Точечный процесс

В статистике и теории вероятностей точечный процесс или точечное поле представляет собой набор математических точек, случайно расположенных в математическом пространстве, таком как реальная линия или евклидово пространство . Точечные процессы можно использовать для анализа пространственных данных . который представляет интерес для таких разнообразных дисциплин, как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейробиология, экономика и другие.

Существуют различные математические интерпретации точечного процесса, например, случайной меры счета или случайного множества. Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, причем точечный процесс — это случайный объект, возникающий в результате случайного процесса или связанный с ним. хотя было отмечено, что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна. Другие рассматривают точечный процесс как случайный процесс, где процесс индексируется наборами базового пространства. на котором он определен, например, действительная линия или $n$-мерное евклидово пространство. Другие случайные процессы, такие как процессы восстановления и счета, изучаются в теории точечных процессов. Иногда термин «точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово «процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называют случайным точечным полем.

Точечные процессы на прямой представляют собой важный частный случай, который особенно поддается изучению. потому что точки упорядочены естественным образом, и весь точечный процесс можно полностью описать (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей случайных событий во времени, таких как поступление клиентов в очередь ( теория массового обслуживания ), импульсов в нейроне ( вычислительная нейробиология ), частицы в счетчике Гейгера , расположение радиостанций в телекоммуникационная сеть или поисковых запросов во всемирной паутине .

Общая теория точечных процессов

В математике точечный процесс — это случайный элемент , значения которого представляют собой «паттерны точек» множестве S. на Хотя в точном математическом определении точечный узор определяется как локально конечная счетная мера , для более прикладных целей достаточно рассматривать точечный узор как счетное подмножество S , не имеющее предельных точек .

Определение

Чтобы определить общие точечные процессы, мы начнем с вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$,и измеримое пространство $(S,{\mathcal {S}})$ где $S$ является локально компактным вторым счётным пространством Хаусдорфа и ${\mathcal {S}}$ это его Борелевская σ-алгебра . Рассмотрим теперь целочисленное локально конечное ядро $\xi$от $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ в $(S,{\mathcal {S}})$, то есть отображение $\Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}$ такой, что:

1. Для каждого $\omega \in \Omega$, $\xi (\omega ,\cdot )$ является локально конечной мерой на $S$.
2. Для каждого $B\in {\mathcal {S}}$, $\xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}$ является случайной величиной по $\mathbb {Z} _{+}$.

Это ядро ​​определяет случайную меру следующим образом. Мы хотели бы подумать о $\xi$как определение отображения, которое отображает $\omega \in \Omega$ в меру $\xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$(а именно, $\Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$),где ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$ — множество всех локально конечных мер на $S$.Теперь, чтобы сделать это отображение измеримым, нам нужно определить $\sigma$-поле закончилось ${\mathcal {M}}({\mathcal {S}})$.Этот $\sigma$-поле построено как минимальная алгебра, так что все оценочные карты вида $\pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)$, где $B\in {\mathcal {S}}$ относительно компактен ,измеримы. Оснащен этим $\sigma$-поле, тогда $\xi$ является случайным элементом, где для каждого $\omega \in \Omega$, $\xi _{\omega }$ является локально конечной мерой над $S$.

Теперь точечным процессом на $S$ мы просто имеем в виду целочисленную случайную меру (или, что то же самое, целочисленную случайную меру).ядро) $\xi$ построено, как указано выше.Наиболее распространенным примером пространства состояний S является евклидово пространство R. ^н или его подмножество, где особенно интересный частный случай представляет собой действительная полупрямая [0,∞). Однако точечные процессы не ограничиваются этими примерами и могут, среди прочего, также использоваться, если точки сами являются компактными подмножествами R. ^н , и в этом случае ξ обычно называют процессом частиц .

Несмотря на название процесса , поскольку S может не быть подмножеством реальной линии, поскольку это может указывать на то, что ξ является случайным процессом .

Представительство

Каждый экземпляр (или событие) точечного процесса ξ можно представить как

$\xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},$

где $\delta$ обозначает меру Дирака , n — целочисленная случайная величина и $X_{i}$ являются случайными элементами S . Если $X_{i}$ различны почти наверняка (или, что то же самое, почти наверняка $\xi (x)\leq 1$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{d}$), то точечный процесс называется простым .

