

где $\textstyle o(h)$ является асимптотическим или обозначением мало-о для $\textstyle o(h)/h\rightarrow 0$ как $\textstyle h\rightarrow 0$.В случае точечных процессов с рефрактерностью (например, последовательностей нейронных спайков) применяется более сильная версия свойства 4: $\Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})$.

Вышеуказанные свойства подразумевают, что $\textstyle N(t+h)-N(t)$ — случайная величина Пуассона с параметром (или средним значением)

$\operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,$

что подразумевает

$\operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.$

Пространственный процесс Пуассона

Неоднородный пуассоновский процесс, заданный на плоскости $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ называется пространственным процессом Пуассона Он определяется с помощью функции интенсивности, и ее мера интенсивности получается путем поверхностного интеграла от функции интенсивности по некоторой области. Например, его функция интенсивности (как функция декартовых координат ${\textstyle x}$ и $\textstyle y$) может быть

$\lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},$

поэтому соответствующая мера интенсивности определяется поверхностным интегралом

$\Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,$

где ${\textstyle B}$ это некоторая ограниченная область на плоскости ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$.

В высших измерениях

В самолете, ${\textstyle \Lambda (B)}$ соответствует поверхностному интегралу, а в ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ интеграл становится ( ${\textstyle d}$-мерный) объемный интеграл.

Приложения

Когда реальная линия интерпретируется как время, неоднородный процесс используется в области счетных процессов и теории массового обслуживания. Примеры явлений, которые были представлены или выглядели как неоднородный точечный процесс Пуассона, включают:

• Забитые голы в футбольном матче.
• Дефекты в печатной плате

На плоскости точечный процесс Пуассона важен в смежных дисциплинах стохастической геометрии. и пространственная статистика. Мера интенсивности этого точечного процесса зависит от местоположения подстилающего пространства, а это означает, что ее можно использовать для моделирования явлений с плотностью, которая варьируется в некоторой области. Другими словами, явления можно представить в виде точек, плотность которых зависит от местоположения. Этот процесс использовался в различных дисциплинах, включая изучение лосося и морских вшей в океанах, лесное хозяйство, и проблемы с поиском.

Интерпретация функции интенсивности

Функция интенсивности Пуассона ${\textstyle \lambda (x)}$ имеет интерпретацию, считающуюся интуитивной, с элементом объема ${\textstyle \mathrm {d} x}$ в бесконечно малом смысле: ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ — бесконечно малая вероятность существования точки пуассоновского точечного процесса в области пространства объёмом ${\textstyle \mathrm {d} x}$ расположен по адресу ${\textstyle x}$.

Например, для однородного точечного процесса Пуассона на вещественной прямой вероятность найти одну точку процесса в небольшом интервале ширины ${\textstyle \delta }$ примерно ${\textstyle \lambda \delta }$. Фактически, именно такая интуиция иногда вводит точечный процесс Пуассона и выводит его распределение.

Простой точечный процесс

Если точечный процесс Пуассона имеет меру интенсивности, которая является локально конечной и диффузной (или неатомной), то это простой точечный процесс . Для простого точечного процесса вероятность существования точки в одной точке или месте в базовом пространстве (состояний) равна нулю или единице. Это означает, что с вероятностью единица никакие две (или более) точки точечного процесса Пуассона не совпадают по расположению в базовом пространстве.

Моделирование

Моделирование процесса точки Пуассона на компьютере обычно выполняется в ограниченной области пространства, известной как окно моделирования , и требует двух шагов: соответствующего создания случайного числа точек, а затем соответствующего размещения точек случайным образом. Оба этих шага зависят от конкретного моделируемого процесса точки Пуассона.

Шаг 1: Количество баллов

Количество очков ${\textstyle N}$ в окне, обозначенном здесь ${\textstyle W}$, необходимо смоделировать, что делается с помощью функции генерации (псевдо)случайных чисел, способной моделировать случайные величины Пуассона.

Однородный случай

Для однородного случая с константой ${\textstyle \lambda }$, среднее значение случайной величины Пуассона ${\textstyle N}$ установлено на ${\textstyle \lambda |W|}$ где ${\textstyle |W|}$ длина, площадь или ( ${\textstyle d}$-мерный) объем ${\textstyle W}$.

Неоднородный случай

Для неоднородного случая ${\textstyle \lambda |W|}$ заменяется на ( ${\textstyle d}$-мерный) интеграл объема

$\Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x$

Шаг 2: Расположение точек

Второй этап требует случайного размещения $\textstyle N$ точки в окне $\textstyle W$.

Однородный случай

Для однородного случая в одном измерении все точки равномерно и независимо размещаются в окне или интервале. $\textstyle W$. Для более высоких измерений в декартовой системе координат каждая координата равномерно и независимо размещается в окне. $\textstyle W$. Если окно не является подпространством декартова пространства (например, внутри единичной сферы или на поверхности единичной сферы), то точки не будут располагаться равномерно в $\textstyle W$, и необходима подходящая замена координат (из декартовых).

