Случайная мера Пуассона

Позволять $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ быть некоторым мерным пространством с $\sigma$- конечная мера $\mu$. с Случайная мера Пуассона мерой интенсивности $\mu$ это семейство случайных величин $\{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}$ определенный в некотором вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )$ такой, что

я) $\forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}$ — случайная величина Пуассона со скоростью $\mu (A)$.

ii) Если наборы $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ не пересекаются, то соответствующие случайные величины из i) взаимно независимы .

3) $\forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )$ это мера по $(E,{\mathcal {A}})$

Существование

Если $\mu \equiv 0$ затем $N\equiv 0$ удовлетворяет условиям i)–iii). В противном случае в случае конечной меры $\mu$, данный $Z$, случайная величина Пуассона со скоростью $\mu (E)$, и $X_{1},X_{2},\ldots$, взаимонезависимые случайные величины с распределением ${\frac {\mu }{\mu (E)}}$, определять $N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )$ где $\delta _{c}(A)$ является вырожденной мерой, расположенной в $c$. Затем $N$ будет случайной мерой Пуассона. В случае $\mu$ не является конечной мерой $N$ можно получить из построенных выше мер на частях $E$ где $\mu$ конечно.

Приложения

Этот вид случайной меры часто используется при описании скачков случайных процессов , в частности при разложении Леви-Ито процессов Леви .

Обобщения

Случайная мера Пуассона обобщается до случайных мер типа Пуассона , где члены семейства PT инвариантны относительно ограничения на подпространство.

Ссылки

• Сато, К. (2010). Процессы Леви и бесконечно делимые распределения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55302-5 .