Функционал Лапласа

В теории вероятностей функционалом Лапласа называют одну из двух возможных математических функций функций или, точнее, функционалов , служащих математическими инструментами для изучения либо точечных процессов , либо концентрации меры свойств метрических пространств . Один из типов функционала Лапласа, также известный как характеристический функционал определяется по отношению к точечному процессу, который можно интерпретировать как случайные меры подсчета, и имеет приложения для характеристики и получения результатов для точечных процессов. Ее определение аналогично характеристической функции случайной величины .

Другой функционал Лапласа предназначен для вероятностных пространств, снабженных метриками , и используется для изучения свойств концентрации меры пространства.

Определение точечных процессов

Для общего точечного процесса $\textstyle N$ определено на $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, функционал Лапласа определяется как:

$L_{N}(f)=E[e^{-\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}],$

где $\textstyle f$ — любая измеримая неотрицательная функция на $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ и

$\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}).$

где обозначение $N(dx)$ интерпретирует точечный процесс как случайную меру подсчета ; см. Обозначение процесса точки .

Приложения

Функционал Лапласа характеризует точечный процесс, и если он известен для точечного процесса, то его можно использовать для доказательства различных результатов.

Определение

Для некоторого метрического вероятностного пространства ( X , d , µ ), где ( X , d ) — метрическое пространство , а µ — вероятностная мера на борелевских множествах ( X , d ), функционал Лапласа :

$E_{(X,d,\mu )}(\lambda ):=\sup \left\{\left.\int _{X}e^{\lambda f(x)}\,\mathrm {d} \mu (x)\right|f\colon X\to \mathbb {R} {\text{ is bounded, 1-Lipschitz and has }}\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=0\right\}.$

Функционал Лапласа отображает положительную действительную линию на положительную (расширенную) действительную линию или в математической записи:

$E_{(X,d,\mu )}\colon [0,+\infty )\to [0,+\infty ]$

Приложения

Функционал Лапласа от ( X , d , µ ) можно использовать для ограничения функции концентрации ( X , d , µ ), которая определяется для r > 0 выражением

$\alpha _{(X,d,\mu )}(r):=\sup\{1-\mu (A_{r})\mid A\subseteq X{\text{ and }}\mu (A)\geq {\tfrac {1}{2}}\},$

где

$A_{r}:=\{x\in X\mid d(x,A)\leq r\}.$

Функционал Лапласа от ( X , d , µ ) затем приводит к верхней границе:

$\alpha _{(X,d,\mu )}(r)\leq \inf _{\lambda \geq 0}e^{-\lambda r/2}E_{(X,d,\mu )}(\lambda ).$

Ссылки

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры . Математические обзоры и монографии. Том. 89. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. х+181. ISBN  0-8218-2864-9 . МИСТЕР 1849347