Неоднородный случай

Для неоднородного случая можно использовать несколько различных методов в зависимости от характера функции интенсивности. $\textstyle \lambda (x)$. Если функция интенсивности достаточно проста, то можно генерировать независимые и случайные неоднородные (декартовы или другие) координаты точек. Например, моделирование точечного процесса Пуассона в круглом окне можно выполнить для изотропной функции интенсивности (в полярных координатах $\textstyle r$ и $\textstyle \theta$), подразумевая, что это вариант вращения или не зависит от $\textstyle \theta$ но зависит от $\textstyle r$, заменой переменной в $\textstyle r$ если функция интенсивности достаточно проста.

Для более сложных функций интенсивности можно использовать метод принятия-отклонения , который заключается в использовании (или «принятии») только определенных случайных точек и неиспользовании (или «отклонении») других точек на основе соотношения:

${\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}$

где $\textstyle x_{i}$ является предметом рассмотрения для принятия или отклонения.

Общий точечный процесс Пуассона

В теории меры точечный процесс Пуассона можно далее обобщить до того, что иногда называют общим точечным процессом Пуассона. или общий процесс Пуассона с помощью меры Радона $\textstyle \Lambda$, что является локально конечной мерой . В общем, эта мера Радона $\textstyle \Lambda$ может быть атомарным, что означает, что несколько точек точечного процесса Пуассона могут существовать в одном и том же месте основного пространства. В этой ситуации количество очков в $\textstyle x$ — случайная величина Пуассона со средним значением $\textstyle \Lambda ({x})$. Но иногда предполагается обратное, поэтому мера Радона $\textstyle \Lambda$ является диффузным или неатомным.

Точечный процесс $\textstyle {N}$ представляет собой общий точечный процесс Пуассона с интенсивностью $\textstyle \Lambda$ если он имеет два следующих свойства:

• количество точек в ограниченном борелевском множестве $\textstyle B$ — случайная величина Пуассона со средним значением $\textstyle \Lambda (B)$. Другими словами, обозначим общее количество точек, расположенных в $\textstyle B$ к $\textstyle {N}(B)$, то вероятность случайной величины $\textstyle {N}(B)$ быть равным $\textstyle n$ дается:

$\Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}$

• количество очков в $\textstyle n$ формы непересекающихся борелевских множеств $\textstyle n$ независимые случайные величины.

Радоновая мера $\textstyle \Lambda$ сохраняет свою предыдущую интерпретацию ожидаемого количества очков $\textstyle {N}$ расположен в ограниченной области $\textstyle B$, а именно

$\Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].$

Кроме того, если $\textstyle \Lambda$ абсолютно непрерывен и имеет плотность (которая является плотностью Радона–Никодима или производной) относительно меры Лебега, то для всех борелевских множеств $\textstyle B$ это можно записать как:

$\Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,$

где плотность $\textstyle \lambda (x)$ известна, среди других терминов, как функция интенсивности.

История

Распределение Пуассона

Несмотря на свое название, точечный процесс Пуассона не был открыт и изучен его тезкой. Это приводится в качестве примера закона эпонимии Стиглера . Название происходит от внутренней связи процесса с распределением Пуассона, полученным Пуассоном как предельный случай биномиального распределения . Он описывает вероятность суммы $\textstyle n$ Испытания Бернулли с вероятностью $\textstyle p$, часто сравнивается с количеством орла (или решки) после $\textstyle n$ предвзятое подбрасывание монеты с вероятностью выпадения орла (или решки) $\textstyle p$. Для некоторой положительной константы $\textstyle \Lambda >0$, как $\textstyle n$ увеличивается до бесконечности и $\textstyle p$ уменьшается до нуля, так что произведение $\textstyle np=\Lambda$ фиксировано, распределение Пуассона более близко приближается к биномиальному.

, исследуя биномиальное распределение в пределе Пуассон вывел распределение Пуассона, опубликованное в 1841 году $\textstyle p$ (до нуля) и $\textstyle n$ (до бесконечности). Во всех работах Пуассона оно встречается только один раз: и результат в его время не был широко известен. В последующие годы другие использовали это распределение, не ссылаясь на Пуассона, в том числе Филипп Людвиг фон Зейдель и Эрнст Аббе . В конце XIX века Ладислав Борткевич изучал распределение, цитируя Пуассона, используя реальные данные о количестве смертей от ударов лошадьми в прусской армии .

Открытие

Есть ряд заявлений о раннем использовании или открытии точечного процесса Пуассона. Например, Джон Мичелл в 1767 году, за десять лет до рождения Пуассона, интересовался вероятностью нахождения звезды в определенной области другой звезды, исходя из ошибочного предположения, что звезды были «разбросаны по простой случайности», и изучал пример, состоящий из шести ярчайших звезд Плеяд из , без вывода распределения Пуассона. Эта работа вдохновила Саймона Ньюкомба изучить проблему и вычислить распределение Пуассона как аппроксимация биномиального распределения в 1860 году.

