Полная пространственная случайность

Полная пространственная случайность ( CSR ) описывает точечный процесс , при котором точечные события происходят в пределах заданной области исследования совершенно случайным образом. Это синоним однородного пространственного процесса Пуассона . ^[1] Такой процесс моделируется с использованием всего одного параметра $\rho$ , т.е. плотность точек внутри определенной области. Термин «полная пространственная случайность» обычно используется в прикладной статистике в контексте изучения определенных шаблонов точек, тогда как в большинстве других статистических контекстов он относится к концепции пространственного процесса Пуассона. ^[1]

Модель

Данные в виде набора точек, неравномерно распределенных внутри области пространства, возникают в самых разных контекстах; примеры включают расположение деревьев в лесу, гнезд птиц, ядер в тканях, больных людей в группе риска. Мы называем любой такой набор данных шаблоном пространственных точек и называем местоположения событиями, чтобы отличать их от произвольных точек рассматриваемого региона. Гипотеза полной пространственной случайности для пространственной структуры точек утверждает, что количество событий в любом регионе соответствует распределению Пуассона с заданным средним количеством на одно однородное подразделение. События паттерна независимо и равномерно распределены в пространстве; другими словами, события с равной вероятностью могут произойти где угодно и не взаимодействуют друг с другом.

«Равномерный» используется в смысле следования равномерному распределению вероятностей по исследуемому региону, а не в смысле «равномерного» распределения по изучаемому региону. ^[2] Между событиями нет взаимодействия, и интенсивность событий не меняется в зависимости от плоскости. Например, предположение о независимости будет нарушено, если существование одного события либо будет способствовать, либо препятствовать возникновению других событий в окрестностях.

Распределение

Вероятность найти именно $k$ точки внутри области $V$ с плотностью событий $\rho$ поэтому:

P(k,\rho ,V)={\frac {(V\rho )^{k}e^{-(V\rho )}}{k!}}.\,\!

Первый момент которого, среднее количество точек в районе, просто $\rho V$ . Это значение интуитивно понятно, поскольку оно является параметром скорости Пуассона.

Вероятность обнаружения $N^{\mathrm {th} }$ сосед любой данной точки на некотором радиальном расстоянии $r$ является:

P_{N}(r)={\frac {D}{(N-1)!}}{\lambda }^{N}r^{DN-1}e^{-\lambda r^{D}},

где $D$ количество измерений, $\lambda$ - параметр, зависящий от плотности, определяемый формулой $\lambda ={\frac {\rho \pi ^{\frac {D}{2}}}{\Gamma ({\frac {D}{2}}+1)}}$ и $\Gamma$ - это гамма-функция , которая, когда ее аргумент является целым числом, является просто функцией факториала , т.е. $\Gamma (n+1)=n!$ для интеграла $n$ .

Ожидаемая стоимость $P_{N}(r)$ может быть получена с помощью гамма-функции с использованием статистических моментов. Первый момент — это среднее расстояние между случайно распределенными частицами в $D$ размеры.

Приложения

Исследование CSR необходимо для сравнения точечных данных измерений из экспериментальных источников. Как метод статистического тестирования тест на CSR имеет множество применений в социальных науках и астрономических исследованиях. ^[3] КСО часто является стандартом, по которому проверяются наборы данных. В общих чертах один из подходов к проверке гипотезы КСО выглядит следующим образом: ^[4]

Используйте статистику , которая является функцией расстояния от каждого события до следующего ближайшего события.
Сначала сосредоточьтесь на конкретном событии и сформулируйте метод проверки того, насколько близко (или далеко) это событие и следующее ближайшее событие.
Затем рассмотрим все события и сформулируем метод проверки того, является ли среднее расстояние от каждого события до следующего ближайшего события значительно коротким (или длинным).

В тех случаях, когда аналитическое вычисление статистики испытаний затруднено, используются численные методы, такие как моделирование методом Монте-Карло , путем многократного моделирования стохастического процесса. ^[4]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б О. Маймон, Л. Рокач, Справочник по интеллектуальному анализу данных и обнаружению знаний , второе издание, Springer 2010, страницы 851–852.
^ Л.А. Уоллер, К.А. Готвей , Прикладная пространственная статистика для данных общественного здравоохранения , том 1, Wiley Chichester, 2004, страницы 119–121,123–127, 137, 139–141, 146–148,150–151, 157, 203.
^ «Статистика Венеры: кратеры и катастрофы» .
^ Jump up to: ^а ^б А. Окабе, К. Сугихара, «Пространственный сетевой анализ – статистические и вычислительные методы», том 1, Wiley Chichester, 2012 г., страницы 135–136.

Дальнейшее чтение

Диггл, Пи Джей (2003). Статистический анализ пространственных точечных рисунков (2-е изд.). Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0340740701 .

Внешние ссылки

Улучшение межсобытийных дистанционных тестов случайности в пространственных точечных процессах

[Omaimon2010DataM-1] Jump up to: ^а ^б О. Маймон, Л. Рокач, Справочник по интеллектуальному анализу данных и обнаружению знаний , второе издание, Springer 2010, страницы 851–852.

[waller2004ApSpSt-2] Л.А. Уоллер, К.А. Готвей , Прикладная пространственная статистика для данных общественного здравоохранения , том 1, Wiley Chichester, 2004, страницы 119–121,123–127, 137, 139–141, 146–148,150–151, 157, 203.

[3] «Статистика Венеры: кратеры и катастрофы» .

[Okabe2012SpAn-4] Jump up to: ^а ^б А. Окабе, К. Сугихара, «Пространственный сетевой анализ – статистические и вычислительные методы», том 1, Wiley Chichester, 2012 г., страницы 135–136.

[1]

[2]

[3]

[4]