Jump to content

Детерминантный точечный процесс

В математике детерминантный точечный процесс — это стохастический точечный процесс , распределение вероятностей которого характеризуется как определитель некоторой функции. Такие процессы возникают как важные инструменты в случайных матриц теории , комбинаторике , физике , [1] машинное обучение , [2] и моделирование беспроводной сети. [3] [4] [5]

Определение

[ редактировать ]

Позволять быть локально компактным польским пространством и быть мерой Радона на . Рассмотрим также измеримую функцию .

Мы говорим, что является детерминантным точечным процессом на с ядром если это простой точечный процесс на с совместной интенсивностью или корреляционной функцией (которая представляет собой плотность меры факториального момента ), определяемой выражением

для любого n ≥ 1 и x 1 , ..., x n ∈ Λ. [6]

Характеристики

[ редактировать ]

Существование

[ редактировать ]

Следующие два условия являются необходимыми и достаточными для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями ρk .

  • Симметрия: ρk Sk инвариантен относительно группы симметрической . действия Таким образом:
  • Позитивность: для любого N и любого набора измеримых ограниченных функций. , k = 1, ..., N с компактным носителем :
    Если Затем [7]

Уникальность

[ редактировать ]

Достаточным условием единственности детерминантного случайного процесса с совместными ρk является интенсивностями для любого ограниченного Бореля A ⊆ Λ. [7]

Гауссов унитарный ансамбль

[ редактировать ]

Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера m × m, взятой из гауссовского унитарного ансамбля (GUE), образуют детерминантный точечный процесс на с ядром

где это волновая функция осциллятора, определяемая формулой

и это Эрмита полином . [8]

Пуассонизированная мера Планшереля

[ редактировать ]

Пуассонизированная мера Планшереля на целочисленном разбиении (и, следовательно, на диаграммах Юнга ) играет важную роль при изучении самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженной в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на + 1 2 с дискретным ядром Бесселя, определяемым формулой:

где Для J — функция Бесселя первого рода, а θ — среднее значение, используемое при пуассонизации. [9]

Это служит примером четко определенного детерминантного точечного процесса с неэрмитовым ядром (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуоси является эрмитовым). [7]

Равномерные промежуточные деревья

[ редактировать ]

— конечный неориентированный связный граф с множеством ребер E. Пусть G Определи я и : Е 2 (E) следующим образом: сначала выберем некоторый произвольный набор ориентаций ребер E и для каждого полученного ориентированного ребра e определим I и быть проекцией единичного потока вдоль e на подпространство 2 (E) охвачено звездными потоками. [10] Тогда равномерно случайное остовное дерево G является детерминантным точечным процессом на E с ядром

. [6]
  1. ^ Вершик, Анатолий М. (2003). Асимптотическая комбинаторика с приложениями к математической физике. Европейская математическая летняя школа, проходившая в Институте Эйлера, Санкт-Петербург, Россия, 9-20 июля 2001 г. Берлин [и др.]: Шпрингер. п. 151. ИСБН  978-3-540-44890-7 .
  2. ^ Кулеша, Алекс; Таскар, Бен (2012). «Детерминантные точечные процессы для машинного обучения». Основы и тенденции в машинном обучении . 5 (2–3): 123–286. arXiv : 1207.6083 . дои : 10.1561/2200000044 .
  3. ^ Миёси, Наото; Шираи, Томоюки (2016). «Модель сотовой сети с базовыми станциями, настроенными Ginibre» . Достижения в области прикладной теории вероятности . 46 (3): 832–845. дои : 10.1239/aap/1409319562 . ISSN   0001-8678 .
  4. ^ Торриси, Джованни Лука; Леонарди, Эмилио (2014). «Большие отклонения интерференции в сетевой модели Джинибре» (PDF) . Стохастические системы . 4 (1): 173–205. дои : 10.1287/13-SSY109 . ISSN   1946-5238 .
  5. ^ Н. Дэн, В. Чжоу и М. Хэнгги. Точечный процесс Гинибре как модель беспроводной сети с отталкиванием. Транзакции IEEE по беспроводной связи , том. 14, стр. 107–121, январь 2015 г.
  6. ^ Jump up to: а б Хаф Дж. Б., Кришнапур М., Перес Ю. и Вираг Б. Нули гауссовских аналитических функций и детерминантные точечные процессы. Серия университетских лекций, 51. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2009.
  7. ^ Jump up to: а б с Сошников А. А. «Детерминантные случайные точечные поля». Русская математика. Обзоры , 2000, 55 (5), 923–975.
  8. ^ Б. Валко. Случайные матрицы, лекции 14–15 . Конспект лекций курса, Университет Висконсин-Мэдисон .
  9. ^ А. Бородин, А. Окуньков и Г. Ольшанский, Об асимптотике мер Планшереля для симметричных групп, доступно через arXiv : math/9905032 .
  10. ^ Лайонс, Р. с Пересом, Ю., Вероятность на деревьях и сетях. Издательство Кембриджского университета, в стадии подготовки. Текущий версия доступна по адресу http://mypage.iu.edu/~rdlyons/.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 002cce5c6ae995a85214d13172572371__1721771280
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/00/71/002cce5c6ae995a85214d13172572371.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Determinantal point process - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)