В начале 20 века процесс Пуассона (в одном измерении) возникал независимо в разных ситуациях. В Швеции в 1903 году Филип Лундберг опубликовал диссертацию, содержащую работу, которая сейчас считается фундаментальной и новаторской, в которой он предложил моделировать страховые выплаты с помощью однородного процесса Пуассона.

В Дании А.К. Эрланг вывел распределение Пуассона в 1909 году при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг не знал о более ранних работах Пуассона и предполагал, что количество телефонных звонков, поступающих в каждый интервал времени, не зависит друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который фактически превращает распределение Пуассона в предел биномиального распределения.

В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. В их экспериментальную работу внес математический вклад Гарри Бейтман , который вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, хотя решение было получено ранее, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. После этого было проведено множество исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками.

Ранние приложения

Годы после 1909 года привели к ряду исследований и применений точечного процесса Пуассона, однако его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами , экологами, инженерами и другими людьми, работающими в физические науки . Первые результаты были опубликованы на разных языках и в разных условиях, без использования стандартной терминологии и обозначений. Например, в 1922 году шведский химик и лауреат Нобелевской премии Теодор Сведберг предложил модель, в которой пространственный точечный процесс Пуассона является основным процессом для изучения того, как растения распределяются в растительных сообществах. Ряд математиков начали изучать этот процесс в начале 1930-х годов, и важный вклад внесли Андрей Колмогоров , Уильям Феллер и Александр Хинчин . среди других. В области телетрафика математики и статистики изучали и использовали Пуассоновский и другие точечные процессы.

История терминов

Швед Конни Палм в своей диссертации 1943 года изучал пуассоновские и другие точечные процессы в одномерной обстановке, рассматривая их с точки зрения статистической или стохастической зависимости между моментами времени. В его работе существует первое известное зарегистрированное использование термина « точечные процессы» как Punktprozesse на немецком языке.

Считается, что назвал это процессом Пуассона что Уильям Феллер был первым, кто в печати 1940 года . Хотя швед Уве Лундберг использовал термин « процесс Пуассона» в своей докторской диссертации 1940 года, в котором Феллер был признан влиятельным человеком, утверждалось, что Феллер придумал этот термин до 1940 года. Было отмечено, что и Феллер, и Лундберг использовали этот термин так, как если бы он был хорошо известен, подразумевая, что к тому времени он уже использовался в разговорной речи. Феллер работал с 1936 по 1939 год вместе с Харальдом Крамером в Стокгольмском университете , где Лундберг был аспирантом под руководством Крамера, который не использовал термин «процесс Пуассона» в своей книге, законченной в 1936 году, но использовал его в последующих изданиях, что привело к предположение, что термин « процесс Пуассона» был придуман где-то между 1936 и 1939 годами в Стокгольмском университете.

Терминология

Терминология теории точечных процессов в целом подвергалась критике за слишком разнообразность. Помимо слова «точка», которое часто опускается, однородный пуассоновский (точечный) процесс также называют стационарным пуассоновским (точечным) процессом, а также равномерный пуассоновский (точечный) процесс. Неоднородный точечный процесс Пуассона, помимо того, что его называют неоднородным , также называется нестационарным процессом Пуассона.

Термин «точечный процесс» подвергся критике, поскольку термин « процесс» может предполагать зависимость во времени и пространстве, поэтому случайное точечное поле , термины « поле случайных точек Пуассона» или «поле точек Пуассона» . в результате чего также используются Точечный процесс рассматривается и иногда называется случайной счетной мерой. следовательно, точечный процесс Пуассона также называют случайной мерой Пуассона , термин, используемый при изучении процессов Леви, но некоторые предпочитают использовать два термина для процессов точек Пуассона, определенных в двух разных базовых пространствах.

Базовое математическое пространство точечного процесса Пуассона называется несущим пространством . или пространство состояний , хотя последний термин имеет другое значение в контексте случайных процессов. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например реальную линию, что соответствует набору индексов или набор параметров в терминологии случайных процессов.

Мера $\textstyle \Lambda$ называется мерой интенсивности , средняя мера , или мера параметра , поскольку нет стандартных условий. Если $\textstyle \Lambda$ имеет производную или плотность, обозначаемую $\textstyle \lambda (x)$, называется функцией интенсивности точечного процесса Пуассона. Для однородного точечного процесса Пуассона производная меры интенсивности представляет собой просто константу $\textstyle \lambda >0$, которую можно назвать скоростью , обычно когда базовое пространство является реальной линией или интенсивностью . Ее еще называют средней скоростью или средней плотностью. или оцените . Для $\textstyle \lambda =1$соответствующий процесс иногда называют стандартным пуассоновским (точечным) процессом.

Степень процесса точки Пуассона иногда называют экспозицией .

Обозначения

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Обозначение точечного процесса Пуассона зависит от его установки и области, в которой он применяется. Например, на действительной линии процесс Пуассона, как однородный, так и неоднородный, иногда интерпретируется как счетный процесс, а обозначение $\textstyle \{N(t),t\geq 0\}$ используется для представления процесса Пуассона.