Другое другое, но полезное представление события (событие в пространстве событий, т. е. серия точек) — это нотация подсчета, где каждый экземпляр представляется в виде $N(t)$ функция, непрерывная функция, принимающая целые значения: $N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}$:

$N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt$

которое представляет собой количество событий в интервале наблюдения $(t_{1},t_{2}]$. Иногда его обозначают $N_{t_{1},t_{2}}$, и $N_{T}$ или $N(T)$ иметь в виду $N_{0,T}$.

Ожидаемая мера

Основная статья: Мера интенсивности

Мера ожидания Eξ (также известная как средняя мера ) точечного процесса ξ — это мера на S которая присваивает каждому борелевскому подмножеству B из S ожидаемое количество точек ξ в B. , То есть,

$E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.$

Функционал Лапласа

Лапласа Функционал $\Psi _{N}(f)$ точечного процесса N являетсяотобразить набор всех положительнозначных функций f в пространстве состояний N в $[0,\infty )$ определяется следующим образом:

$\Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]$

Они играют ту же роль, что и характеристические функции для случайной величины . Одна важная теорема гласит: два точечных процесса имеют одинаковый закон, если их функционалы Лапласа равны.

Измерение момента

Основная статья: Измерение момента

The $n$степень точечного процесса, $\xi ^{n},$ определяется в пространстве продукта $S^{n}$ следующее :

$\xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})$

По теореме о монотонном классе это однозначно определяет меру произведения на $(S^{n},B(S^{n})).$ Ожидание $E\xi ^{n}(\cdot )$ называетсятот $n$ этот момент мера . Мера первого момента является средней мерой.

Позволять $S=\mathbb {R} ^{d}$ . Совместные интенсивности точечного процесса $\xi$ относительно меры Лебега являются функциями $\rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )$ такая, что для любых непересекающихся ограниченных борелевских подмножеств $B_{1},\ldots ,B_{k}$

$E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.$

Совместные интенсивности не всегда существуют для точечных процессов. Учитывая, что моменты случайной величины во многих случаях определяют случайную величину, аналогичного результата следует ожидать и для совместных интенсивностей. Действительно, это было показано во многих случаях.

Стационарность

Точечный процесс $\xi \subset \mathbb {R} ^{d}$ называется стационарным, если $\xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}$ имеет то же распределение, что и $\xi$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{d}.$ Для стационарного точечного процесса средняя мера $E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|$ для некоторой константы $\lambda \geq 0$ и где $\|\cdot \|$ обозначает меру Лебега. Этот $\lambda$ называется интенсивностью точечного процесса. Стационарный точечный процесс на $\mathbb {R} ^{d}$ почти наверняка имеет либо 0, либо бесконечное количество очков. Дополнительную информацию о стационарных точечных процессах и случайных измерениях можно найти в главе 12 книги Дейли и Вер-Джонса. Стационарность была определена и изучена для точечных процессов в более общих пространствах, чем $\mathbb {R} ^{d}$.

Примеры точечных процессов

Мы увидим несколько примеров точечных процессов в $\mathbb {R} ^{d}.$

Точный процесс Пуассона

Основная статья: точечный процесс Пуассона

Простейшим и наиболее распространенным примером точечного процесса является точечный процесс Пуассона , который является пространственным обобщением процесса Пуассона . Пуассоновский (счетный) процесс на линии можно охарактеризовать двумя свойствами: число точек (или событий) в непересекающихся интервалах независимо и имеет распределение Пуассона . Точечный процесс Пуассона также можно определить, используя эти два свойства. А именно, мы говорим, что точечный процесс $\xi$ является точечным процессом Пуассона, если выполняются следующие два условия

1) $\xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})$ независимы для непересекающихся подмножеств $B_{1},\ldots ,B_{n}.$

2) Для любого ограниченного подмножества $B$, $\xi (B)$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda \|B\|,$ где $\|\cdot \|$ обозначает меру Лебега .

