Случайная мера пуассоновского типа

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство трех случайных считающих мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т. е. замкнутых при прореживании. Это единственные распределения в семействе канонических неотрицательных степенных рядов , которые обладают этим свойством и включают распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение . ^[1] Семейство распределений PT также известно как семейство распределений Каца. ^[2] Панджера или (a,b,0) класс распределений ^[3] и может быть получен с помощью распределения Конвея-Максвелла-Пуассона . ^[4]

Бросание камней

Позволять $K$ быть неотрицательной случайной величиной с целым значением $K\in \mathbb {N} _{\geq 0}=\mathbb {N} _{>0}\cup \{0\}$ ) с законом $\kappa$ , иметь в виду $c\in (0,\infty )$ и когда существует дисперсия $\delta ^{2}>0$ . Позволять $\nu$ быть вероятностной мерой на измеримом пространстве $(E,{\mathcal {E}})$ . Позволять $\mathbf {X} =\{X_{i}\}$ быть набором iid случайных величин (камней), принимающих значения в $(E,{\mathcal {E}})$ с законом $\nu$ .

Случайная мера подсчета $N$ на $(E,{\mathcal {E}})$ зависит от пары детерминированных вероятностных мер $(\kappa ,\nu )$ через камнеметное сооружение (СТК) ^[5]

$\quad N_{\omega }(A)=N(\omega ,A)=\sum _{i=1}^{K(\omega )}\mathbb {I} _{A}(X_{i}(\omega ))\quad {\text{for}}\quad \omega \in \Omega ,\,\,\,A\in {\mathcal {E}}$

где $K$ имеет закон $\kappa$ и идентификатор $X_{1},X_{2},\dotsb$ иметь закон $\nu$ . $N$ представляет собой смешанный биномиальный процесс ^[6]

Позволять ${\mathcal {E}}_{+}=\{f:E\mapsto \mathbb {R} _{+}\}$ быть сборником позитива ${\mathcal {E}}$ -измеримые функции. Закон вероятности $N$ закодировано в функционале Лапласа

$\quad \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\mathbb {E} (\nu e^{-f})^{K}=\psi (\nu e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}$

где $\psi (\cdot )$ является производящей функцией $K$ . Среднее значение и дисперсия определяются выражением

$\quad \mathbb {E} Nf=c\nu f$

и

$\quad \mathbb {V} {\text{ar}}Nf=c\nu f^{2}+(\delta ^{2}-c)(\nu f)^{2}$

Ковариация произвольного для $f,g\in {\mathcal {E}}_{+}$ дается

$\quad \mathbb {C} {\text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu (fg)+(\delta ^{2}-c)\nu f\nu g$

Когда $K$ является пуассоновским, отрицательным биномиальным или биномиальным, его называют типом Пуассона (PT). Совместное распространение сборника $N(A),\ldots ,N(B)$ для $i,\ldots ,j\in \mathbb {N}$ и $i+\cdots +j=k$

\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j)=\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j|K=k)\,\mathbb {P} (K=k)={\frac {k!}{i!\cdots j!}}\,\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j}\,\mathbb {P} (K=k)

Следующий результат расширяет конструкцию случайной меры $N=(\kappa ,\nu )$ к случаю, когда коллекция $\mathbf {X}$ расширен до $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\{(X_{i},Y_{i})\}$ где $Y_{i}$ представляет собой случайное преобразование $X_{i}$ . Эвристически, $Y_{i}$ представляет собой некоторые свойства (признаки) $X_{i}$ . Будем считать, что условный закон $Y$ следует некоторому переходному ядру в соответствии с $\mathbb {P} (Y\in B|X=x)=Q(x,B)$ .