Другая причина изменения обозначений связана с теорией точечных процессов, которая имеет несколько математических интерпретаций. Например, простой точечный процесс Пуассона можно рассматривать как случайное множество, что предполагает обозначение $\textstyle x\in N$, подразумевая, что $\textstyle x$ это случайная точка, принадлежащая точечному процессу Пуассона или являющаяся его элементом. $\textstyle N$. Другая, более общая интерпретация состоит в том, чтобы рассматривать пуассоновский или любой другой точечный процесс как случайную меру счета, поэтому можно записать количество точек точечного пуассоновского процесса. $\textstyle {N}$ быть найденным или расположенным в некоторой (измеримой по Борелю) области $\textstyle B$ как $\textstyle N(B)$, который является случайной величиной. Эти различные интерпретации приводят к использованию обозначений из математических областей, таких как теория меры и теория множеств.

Для общих точечных процессов иногда указывается нижний индекс у символа точки, например $\textstyle x$, включен, поэтому пишут (с обозначением set) $\textstyle x_{i}\in N$ вместо $\textstyle x\in N$, и $\textstyle x$ может использоваться для связанной переменной в интегральных выражениях, таких как теорема Кэмпбелла, вместо обозначения случайных точек. Иногда прописная буква обозначает точечный процесс, а строчная — точку из процесса, так, например, точка $\textstyle x$ или $\textstyle x_{i}$ принадлежит или является точкой точечного процесса $\textstyle X$и быть записано с использованием заданных обозначений как $\textstyle x\in X$ или $\textstyle x_{i}\in X$.

Более того, теория множеств и обозначения теории интеграла или меры могут использоваться как взаимозаменяемые. Например, для точечного процесса $\textstyle N$ определенный в евклидовом пространстве состояний $\textstyle {\mathbb {R} ^{d}}$ и (измеримая) функция $\textstyle f$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ , выражение

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),$

демонстрирует два разных способа записи суммирования по точечному процессу (см. также теорему Кэмпбелла (вероятность) ). Более конкретно, интегральная запись в левой части интерпретирует точечный процесс как случайную меру подсчета, тогда как сумма в правой части предполагает интерпретацию случайного набора.

Функционалы и моментные меры

В теории вероятностей операции применяются к случайным величинам для разных целей. Иногда эти операции представляют собой обычные ожидания, которые дают среднее значение или дисперсию случайной величины. Другие, такие как характеристические функции (или преобразования Лапласа) случайной величины, можно использовать для однозначной идентификации или характеристики случайных величин и доказательства таких результатов, как центральная предельная теорема. В теории точечных процессов существуют аналогичные математические инструменты, которые обычно существуют в виде мер и функционалов, а не моментов и функций соответственно.

Функционалы Лапласа

Для точечного процесса Пуассона $\textstyle N$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ на каком-то пространстве $X$ определяется функционал Лапласа выражением:

$L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},$

Одна из версий теоремы Кэмпбелла включает функционал Лапласа точечного процесса Пуассона.

Вероятностно-генерирующие функционалы

Производящая функция вероятности неотрицательной целочисленной случайной величины приводит к тому, что производящий функционал определяется аналогично относительно любой неотрицательной ограниченной функции $\textstyle v$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ такой, что $\textstyle 0\leq v(x)\leq 1$. Для точечного процесса $\textstyle {N}$ функционал, порождающий вероятность, определяется как:

$G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]$

где произведение выполняется для всех точек в ${\textstyle N}$. Если мера интенсивности $\textstyle \Lambda$ из $\textstyle {N}$ локально конечна, то ${\textstyle G}$ корректно определена для любой измеримой функции $\textstyle u$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$. Для точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ производящий функционал определяется выражением:

$G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},$

что в однородном случае сводится к

$G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.$

Измерение момента

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ мерой первого момента является мера его интенсивности:

$M^{1}(B)=\Lambda (B),$

что для однородного точечного процесса Пуассона с постоянной интенсивностью $\textstyle \lambda$ означает:

$M^{1}(B)=\lambda |B|,$

где $\textstyle |B|$ — это длина, площадь или объём (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $\textstyle B$.

Уравнение Мекке

Уравнение Мекке характеризует точечный процесс Пуассона. Позволять $\mathbb {N} _{\sigma }$ быть пространством всего $\sigma$-конечные меры в некотором общем пространстве ${\mathcal {Q}}$. Точечный процесс $\eta$ с интенсивностью $\lambda$ на ${\mathcal {Q}}$ является точечным процессом Пуассона тогда и только тогда, когда для всех измеримых функций $f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}$ имеет место следующее

$\Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)$

Более подробную информацию см.