Эти два условия можно объединить и записать следующим образом: для любых непересекающихся ограниченных подмножеств $B_{1},\ldots ,B_{n}$ и неотрицательные целые числа $k_{1},\ldots ,k_{n}$ у нас есть это

$\Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.$

Константа $\lambda$ называется интенсивностью точечного процесса Пуассона. Отметим, что точечный процесс Пуассона характеризуется единственным параметром $\lambda .$ Это простой стационарный точечный процесс.Чтобы быть более конкретным, вышеупомянутый точечный процесс называется однородным точечным процессом Пуассона. Неоднородный пуассоновский процесс определяется так же, как и выше, но путем замены $\lambda \|B\|$ с $\int _{B}\lambda (x)\,dx$ где $\lambda$ является неотрицательной функцией на $\mathbb {R} ^{d}.$

Процесс точки Кокса

Процесс Кокса (названный в честь сэра Дэвида Кокса ) — это обобщение точечного процесса Пуассона, в котором мы используем случайные меры вместо $\lambda \|B\|$. Более формально, пусть $\Lambda$ быть случайной мерой . Процесс точки Кокса, управляемый случайной мерой $\Lambda$ это точечный процесс $\xi$ со следующими двумя свойствами:

1. Данный $\Lambda (\cdot )$, $\xi (B)$ распределено по Пуассону с параметром $\Lambda (B)$ для любого ограниченного подмножества $B.$
2. Для любого конечного набора непересекающихся подмножеств $B_{1},\ldots ,B_{n}$ и обусловлено $\Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),$ у нас есть это $\xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})$ независимы.

Легко видеть, что точечные процессы Пуассона (однородные и неоднородные) являются частными случаями точечных процессов Кокса. Средняя мера точечного процесса Кокса равна $E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )$ и, таким образом, в частном случае точечного процесса Пуассона это $\lambda \|\cdot \|.$

Для точечного процесса Кокса $\Lambda (\cdot )$ называется мерой интенсивности . Далее, если $\Lambda (\cdot )$ имеет (случайную) плотность ( производная Радона – Никодима ) $\lambda (\cdot )$ то есть,

$\Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,$

затем $\lambda (\cdot )$ называется полем интенсивности точечного процесса Кокса. Стационарность мер интенсивности или полей интенсивности подразумевает стационарность соответствующих точечных процессов Кокса.

Было много конкретных классов точечных процессов Кокса, которые были подробно изучены, например:

• Логгауссовы точечные процессы Кокса: $\lambda (y)=\exp(X(y))$ для гауссовского случайного поля $X(\cdot )$
• Дробовой шум Процессы точки Кокса:, $\lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)$ для точечного процесса Пуассона $\Phi (\cdot )$ и ядро $h(\cdot ,\cdot )$
• Обобщенный дробовой шум Процессы точки Кокса: $\lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)$ для точечного процесса $\Phi (\cdot )$ и ядро $h(\cdot ,\cdot )$
• Точечные процессы Кокса на основе Леви: $\lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)$ для базиса Леви $L(\cdot )$ и ядро $h(\cdot ,\cdot )$, и
• Постоянные процессы точки Кокса: $\lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)$ для k независимых гауссовских случайных полей $X_{i}(\cdot )$'s
• Сигмоидальные гауссовы точечные процессы Кокса: $\lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))$ для гауссовского случайного поля $X(\cdot )$ и случайный $\lambda ^{\star }>0$

С помощью неравенства Йенсена можно проверить, что точечные процессы Кокса удовлетворяют следующему неравенству: для всех ограниченных борелевских подмножеств $B$,

$\operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),$

где $\xi _{\alpha }$ обозначает точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности $\alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).$ Таким образом, точки распределяются с большей изменчивостью в точечном процессе Кокса по сравнению с точечным процессом Пуассона. Иногда это называют кластеризацией или свойством притяжения точечного процесса Кокса.

Детерминантные точечные процессы

Важным классом точечных процессов, имеющим приложения в физике , теории случайных матриц и комбинаторике , являются детерминантные точечные процессы .

Процессы Хоукса (самовозбуждающиеся)

Основная статья: Процесс Хоукса

Процесс Хоукса $N_{t}$, также известный как самовозбуждающийся процесс счета, представляет собой простой точечный процесс, условную интенсивность которого можно выразить как

${\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}$

где $\nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ это функция ядра, которая выражает положительное влияние прошлых событий $T_{i}$ от текущего значения интенсивности процесса $\lambda (t)$, $\mu (t)$ возможно, нестационарная функция, представляющая ожидаемую, предсказуемую или детерминированную часть интенсивности, и $\{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R}$ – время наступления i -го события процесса.