Теорема: Маркированный STC

Рассмотрим случайную меру $N=(\kappa ,\nu )$ и ядро вероятности перехода $Q$ от $(E,{\cal {E)}}$ в $(F,{\cal {F)}}$ . Предположим, что дана коллекция $\mathbf {X}$ переменные $\mathbf {Y} =\{Y_{i}\}$ условно независимы с $Y_{i}\sim Q(X_{i},\cdot )$ . Затем $M=(\kappa ,\nu \times Q)$ является случайной мерой $(E\times F,{\cal {E\otimes F)}}$ . Здесь $\mu =\nu \times Q$ понимается как $\mu (dx,dy)=\nu (dx)Q(x,dy)$ . Более того, для любого $f\in ({\cal {E}}\otimes {\cal {F}})_{+}$ у нас есть это $\mathbb {E} e^{-Mf}=\psi (\nu e^{-g})$ где $\psi (\cdot )$ это pgf из $K$ и $g\in {\mathcal {E}}_{+}$ определяется как $e^{-g(x)}=\int _{F}Q(x,dy)e^{-f(x,y)}.$

Следующее следствие является непосредственным следствием.

Следствие: Ограниченный STC

Количество $N_{A}=(N\mathbb {I} _{A},\nu _{A})$ является корректно определенной случайной мерой на измеримом подпространстве $(E\cap A,{\mathcal {E}}_{A})$ где ${\mathcal {E}}_{A}=\{A\cap B:B\in {\mathcal {E}}\}$ и $\nu _{A}(B)=\nu (A\cap B)/\nu (A)$ . Более того, для любого $f\in {\mathcal {E}}_{+}$ , у нас это есть $\mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+b)$ где $b=1-\nu (A)$ .

Примечание $\psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+1-a)=\psi _{A}(\nu _{A}e^{-f})$ где мы используем $\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}=a\nu _{A}e^{-f}$ .

Сбор костей

Вероятностный закон случайной меры определяется ее функционалом Лапласа и, следовательно, производящей функцией.

Определение: Кость

Позволять $K_{A}=N\mathbb {I} _{A}$ быть счетной переменной $K$ ограничено $A\subset E$ . Когда $\{N\mathbb {I} _{A}:A\subset E\}$ и $K=N\mathbb {I} _{E}$ имеют одну и ту же группу законов, подлежащих изменению масштаба $h_{a}(\theta )$ параметра $\theta$ , затем $K$ Это называется распределением костей . Состояние кости для PGF определяется выражением $\psi _{\theta }(at+1-a)=\psi _{h_{a}(\theta )}(t)$ .

Оснащенный понятием распределения и состояния костей, основной результат существования и уникальности мер случайного подсчета пуассоновского типа (PT) дается следующим образом.

Теорема: существование и единственность PT случайных мер

Предположим, что $K\sim \kappa _{\theta }$ с пгф $\psi _{\theta }$ принадлежит к семейству распределений канонических неотрицательных степенных рядов (NNPS) и $\{0,1\}\subset {\text{supp}}(K)$ . Рассмотрим случайную меру $N=(\kappa _{\theta },\nu )$ на пространстве $(E,{\mathcal {E}})$ и предположим, что $\nu$ является диффузным. Тогда для любого $A\subset E$ с $\nu (A)=a>0$ существует отображение $h_{a}:\Theta \rightarrow \Theta$ такая, что ограниченная случайная мера равна $N_{A}=(\kappa _{h_{a}(\theta )},\nu _{A})$ , то есть,

$\quad \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi _{h_{a}(\theta )}(\nu _{A}e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}$

если только $K$ является пуассоновским, отрицательным биномом или биномиальным ( типа Пуассона ).

Доказательство этой теоремы основано на обобщенном аддитивном уравнении Коши и его решениях. Теорема утверждает, что из всех распределений NNPS только PT обладают свойством, что их ограничения $N\mathbb {I} _{A}$ имеют ту же семью распределения, что и $K$ , то есть они закрыты при утонении. Случайные меры PT — это случайная мера Пуассона , отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера. Пуассон является аддитивным и независимым от непересекающихся множеств, тогда как отрицательный бином имеет положительную ковариацию, а бином имеет отрицательную ковариацию. Биномиальный процесс — это предельный случай биномиальной случайной меры, когда $p\rightarrow 1,n\rightarrow c$ .