Факториальная мера момента

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ тот $\textstyle n$-я факториальная мера момента определяется выражением:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],$

где $\textstyle \Lambda$ является мерой интенсивности или мерой первого момента $\textstyle {N}$, что для некоторого множества Бореля $\textstyle B$ дается

$\Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].$

Для однородного точечного процесса Пуассона $\textstyle n$-я факториальная мера момента проста:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,$

где $\textstyle |B_{i}|$ — это длина, площадь или объём (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $\textstyle B_{i}$. Кроме того, $\textstyle n$-я факториальная плотность момента равна:

$\mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.$

Функция предотвращения

Функция избегания или вероятность пустоты $\textstyle v$ точечного процесса $\textstyle {N}$ определяется относительно некоторого множества $\textstyle B$, которое является подмножеством базового пространства $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$, как вероятность отсутствия точек $\textstyle {N}$ существующий в $\textstyle B$. Точнее, для тестового набора $\textstyle B$, функция избегания определяется выражением:

$v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.$

Для общего точечного процесса Пуассона $\textstyle {N}$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$, его функция избегания определяется выражением:

$v(B)=e^{-\Lambda (B)}$

Теорема Реньи

Простые точечные процессы полностью характеризуются вероятностью пустоты. Другими словами, полная информация о простом точечном процессе полностью фиксируется в его вероятностях пустоты, а два простых точечных процесса имеют одинаковые вероятности пустоты тогда и только тогда, когда они являются одними и теми же точечными процессами. Случай процесса Пуассона иногда называют теоремой Реньи , названной в честь Альфреда Реньи , который открыл результат для случая однородного точечного процесса в одномерном измерении.

В одной форме, теорема Реньи гласит, что для диффузной (или неатомной) меры Радона $\textstyle \Lambda$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ и набор $\textstyle A$ является конечным объединением прямоугольников (поэтому не Борелевский ), что если $\textstyle N$ является счетным подмножеством $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ такой, что:

$\Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}$

затем $\textstyle {N}$ представляет собой точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$.

Точечные технологические операции

Основная статья: Операция точечного процесса

Математические операции могут выполняться над точечными процессами для получения новых точечных процессов и разработки новых математических моделей расположения определенных объектов. Один из примеров операции известен как прореживание, которая влечет за собой удаление или удаление точек некоторого точечного процесса в соответствии с правилом, создание нового процесса с оставшимися точками (удаленные точки также образуют точечный процесс).

Истончение

Для процесса Пуассона независимая $\textstyle p(x)$Операции прореживания приводят к другому точечному процессу Пуассона. Более конкретно, $\textstyle p(x)$-операция прореживания, примененная к точечному процессу Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ дает точечный процесс удаленных точек, который также является точечным процессом Пуассона $\textstyle {N}_{p}$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda _{p}$, что для ограниченного борелевского множества $\textstyle B$ дается:

$\Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)$

Этот результат утончения точечного процесса Пуассона иногда называют теоремой Прекопы . Более того, после случайного прореживания точечного процесса Пуассона сохраненные или оставшиеся точки также образуют точечный процесс Пуассона, который имеет меру интенсивности

$\Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).$

Два отдельных точечных процесса Пуассона, сформированные соответственно из удаленных и сохраненных точек, стохастически независимы друг от друга. Другими словами, если известно, что в регионе есть $\textstyle n$ сохраненные точки (из исходного процесса точек Пуассона), то это не повлияет на случайное количество удаленных точек в том же регионе. Эту способность случайным образом создавать два независимых точечных процесса Пуассона из одного иногда называют расщеплением. точечный процесс Пуассона.

Суперпозиция

Если существует счетная совокупность точечных процессов $\textstyle N_{1},N_{2},\dots$, то их суперпозиция или, на языке теории множеств, их объединение, т.е.

$N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},$

также образует точечный процесс. Другими словами, любые точки, находящиеся в любом из точечных процессов $\textstyle N_{1},N_{2}\dots$ также будет находиться в суперпозиции этих точечных процессов $\textstyle {N}$.

Теорема суперпозиции

Теорема о суперпозиции точечного процесса Пуассона гласит, что суперпозиция независимых точечных процессов Пуассона $\textstyle N_{1},N_{2}\dots$ со средними мерами $\textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots$ также будет точечным процессом Пуассона со средней мерой

$\Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.$

Другими словами, объединение двух (или счетного числа) пуассоновских процессов — это еще один пуассоновский процесс. Если точка ${\textstyle x}$ выбирается из счетного ${\textstyle n}$ объединение пуассоновских процессов, то вероятность того, что точка $\textstyle x$ принадлежит к ${\textstyle j}$процесс Пуассона ${\textstyle N_{j}}$ дается:

$\Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.$

Для двух однородных пуассоновских процессов с интенсивностями ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$, два предыдущих выражения сводятся к

$\lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},$

и

$\Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.$

Кластеризация

Операция кластеризации выполняется, когда каждая точка $\textstyle x$ некоторого точечного процесса $\textstyle {N}$ заменяется другим (возможно, другим) точечным процессом. Если исходный процесс $\textstyle {N}$ является точечным процессом Пуассона, то результирующий процесс $\textstyle {N}_{c}$ называется точечным процессом кластера Пуассона.

Случайное смещение

Математическая модель может требовать случайного перемещения точек точечного процесса в другие места основного математического пространства, что приводит к операции точечного процесса, известной как смещение. или перевод. Точечный процесс Пуассона использовался, например, для моделирования движения растений между поколениями на основе теоремы о смещении: в котором грубо говорится, что случайное независимое смещение точек точечного процесса Пуассона (в том же базовом пространстве) образует другой точечный процесс Пуассона.

