Детерминантный точечный процесс

В математике детерминантный точечный процесс — это стохастический точечный процесс , распределение вероятностей которого характеризуется как определитель некоторой функции. Такие процессы возникают как важные инструменты в случайных матриц теории , комбинаторике , физике , машинное обучение , и моделирование беспроводной сети.

Определение

Позволять $\Lambda$ быть локально компактным польским пространством и $\mu$ быть мерой Радона на $\Lambda$. Рассмотрим также измеримую функцию $K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C}$.

Мы говорим, что $X$ является детерминантным точечным процессом на $\Lambda$ с ядром $K$ если это простой точечный процесс на $\Lambda$ с совместной интенсивностью или корреляционной функцией (которая представляет собой плотность меры факториального момента ), определяемой выражением

$\rho _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}$

для любого n ≥ 1 и x ₁ , ..., x _n ∈ Λ.

Характеристики

Существование

Следующие два условия являются необходимыми и достаточными для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями _ρk .

• Симметрия: ρk _Sk инвариантен относительно группы симметрической _. действия Таким образом: $$\rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k$$
• Позитивность: для любого N и любого набора измеримых ограниченных функций. $\varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R}$, k = 1, ..., N с компактным носителем :
  Если $$\varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}$$ Затем $$\varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ for all }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}$$

Уникальность

Достаточным условием единственности детерминантного случайного процесса с совместными ρk _{является} интенсивностями $$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty$$для любого ограниченного Бореля A ⊆ Λ.

Примеры

Гауссов унитарный ансамбль

Основная статья: Гауссов унитарный ансамбль

Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера m × m, взятой из гауссовского унитарного ансамбля (GUE), образуют детерминантный точечный процесс на $\mathbb {R}$ с ядром

$K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)$

где $\psi _{k}(x)$ это $k$волновая функция осциллятора, определяемая формулой

$$\psi _{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}$$

и $H_{k}(x)$ это $k$ Эрмита полином .

Пуассонизированная мера Планшереля

Пуассонизированная мера Планшереля на целочисленном разбиении (и, следовательно, на диаграммах Юнга ) играет важную роль при изучении самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженной в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на $\mathbb {Z}$ + 1 ⁄ 2 с дискретным ядром Бесселя, определяемым формулой:

$$K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-|y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{x-y}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}$$где $$k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),$$$$k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})$$Для J — функция Бесселя первого рода, а θ — среднее значение, используемое при пуассонизации.

Это служит примером четко определенного детерминантного точечного процесса с неэрмитовым ядром (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуоси является эрмитовым).

Равномерные промежуточные деревья

— конечный неориентированный связный граф с множеством ребер E. Пусть G Определи я ^и : Е → ℓ ² (E) следующим образом: сначала выберем некоторый произвольный набор ориентаций ребер E и для каждого полученного ориентированного ребра e определим I ^и быть проекцией единичного потока вдоль e на подпространство ℓ ² (E) охвачено звездными потоками. Тогда равномерно случайное остовное дерево G является детерминантным точечным процессом на E с ядром

$K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E$.