Приложения распределительного самоподобия

Состояние «кости» на PGF $\psi _{\theta }$ из $K$ кодирует свойство самоподобия распределения, при котором все учитывается в ограничениях (прореживаниях) на подпространства (закодировано pgf $\psi _{A}$ ) находятся в одной семье с $\psi _{\theta }$ из $K$ путем изменения масштаба канонического параметра. Эти идеи кажутся тесно связанными с идеями саморазложимости и устойчивости дискретных случайных величин. ^[7] Биномиальное прореживание является основной моделью для подсчета временных рядов. ^[8]^[9] обладает Случайная мера Пуассона известным свойством расщепления, является прототипом класса аддитивных (вполне случайных) случайных мер и связана со структурой процессов Леви , скачками уравнений Колмогорова (марковским скачкообразным процессом) и экскурсами броуновского движения . ^[10] Следовательно, свойство самоподобия семейства PT имеет фундаментальное значение для многих областей. Члены семейства PT представляют собой «примитивы» или прототипы случайных мер, с помощью которых можно построить множество случайных мер и процессов.

Ссылки

^ Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: В поисках пуассоновских случайных мер, Математические методы в прикладных науках, 2020. doi:10.1002/mma.6224
^ Кац Л.. Классические и заразительные дискретные распределения, гл. Унифицированное рассмотрение широкого класса дискретных вероятностных распределений: 175–182. Пергамон Пресс, Оксфорд, 1965.
^ Панджер Гарри Х.. Рекурсивная оценка семейства сложных распределений. 1981;12(1):22-26
^ Конвей Р.В., Максвелл В.Л. Модель массового обслуживания с зависящими от состояния тарифами на обслуживание. Журнал промышленной инженерии. 1962;12.
^ Цинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк; 2011 год
^ Калленберг Олав. Случайные меры, теория и приложения. Спрингер; 2017 год
^ Стойтель Ф.В., Ван Харн К. Дискретные аналоги саморазложимости и устойчивости. Анналы вероятности. 1979;:893–899.
^ Аль-Ош М.А., Альзаид А.А. Целочисленный автогрессивный процесс первого порядка (INAR(1)). Журнал анализа временных рядов. 1987;8(3):261–275.
^ Скотто Мануэль Г., Вайс Кристиан Х., Гувея Сония. Модели прореживания при анализе целочисленных временных рядов: обзор. Статистическое моделирование. 2015;15(6):590–618.
^ Цинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк; 2011.

[1] Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: В поисках пуассоновских случайных мер, Математические методы в прикладных науках, 2020. doi:10.1002/mma.6224

[2] Кац Л.. Классические и заразительные дискретные распределения, гл. Унифицированное рассмотрение широкого класса дискретных вероятностных распределений: 175–182. Пергамон Пресс, Оксфорд, 1965.

[3] Панджер Гарри Х.. Рекурсивная оценка семейства сложных распределений. 1981;12(1):22-26

[4] Конвей Р.В., Максвелл В.Л. Модель массового обслуживания с зависящими от состояния тарифами на обслуживание. Журнал промышленной инженерии. 1962;12.

[5] Цинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк; 2011 год

[6] Калленберг Олав. Случайные меры, теория и приложения. Спрингер; 2017 год

[7] Стойтель Ф.В., Ван Харн К. Дискретные аналоги саморазложимости и устойчивости. Анналы вероятности. 1979;:893–899.

[8] Аль-Ош М.А., Альзаид А.А. Целочисленный автогрессивный процесс первого порядка (INAR(1)). Журнал анализа временных рядов. 1987;8(3):261–275.

[9] Скотто Мануэль Г., Вайс Кристиан Х., Гувея Сония. Модели прореживания при анализе целочисленных временных рядов: обзор. Статистическое моделирование. 2015;15(6):590–618.

[10] Цинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк; 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]