Теорема о смещении

Одна из версий теоремы о смещении включает точечный процесс Пуассона $\textstyle {N}$ на $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ с функцией интенсивности $\textstyle \lambda (x)$. При этом предполагается, что точки $\textstyle {N}$ случайно перемещаются куда-то в другое место $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ так что смещение каждой точки независимо и что смещение точки, ранее находившейся в $\textstyle x$ — случайный вектор с плотностью вероятности $\textstyle \rho (x,\cdot )$. Тогда новый точечный процесс $\textstyle N_{D}$ также является точечным процессом Пуассона с функцией интенсивности

$\lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.$

Если процесс Пуассона однороден с $\textstyle \lambda (x)=\lambda >0$ и если $\rho (x,y)$ является функцией $y-x$, затем

$\lambda _{D}(y)=\lambda .$

Другими словами, после каждого случайного и независимого перемещения точек исходный точечный процесс Пуассона все еще существует.

Теорему о смещении можно расширить так, чтобы точки Пуассона случайным образом перемещались из одного евклидова пространства. $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$ в другое евклидово пространство $\textstyle \mathbb {R} ^{d'}$, где $\textstyle d'\geq 1$ не обязательно равен $\textstyle d$.

Картирование

Еще одно свойство, которое считается полезным, — это возможность отображать точечный процесс Пуассона из одного базового пространства в другое пространство.

Теорема об отображении

Основная статья: Теорема об отображении (точечный процесс)

Если отображение (или преобразование) соответствует некоторым условиям, то результирующий отображенный (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона, и этот результат иногда называют теоремой об отображении . В теореме используется некоторый точечный процесс Пуассона со средней мерой $\textstyle \Lambda$ на некотором нижележащем пространстве. Если расположение точек отображается (то есть точечный процесс преобразуется) в соответствии с некоторой функцией в другое базовое пространство, то результирующий точечный процесс также является точечным процессом Пуассона, но с другой средней мерой. $\textstyle \Lambda '$.

Более конкретно, можно рассмотреть (измеримую по Борелю) функцию $\textstyle f$ который отображает точечный процесс $\textstyle {N}$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ из одного места $\textstyle S$, в другое пространство $\textstyle T$ таким образом, чтобы процесс новой точки $\textstyle {N}'$ имеет меру интенсивности:

$\Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))$

без атомов, где $\textstyle B$ является борелевским множеством и $\textstyle f^{-1}$ обозначает обратную функцию $\textstyle f$. Если $\textstyle {N}$ является точечным процессом Пуассона, то новый процесс $\textstyle {N}'$ также является точечным процессом Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda '$.

Аппроксимации точечными процессами Пуассона.

Легкость пуассоновского процесса означает, что иногда удобно аппроксимировать непуассоновский точечный процесс пуассоновским. Общая цель состоит в том, чтобы аппроксимировать как количество точек некоторого точечного процесса, так и местоположение каждой точки с помощью точечного процесса Пуассона. Существует ряд методов, которые можно использовать для неформального или строгого обоснования аппроксимации возникновения случайных событий или явлений подходящими точечными процессами Пуассона. Более строгие методы включают получение верхних границ вероятностных метрик между пуассоновскими и непуассоновскими точечными процессами, в то время как другие методы могут быть оправданы менее формальными эвристиками.

Сгущающая эвристика

Один из методов аппроксимации случайных событий или явлений с помощью пуассоновских процессов называется эвристикой сгущения . Общая эвристика или принцип включает использование точечного процесса Пуассона (или распределения Пуассона) для аппроксимации событий, которые считаются редкими или маловероятными, некоторого стохастического процесса. В некоторых случаях эти редкие события близки к независимости, поэтому можно использовать точечный процесс Пуассона. Когда события не являются независимыми, а имеют тенденцию происходить в кластерах или сгустках , то, если эти сгустки определены соответствующим образом так, что они приблизительно независимы друг от друга, тогда количество возникающих сгустков будет близко к случайной величине Пуассона. а расположение сгустков будет близко к пуассоновскому процессу.

метод Штейна

Метод Штейна — это математический метод, первоначально разработанный для аппроксимации случайных величин, таких как переменные Гаусса и Пуассона, который также применялся к точечным процессам. Метод Штейна можно использовать для получения верхних границ вероятностных метрик , которые позволяют количественно оценить, как два разных случайных математических объекта изменяются стохастически. верхние границы вероятностных показателей, таких как общая вариация и расстояние Вассерштейна . Были получены

Исследователи применили метод Штейна к точечным процессам Пуассона несколькими способами: например, использование исчисления Palm . Методы, основанные на методе Штейна, были разработаны для учета в верхних границах эффектов определенных операций точечного процесса, таких как прореживание и суперпозиция. Метод Стейна также использовался для получения верхних границ метрик Пуассона и других процессов, таких как точечный процесс Кокса , который представляет собой процесс Пуассона со случайной мерой интенсивности.

