Детерминантный точечный процесс
В математике детерминантный точечный процесс — это стохастический точечный процесс , распределение вероятностей которого характеризуется как определитель некоторой функции. Такие процессы возникают как важные инструменты в случайных матриц теории , комбинаторике , физике , [1] машинное обучение , [2] и моделирование беспроводной сети. [3] [4] [5]
Определение
[ редактировать ]Позволять быть локально компактным польским пространством и быть мерой Радона на . Рассмотрим также измеримую функцию .
Мы говорим, что является детерминантным точечным процессом на с ядром если это простой точечный процесс на с совместной интенсивностью или корреляционной функцией (которая представляет собой плотность меры факториального момента ), определяемой выражением
для любого n ≥ 1 и x 1 , ..., x n ∈ Λ. [6]
Характеристики
[ редактировать ]Существование
[ редактировать ]Следующие два условия являются необходимыми и достаточными для существования детерминантного случайного точечного процесса с интенсивностями ρk .
- Симметрия: ρk Sk инвариантен относительно группы симметрической . действия Таким образом:
- Позитивность: для любого N и любого набора измеримых ограниченных функций. , k = 1, ..., N с компактным носителем : Если Затем [7]
Уникальность
[ редактировать ]Достаточным условием единственности детерминантного случайного процесса с совместными ρk является интенсивностями для любого ограниченного Бореля A ⊆ Λ. [7]
Примеры
[ редактировать ]Гауссов унитарный ансамбль
[ редактировать ]Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера m × m, взятой из гауссовского унитарного ансамбля (GUE), образуют детерминантный точечный процесс на с ядром
где это волновая функция осциллятора, определяемая формулой
Пуассонизированная мера Планшереля
[ редактировать ]Пуассонизированная мера Планшереля на целочисленном разбиении (и, следовательно, на диаграммах Юнга ) играет важную роль при изучении самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Точечный процесс, соответствующий случайной диаграмме Юнга, выраженной в модифицированных координатах Фробениуса, является детерминантным точечным процессом на + 1 ⁄ 2 с дискретным ядром Бесселя, определяемым формулой:
где Для J — функция Бесселя первого рода, а θ — среднее значение, используемое при пуассонизации. [9]
Это служит примером четко определенного детерминантного точечного процесса с неэрмитовым ядром (хотя его ограничение на положительную и отрицательную полуоси является эрмитовым). [7]
Равномерные промежуточные деревья
[ редактировать ]— конечный неориентированный связный граф с множеством ребер E. Пусть G Определи я и : Е → ℓ 2 (E) следующим образом: сначала выберем некоторый произвольный набор ориентаций ребер E и для каждого полученного ориентированного ребра e определим I и быть проекцией единичного потока вдоль e на подпространство ℓ 2 (E) охвачено звездными потоками. [10] Тогда равномерно случайное остовное дерево G является детерминантным точечным процессом на E с ядром
- . [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вершик, Анатолий М. (2003). Асимптотическая комбинаторика с приложениями к математической физике. Европейская математическая летняя школа, проходившая в Институте Эйлера, Санкт-Петербург, Россия, 9-20 июля 2001 г. Берлин [и др.]: Шпрингер. п. 151. ИСБН 978-3-540-44890-7 .
- ^ Кулеша, Алекс; Таскар, Бен (2012). «Детерминантные точечные процессы для машинного обучения». Основы и тенденции в машинном обучении . 5 (2–3): 123–286. arXiv : 1207.6083 . дои : 10.1561/2200000044 .
- ^ Миёси, Наото; Шираи, Томоюки (2016). «Модель сотовой сети с базовыми станциями, настроенными Ginibre» . Достижения в области прикладной теории вероятности . 46 (3): 832–845. дои : 10.1239/aap/1409319562 . ISSN 0001-8678 .
- ^ Торриси, Джованни Лука; Леонарди, Эмилио (2014). «Большие отклонения интерференции в сетевой модели Джинибре» (PDF) . Стохастические системы . 4 (1): 173–205. дои : 10.1287/13-SSY109 . ISSN 1946-5238 .
- ^ Н. Дэн, В. Чжоу и М. Хэнгги. Точечный процесс Гинибре как модель беспроводной сети с отталкиванием. Транзакции IEEE по беспроводной связи , том. 14, стр. 107–121, январь 2015 г.
- ^ Jump up to: а б Хаф Дж. Б., Кришнапур М., Перес Ю. и Вираг Б. Нули гауссовских аналитических функций и детерминантные точечные процессы. Серия университетских лекций, 51. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2009.
- ^ Jump up to: а б с Сошников А. А. «Детерминантные случайные точечные поля». Русская математика. Обзоры , 2000, 55 (5), 923–975.
- ^ Б. Валко. Случайные матрицы, лекции 14–15 . Конспект лекций курса, Университет Висконсин-Мэдисон .
- ^ А. Бородин, А. Окуньков и Г. Ольшанский, Об асимптотике мер Планшереля для симметричных групп, доступно через arXiv : math/9905032 .
- ^ Лайонс, Р. с Пересом, Ю., Вероятность на деревьях и сетях. Издательство Кембриджского университета, в стадии подготовки. Текущий версия доступна по адресу http://mypage.iu.edu/~rdlyons/.