Геометрические процессы

Учитывая последовательность неотрицательных случайных величин ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$, если они независимы и cdf $X_{k}$ дается $F(a^{k-1}x)$ для $k=1,2,\dots$, где $a$ – положительная константа, то $\{X_{k},k=1,2,\ldots \}$ называется геометрическим процессом (ГП).

Геометрический процесс имеет несколько расширений, включая процесс α-ряда. и двоякогеометрический процесс .

Точечные процессы на действительной полупрямой

Исторически первые точечные процессы, которые были изучены, имели реальную полупрямую R ₊ = [0,∞) в качестве пространства состояний, которое в этом контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы желанием смоделировать телекоммуникационные системы. в котором точки представляли события во времени, такие как звонки на телефонную станцию.

Точечные процессы на R ₊ обычно описываются путем указания последовательности их (случайных) периодов времени между событиями ( T ₁ , T ₂ , ...), из которых формируется фактическая последовательность ( X ₁ , X ₂ , ...) время событий можно получить как

$X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.$

Если времена между событиями независимы и одинаково распределены, полученный точечный процесс называется процессом восстановления .

Интенсивность точечного процесса

Интенсивность ) точечного процесса λ ( t | H _t на вещественной полупрямой относительно фильтрации H _t определяется как

$\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),$

H _t может обозначать историю моментов времени, предшествующих моменту t, но может также соответствовать другим фильтрациям (например, в случае процесса Кокса).

В $N(t)$-нотации, это можно записать в более компактной форме:

$\lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).$

Компенсатор формулой точечного процесса, также известный как проекция с двойным прогнозированием , представляет собой интегрированную функцию условной интенсивности, определяемую

$\Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t$

Связанные функции

Функция интенсивности Папангелоу

точечного Функция интенсивности Папангелу процесса $N$ в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$определяется как

$\lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},$

где $B_{\delta }(x)$ находится ли шар в центре $x$ радиуса $\delta$, и $\sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]$ обозначает информацию точечного процесса $N$снаружи $B_{\delta }(x)$.

Функция правдоподобия

Логарифмическая вероятность параметризованного простого точечного процесса, зависящего от некоторых наблюдаемых данных, записывается как

$\ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}$

Точечные процессы в пространственной статистике

Анализ данных точечной структуры в компактном подмножестве S из R ^н является основным объектом изучения пространственной статистики . Такие данные появляются в широком спектре дисциплин, среди которых есть

• лесное хозяйство и экология растений (положение деревьев или растений в целом)
• эпидемиология (места проживания инфицированных пациентов)
• зоология (норы или гнезда животных)
• география (расположение населенных пунктов, поселков или городов)
• сейсмология (эпицентры землетрясений)
• Материаловедение (позиции дефектов промышленных материалов)
• астрономия (местоположение звезд или галактик)
• вычислительная нейробиология (спайки нейронов).

Необходимость использования точечных процессов для моделирования данных такого типа обусловлена ​​их присущей пространственной структурой. Соответственно, первый вопрос, представляющий интерес, часто заключается в том, демонстрируют ли данные данные полную пространственную случайность (т.е. являются ли реализацией пространственного процесса Пуассона ) в отличие от проявления либо пространственной агрегации, либо пространственного торможения.

Напротив, многие наборы данных, рассматриваемые в классической многомерной статистике, состоят из независимо сгенерированных точек данных, которые могут управляться одной или несколькими ковариатами (обычно непространственными).

Помимо приложений в пространственной статистике, точечные процессы являются одним из фундаментальных объектов стохастической геометрии . Исследования также были сосредоточены на различных моделях, построенных на точечных процессах, таких как мозаика Вороного , случайные геометрические графы и булевы модели .

См. также

• Эмпирическая мера
• Случайная мера
• Обозначение точечного процесса
• Операция точечного процесса
• Пуассоновский процесс
• Теория обновления
• Инвариантная мера
• Оператор трансфера
• Торговый оператор
• Оператор смены