Сходимость к точечному процессу Пуассона

В общем, когда операция применяется к общему точечному процессу, результирующий процесс обычно не является точечным процессом Пуассона. Например, если точечный процесс, отличный от пуассоновского, имеет точки случайного и независимого смещения, то этот процесс не обязательно будет точечным пуассоновским процессом. Однако при определенных математических условиях как для исходного точечного процесса, так и для случайного смещения с помощью предельных теорем было показано, что если точки точечного процесса неоднократно смещаются случайным и независимым образом, то конечное распределение точки процесс будет сходиться (слабо) к точечному процессу Пуассона.

Аналогичные результаты сходимости были получены для операций прореживания и суперпозиции. которые показывают, что такие повторяющиеся операции над точечными процессами могут при определенных условиях приводить к сходимости процесса к точечным процессам Пуассона при соответствующем масштабировании меры интенсивности (в противном случае значения меры интенсивности результирующих точечных процессов приближались бы к нулю или бесконечность). Такая работа по конвергенции напрямую связана с результатами, известными как метод Пальма-Хинчина. уравнений, берущих свое начало в работах Конни Палма и Александра Хинчина , и помогает объяснить, почему процесс Пуассона часто можно использовать в качестве математической модели различных случайных явлений.

Обобщения точечных процессов Пуассона

Точечный процесс Пуассона можно обобщить, например, изменив его меру интенсивности или определив более общие математические пространства. Эти обобщения можно изучать математически, а также использовать для математического моделирования или представления физических явлений.

Случайные меры пуассоновского типа

Случайные меры пуассоновского типа (PT) представляют собой семейство из трех случайных счетных мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т.е. замкнутых при операции точечного процесса #Thinning . Эти случайные меры являются примерами смешанного биномиального процесса и разделяют свойство самоподобия распределения случайной меры Пуассона . Они являются единственными членами канонического семейства распределений неотрицательных степенных рядов , которые обладают этим свойством и включают распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение . Случайная мера Пуассона не зависит от непересекающихся подпространств, тогда как другие случайные меры PT (отрицательные биномиальные и биномиальные) имеют положительные и отрицательные ковариации. Обсуждаются случайные меры PT. и включить случайную меру Пуассона , отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.

Точечные процессы Пуассона в более общих пространствах

Для математических моделей точечный процесс Пуассона часто определяется в евклидовом пространстве. но был обобщен на более абстрактные пространства и играет фундаментальную роль в изучении случайных мер. что требует понимания математических областей, таких как теория вероятностей, теория меры и топология.

В целом концепция расстояния представляет практический интерес для приложений, тогда как топологическая структура необходима для распределений Пальма, а это означает, что точечные процессы обычно определяются в математических пространствах с метрикой. Более того, реализацию точечного процесса можно рассматривать как меру подсчета, поэтому точечные процессы представляют собой типы случайных мер, известных как случайные меры подсчета. В этом контексте пуассоновский и другие точечные процессы изучались на локально компактном втором счетном хаусдорфовом пространстве.

Процесс точки Кокса

Основная статья: Процесс Кокса

Точечный процесс Кокса , процесс Кокса или дважды стохастический процесс Пуассона — это обобщение точечного процесса Пуассона, позволяющее измерять его интенсивность. $\textstyle \Lambda$ быть также случайным и независимым от основного процесса Пуассона. Процесс назван в честь Дэвида Кокса, который представил его в 1955 году, хотя другие процессы Пуассона со случайной интенсивностью были независимо представлены ранее Люсьеном Ле Камом и Морисом Кенуем. Мерой интенсивности может быть реализация случайной величины или случайного поля. Например, если логарифм меры интенсивности представляет собой гауссово случайное поле , то результирующий процесс известен как логгауссовский процесс Кокса . В более общем смысле, меры интенсивности — это реализация неотрицательной локально конечной случайной меры. Точечные процессы Кокса демонстрируют кластеризацию точек, которая, как можно показать математически, больше, чем у точечных процессов Пуассона. Общность и понятность процессов Кокса привели к тому, что их стали использовать в качестве моделей в таких областях, как пространственная статистика. и беспроводные сети.

Маркированный точечный процесс Пуассона

Иллюстрация процесса с отмеченной точкой, где процесс с немаркированной точкой определяется на положительной действительной линии, которая часто представляет время. Случайные метки принимают значения в пространстве состояний. $S$ известное как пространство метки . Любой такой процесс отмеченной точки можно интерпретировать как процесс немаркированной точки в пространстве. $[0,\infty ]\times S$. Теорема о маркировке гласит, что если исходный процесс немаркированной точки является точечным процессом Пуассона, а метки стохастически независимы, то процесс отмеченной точки также является точечным процессом Пуассона на $[0,\infty ]\times S$. Если точечный процесс Пуассона однороден, то зазоры $\tau _{i}$ на диаграмме взяты из показательного распределения.

Для данного точечного процесса каждая случайная точка точечного процесса может иметь случайный математический объект, известный как метка , случайно назначенный ей. Эти метки могут быть такими же разнообразными, как целые числа, действительные числа, линии, геометрические объекты или другие точечные процессы. Пара, состоящая из точки точечного процесса и соответствующей ей метки, называется отмеченной точкой, и все отмеченные точки образуют отмеченный точечный процесс . Часто предполагается, что случайные метки независимы друг от друга и одинаково распределены, однако метка точки все равно может зависеть от местоположения соответствующей ей точки в базовом пространстве (состояний). Если базовый точечный процесс является точечным процессом Пуассона, то результирующий точечный процесс является отмеченным точечным процессом Пуассона .

Смотрите также: Процесс обновления Маркова

Теорема о маркировке

Если общий точечный процесс определен в некотором математическом пространстве , а случайные метки определены в другом математическом пространстве, то процесс отмеченной точки определяется в декартовом произведении этих двух пространств. Для отмеченного точечного процесса Пуассона с независимыми и одинаково распределенными метками справедлива теорема о маркировке утверждает, что этот процесс с отмеченной точкой также является (немаркированным) точечным процессом Пуассона, определенным на вышеупомянутом декартовом произведении двух математических пространств, что неверно для общих точечных процессов.

Сложный точечный процесс Пуассона

Составной точечный процесс Пуассона или составной пуассоновский процесс формируется путем добавления случайных значений или весов к каждой точке точечного процесса Пуассона, определенной в некотором базовом пространстве, поэтому процесс строится из отмеченного точечного процесса Пуассона, где метки образуют набор независимых и одинаково распределенные неотрицательные случайные величины. Другими словами, для каждой точки исходного пуассоновского процесса существует независимая и одинаково распределенная неотрицательная случайная величина, и тогда составной пуассоновский процесс формируется из суммы всех случайных величин, соответствующих точкам пуассоновского процесса, расположенным в некоторой области основного математического пространства.

Если существует отмеченный точечный процесс Пуассона, образованный из точечного процесса Пуассона $\textstyle N$ (определено, например, $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$) и совокупность независимых и одинаково распределенных неотрицательных отметок $\textstyle \{M_{i}\}$ такой, что для каждой точки $\textstyle x_{i}$ процесса Пуассона $\textstyle N$ существует неотрицательная случайная величина $\textstyle M_{i}$тогда результирующий составной процесс Пуассона будет:

$C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},$

где $\textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}$ — измеримое по Борелю множество.

Если общие случайные величины $\textstyle \{M_{i}\}$ принимать значения, например, $\textstyle d$-мерное евклидово пространство $\textstyle \mathbb {R} ^{d}$, результирующий составной процесс Пуассона является примером процесса Леви при условии, что он образован из однородного процесса Пойнта. $\textstyle N$ определено на неотрицательных числах $\textstyle [0,\infty )$.

Процесс отказа при экспоненциальном сглаживании функций интенсивности

Процесс разрушения с экспоненциальным сглаживанием функций интенсивности (FP-ESI) является расширением неоднородного процесса Пуассона. Функция интенсивности FP-ESI представляет собой экспоненциальную функцию сглаживания функций интенсивности в последние моменты времени возникновения событий и превосходит другие девять стохастических процессов на 8 реальных наборах данных об отказах, когда модели используются для подбора наборов данных. где производительность модели измеряется с точки зрения AIC ( информационный критерий Акаике ) и BIC ( байесовский информационный критерий ).

См. также

• Булева модель (теория вероятностей)
• Теория перколяции континуума
• Сложный процесс Пуассона
• Процесс Кокса
• Точечный процесс
• Стохастическая геометрия
• Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
• Марковские процессы прибытия

Ссылки

Общий

Книги

• А. Баддели; И. Барань; Р. Шнайдер (26 октября 2006 г.). Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на Летней школе CIME, проходившей в Мартина Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. Спрингер. ISBN  978-3-540-38175-4 .
• Кокс, Др. ; Ишам, Валери (1980). Точечные процессы . Чепмен и Холл. ISBN  978-0-412-21910-8 .
• Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2003). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы . Спрингер. ISBN  978-1475781090 .
• Дейли, Дэрил Дж.; Вер-Джонс, Дэвид (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура . Спрингер. ISBN  978-0387213378 .
• Кингман, Джон Франк (1992). Пуассоновские процессы . Кларендон Пресс. ISBN  978-0198536932 .
• Моллер, Йеспер; Ваагепетерсен, Расмус П. (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов . ЦРК Пресс. ISBN  978-1584882657 .
• Росс, С.М. (1996). Случайные процессы . Уайли. ISBN  978-0-471-12062-9 .
• Снайдер, Д.Л.; Миллер, Мичиган (1991). Случайные точечные процессы во времени и пространстве . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-97577-1 .
• Стоян, Дитрих; Кендалл, Уилфред С.; Мекке, Джозеф (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения . Уайли. ISBN  978-0471950998 .
• Стрейт, Стрейт (2010). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1441969224 .
• ХК Таймс (18 апреля 2003 г.). Первый курс стохастических моделей . Джон Уайли и сыновья. стр. 22–23. ISBN  978-0-471-49880-3 .

Статьи

• Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или, константы могут меняться». Математический вестник .
• Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и точным марковским свойством? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор .