Случайная матрица

В теории вероятностей и математической физике — случайная матрица это с матричным значением случайная величина , то есть матрица, в которой некоторые или все ее элементы выбираются случайным образом из распределения вероятностей . Теория случайных матриц (RMT) — это изучение свойств случайных матриц, часто по мере того, как они становятся большими. RMT предоставляет такие методы, как теория среднего поля , диаграммные методы, метод полости или метод реплик для вычисления таких величин, как трассы , спектральные плотности или скалярные произведения между собственными векторами. например спектр ядер Многие физические явления , тяжелых атомов, теплопроводность , решетки или возникновение квантового хаоса , могут быть смоделированы математически как задачи, касающиеся больших случайных матриц.

Приложения

Физика

В ядерной физике случайные матрицы были введены Юджином Вигнером для моделирования ядер тяжелых атомов. Вигнер постулировал, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между собственными значениями случайной матрицы и должны зависеть только от класса симметрии лежащей в основе эволюции. В физике твердого тела случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных гамильтонианов в приближении среднего поля .

В квантовом хаосе гипотеза Бохигаса-Джаннони-Шмита (БГС) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц.

В квантовой оптике преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., например, модель выборки бозонов ). Более того, такие случайные унитарные преобразования можно реализовать непосредственно в оптической схеме, сопоставив их параметры с компонентами оптической схемы (то есть светоделителями и фазовращателями).

Теория случайных матриц также нашла применение киральному оператору Дирака в квантовой хромодинамике . квантовая гравитация в двух измерениях, мезоскопическая физика , крутящий момент передачи вращения , дробный квантовый эффект Холла , Локализация Андерсона , квантовые точки , и сверхпроводники

Математическая статистика и численный анализ

В многомерной статистике случайные матрицы были введены Джоном Уишартом , который стремился оценить ковариационные матрицы больших выборок. Неравенства типа Чернова , Бернштейна и Хёффдинга обычно могут быть усилены, когда они применяются к максимальному собственному значению (т.е. собственному значению наибольшей величины) конечной суммы случайных эрмитовых матриц . Теория случайных матриц используется для изучения спектральных свойств случайных матриц, таких как выборочные ковариационные матрицы, что представляет особый интерес в многомерной статистике . Теория случайных матриц также нашла применение в нейронных сетях. и глубокое обучение : недавняя работа с использованием случайных матриц показала, что настройки гиперпараметров можно дешево переносить между большими нейронными сетями без необходимости повторного обучения.

В численном анализе случайные матрицы использовались со времен работ Джона фон Неймана и Германа Голдстайна. для описания ошибок вычислений в таких операциях, как умножение матриц . Хотя случайные записи являются традиционными «универсальными» входными данными для алгоритма, концентрация меры, связанная со случайными распределениями матриц, подразумевает, что случайные матрицы не будут проверять большие части входного пространства алгоритма.

Теория чисел

В теории чисел распределение нулей дзета-функции Римана (и других L-функций ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц. Связь впервые обнаружили Хью Монтгомери и Фримен Дайсон . Это связано с гипотезой Гильберта-Пойа .

Свободная вероятность

Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску представил концепцию свободы примерно в 1983 году в контексте операторной алгебры; в начале вообще не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была раскрыта Войкулеску только позже, в 1991 году; его мотивировал тот факт, что предельное распределение, которое он нашел в своей свободной центральной предельной теореме, ранее появлялось в законе полукруга Вигнера в контексте случайной матрицы.

Вычислительная нейробиология

В области вычислительной нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу. когда дисперсия синаптических весов достигает критического значения, на пределе бесконечного размера системы. Результаты по случайным матрицам также показали, что динамика моделей со случайной матрицей нечувствительна к средней силе связи. Вместо этого стабильность колебаний зависит от изменения прочности соединения. и время синхронизации зависит от топологии сети.

При анализе массивных данных, таких как фМРТ , для уменьшения размерности применялась теория случайных матриц. При применении такого алгоритма, как PCA , важно иметь возможность выбирать количество значимых компонентов. Критериев выбора компонентов может быть несколько (на основе объясненной дисперсии, метода Кайзера, собственного значения и т. д.). Теория случайных матриц в этом содержании имеет своего представителя распределение Марченко-Пастура , которое гарантирует теоретические высокие и низкие пределы собственных значений, связанных со случайной ковариационной матрицей. Эта рассчитанная таким образом матрица становится нулевой гипотезой, позволяющей найти собственные значения (и их собственные векторы), отклоняющиеся от теоретического случайного диапазона. Исключенные таким образом компоненты становятся пространством уменьшенных измерений (см. примеры в разделе фМРТ). ).

Оптимальное управление

В теории оптимального управления эволюция n переменных состояния во времени зависит в любой момент времени от их собственных значений и от значений k переменных управления. При линейной эволюции в уравнении состояния (уравнении эволюции) появляются матрицы коэффициентов. В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах достоверно не известны, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как задача стохастического управления . Ключевым результатом в случае линейно-квадратичного управления со стохастическими матрицами является то, что принцип эквивалентности определенности не применяется: в то время как в отсутствие неопределенности множителя (то есть только при аддитивной неопределенности) оптимальная политика с квадратичной функцией потерь совпадает с Что бы было решено, если бы неопределенность игнорировалась, оптимальная политика может отличаться, если уравнение состояния содержит случайные коэффициенты.

Вычислительная механика

В вычислительной механике эпистемические неопределенности, лежащие в основе отсутствия знаний о физике моделируемой системы, приводят к появлению математических операторов, связанных с вычислительной моделью, которые в определенном смысле несовершенны. У таких операторов отсутствуют определенные свойства, связанные с немоделированной физикой. Когда такие операторы дискретизируются для выполнения вычислительного моделирования, их точность ограничивается недостающей физикой. Чтобы компенсировать этот недостаток математического оператора, недостаточно сделать параметры модели случайными, необходимо рассмотреть математический оператор, который является случайным и, таким образом, может генерировать семейства вычислительных моделей в надежде, что одна из них уловит недостающие значения. физика. В этом смысле использовались случайные матрицы. с приложениями в виброакустике, распространении волн, материаловедении, механике жидкости, теплопередаче и т. д.

Инженерное дело

Теория случайных матриц может быть применена к исследованиям в области электротехники и связи для изучения, моделирования и разработки с массивным множественным входом и множественным выходом ( MIMO ). радиосистем

История

Теория случайных матриц впервые привлекла внимание за пределами математической литературы в контексте ядерной физики. Эксперименты Энрико Ферми и других продемонстрировали доказательства того, что отдельные нуклоны не могут двигаться независимо, что привело Нильса Бора к формулировке идеи составного ядра . Поскольку о прямых нуклон-нуклонных взаимодействиях не было известно, Юджин Вигнер и Леонард Эйзенбуд предположили, что ядерный гамильтониан можно смоделировать как случайную матрицу. Для более крупных атомов распределение собственных значений энергии гамильтониана можно вычислить, чтобы аппроксимировать сечения рассеяния , используя распределение Вишарта .

Гауссовы ансамбли

Наиболее часто изучаемыми случайными матричными распределениями являются гауссовы ансамбли: GOE, GUE и GSE. Их часто обозначают индексом Дайсона : β = 1 для GOE, β = 2 для GUE и β = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество действительных компонентов на элемент матрицы.

Определения

Гауссов унитарный ансамбль ${\text{GUE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}$$на пространстве $n\times n$ Эрмитовые матрицы $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$. Здесь $$Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$$— нормировочная константа, выбранная так, чтобы интеграл от плотности был равен единице. Термин унитарный относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссов унитарный ансамбль моделирует гамильтонианы, лишенные симметрии относительно обращения времени.

Гауссов ортогональный ансамбль ${\text{GOE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}$$в пространстве n × n вещественных симметричных матриц размера H = ( H _ij ) ^н
_{я , j =1} . Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени. Эквивалентно, он генерируется $H=(G+G^{T})/{\sqrt {2n}}$, где $G$ это $n\times n$ матрица с выборками IID из стандартного нормального распределения.

Гауссов симплектический ансамбль ${\text{GSE}}(n)$ описывается гауссовой мерой с плотностью $${\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}$$в пространстве n × n эрмитовых кватернионных матриц , например, симметричных квадратных матриц, состоящих из кватернионов , H = ( H _ij ) ^н
_{я , j =1} . Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектической группой и моделирует гамильтонианы с симметрией обращения времени, но без вращательной симметрии.

Точечные корреляционные функции

Ансамбли, определенные здесь, имеют гауссово распределенные матричные элементы со средним значением ⟨ H _ij ⟩ = 0 и двухточечные корреляции, определяемые формулой $$\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm},$$из которого по теореме Иссерлиса следуют все высшие корреляции .

Производящие функции момента

для Производящая функция момента GOE равна $$E[e^{tr(VH)}]=e^{{\frac {1}{4N}}\|V+V^{T}\|_{F}^{2}}$$где $\|\cdot \|_{F}$ является нормой Фробениуса .

Спектральная плотность

Спектральная плотность GOE/GUE/GSE, как $N=2^{0},2^{1},...,2^{5}$. Они нормированы так, что распределения сходятся к распределению полукруга . Число «горбов» равно N.

Совместная плотность вероятности для собственных значений λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n GUE/GOE/GSE определяется выражением

$${\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta }{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,$$ ( 1 )

где Zβ _{интеграл , n} — константа нормализации, которую можно вычислить явно, см. Сельберга . В случае ГУЭ ( β = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс . Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет ноль (из $\beta$-го порядка) для совпадающих собственных значений $\lambda _{j}=\lambda _{i}$.

Распределение наибольшего собственного значения для GOE и GUE явно разрешимо. Они сходятся к распределению Трейси – Уидома после соответствующего сдвига и масштабирования.

Сходимость к полукруговому распределению Вигнера

Спектр, разделенный на ${\sqrt {N\sigma ^{2}}}$, сходится по распределению к полукруговому распределению на интервале $[-2,+2]$: $\rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}$. Здесь $\sigma ^{2}$ - это дисперсия недиагональных записей. Дисперсия элементов на диагонали не имеет значения.

Распределение межуровневых расстояний

Из упорядоченной последовательности собственных значений $\lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots$, определяются нормированные расстояния $s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle$, где $\langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle$ это среднее расстояние. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением: $$p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,e^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}$$для ортогонального ансамбля GOE $\beta =1$, $$p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}$$для унитарного ансамбля ГУЭ $\beta =2$, и $$p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}e^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}$$для симплектического ансамбля GSE $\beta =4$.

Числовые константы таковы, что $p_{\beta }(s)$ нормируется: $$\int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1$$и среднее расстояние равно, $$\int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,$$для $\beta =1,2,4$.

Обобщения

Матрицы Вигнера являются случайными эрмитовыми матрицами. ${\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ такие, что записи $$\left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}$$выше главной диагонали находятся независимые случайные величины с нулевым средним значением и одинаковыми вторыми моментами.

Ансамбли инвариантных матриц представляют собой случайные эрмитовы матрицы с плотностью в пространстве вещественных симметричных/эрмитовых/кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет вид ${\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-nV(\mathrm {tr} (H))}~,}$ где функция V называется потенциалом.

Гауссовы ансамбли — единственные общие частные случаи этих двух классов случайных матриц. Это следствие теоремы Портера и Розенцвейга.

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности.

Эмпирическая спектральная мера

Эмпирическая спектральная мера µ _H группы H определяется формулой $$\mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .$$

Обычно предел $\mu _{H}$ является детерминированной мерой; это частный случай самоусреднения . Кумулятивная функция распределения предельной меры называется интегральной плотностью состояний и обозначается N ( λ ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотностью состояний и обозначается ρ ( λ ).

Альтернативные выражения

$$\mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}$$

Типы конвергенции

Учитывая матричный ансамбль, мы говорим, что его спектральные меры слабо сходятся к $\rho$ iff для любого измеримого множества $A$, среднее по ансамблю сходится: $$\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)$$Сходимость слабая, почти наверняка : если мы выберем $H_{1},H_{2},H_{3},\dots$ независимо от ансамбля, то с вероятностью 1, $$\lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)$$для любого измеримого множества $A$.

В другом смысле , слабая почти уверенная сходимость означает, что мы выбираем $H_{1},H_{2},H_{3},\dots$, не самостоятельно, а путем «нарастания» ( случайный процесс ), то с вероятностью 1, $\lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)$ для любого измеримого множества $A$.

Например, мы можем «вырастить» последовательность матриц из гауссовского ансамбля следующим образом:

• Возьмите бесконечную дважды бесконечную последовательность стандартных случайных величин. $\{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }$.
• Определите каждый $H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}$ где $G_{n}$ это матрица, состоящая из записей $\{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}$.

Обратите внимание, что общие матричные ансамбли не позволяют нам расти, но большинство распространенных, таких как три гауссовых ансамбля, позволяют нам расти.

Глобальный режим

В глобальном режиме нас интересует распределение линейной статистики вида $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$.

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера был описан Юджином Вигнером ; см. распределение полукругов Вигнера и предположение Вигнера . Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была разработана Марченко и Пастуром .

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, возникающим из теории потенциала .

Колебания

Для линейной статистики N _{f , H} = n ⁻¹ Σ f ( λ _j ) интересуют также колебания около ∫ f ( λ ) dN ( λ ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида $${\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)$$известно.

Вариационная задача для унитарных ансамблей

Рассмотрим меру

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-H_{N}(\lambda )}\mathrm {d} \lambda ,\qquad H_{N}(\lambda )=-\sum \limits _{j\neq k}\ln |\lambda _{j}-\lambda _{k}|+N\sum \limits _{j=1}^{N}Q(\lambda _{j}),$

где $Q(M)$ потенциал ансамбля и пусть $\nu$ быть эмпирической спектральной мерой.

Мы можем переписать $H_{N}(\lambda )$ с $\nu$ как

$H_{N}(\lambda )=N^{2}\left[-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x)\right],$

вероятностная мера теперь имеет вид

$\mathrm {d} \mu _{N}(\mu )={\frac {1}{{\widetilde {Z}}_{N}}}e^{-N^{2}I_{Q}(\nu )}\mathrm {d} \lambda ,$

где $I_{Q}(\nu )$ — приведенный выше функционал внутри квадратных скобок.

Пусть сейчас

$M_{1}(\mathbb {R} )=\left\{\nu :\nu \geq 0,\ \int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} \nu =1\right\}$

— пространство одномерных вероятностных мер и рассмотрим минимизатор

$E_{Q}=\inf \limits _{\nu \in M_{1}(\mathbb {R} )}-\int \int _{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm {d} \nu (x)\mathrm {d} \nu (y)+\int Q(x)\mathrm {d} \nu (x).$

Для $E_{Q}$ существует единственная равновесная мера $\nu _{Q}$ через вариационные условия Эйлера-Лагранжа для некоторой действительной постоянной $l$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)=l,\quad x\in J$

$2\int _{\mathbb {R} }\log |x-y|\mathrm {d} \nu (y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb {R} \setminus J$

где $J=\bigcup \limits _{j=1}^{q}[a_{j},b_{j}]$ является поддержкой меры и определения

$q(x)=-\left({\frac {Q'(x)}{2}}\right)^{2}+\int {\frac {Q'(x)-Q'(y)}{x-y}}\mathrm {d} \nu _{Q}(y)$.

Равновесная мера $\nu _{Q}$ имеет следующую плотность Радона – Никодима

${\frac {\mathrm {d} \nu _{Q}(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {q(x)}}.$

Мезоскопический режим

Типичная формулировка полукругового закона Вигнера эквивалентна следующему утверждению: для каждого фиксированного интервала $[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]$ сосредоточен в точке $\lambda _{0}$, как $N$, число размерностей гауссовского ансамбля увеличивается, доля собственных значений, попадающих в интервал, сходится к $\int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt$, где $\rho (t)$ – плотность полукругового распределения.

Если $\Delta \lambda$ можно позволить уменьшиться, так как $N$ возрастает, то мы получаем строго более сильные теоремы, называемые «локальными законами» или «мезоскопическим режимом».

Мезоскопический режим занимает промежуточное положение между локальным и глобальным. В мезоскопическом режиме нас интересует предельное распределение собственных значений в наборе, который сжимается до нуля, но достаточно медленно, так что число собственных значений внутри $\to \infty$.

Например, ансамбль Джинибре имеет мезоскопический закон: для любой последовательности сжимающихся дисков с площадями $u$внутри единого диска, если диски имеют площадь $A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })$, условное распределение спектра внутри дисков также сходится к равномерному распределению. То есть, если мы разрежем сжимающиеся диски вместе со спектром, попадающим внутрь дисков, а затем масштабируем диски до единицы площади, мы увидим, что спектры сходятся к плоскому распределению в дисках.

Местный режим

В локальном режиме нас интересует предельное распределение собственных значений в множестве, которое сжимается так быстро, что число собственных значений остается $O(1)$.

Обычно это означает изучение расстояний между собственными значениями и, в более общем плане, совместного распределения собственных значений в интервале длины порядка 1/ n . Различают объемную статистику , относящуюся к интервалам внутри носителя предельной спектральной меры, и краевую статистику , относящуюся к интервалам вблизи границы носителя.

Массовая статистика

Формально исправьте $\lambda _{0}$ в интерьере опоры ​ ​ $N(\lambda )$. Тогда рассмотрим точечный процесс $$\Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,$$где $\lambda _{j}$ являются собственными значениями случайной матрицы.

Точечный процесс $\Xi (\lambda _{0})$ фиксирует статистические свойства собственных значений вблизи $\lambda _{0}$. Для гауссовских ансамблей предел $\Xi (\lambda _{0})$ известно; таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром $$K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}$$( синусоидальное ядро ).

Принцип универсальности постулирует, что предел $\Xi (\lambda _{0})$ как $n\to \infty$ должно зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (а не от конкретной модели случайных матриц или от $\lambda _{0}$). Строгие доказательства универсальности известны для ансамблей инвариантных матриц. и матрицы Вигнера.

Краевая статистика

Основная статья: Распределение Трейси – Уидома

Одним из примеров статистики границ является распределение Трейси – Уидома .

В качестве другого примера рассмотрим ансамбль Джинибре. Оно может быть реальным или сложным. Настоящий ансамбль Джинибре имеет стандартные гауссовы записи. ${\mathcal {N}}(0,1)$, а комплексный ансамбль Джинибре имеет iid стандартных комплексных гауссовских элементов ${\mathcal {N}}(0,1/2)+i{\mathcal {N}}(0,1/2)$.

Теперь позвольте $G_{n}$ быть выбраны из реального или сложного ансамбля, и пусть $\rho (G_{n})$ быть абсолютным значением его максимального собственного значения: $$\rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|$$У нас есть следующая теорема для статистики ребер:

Краевая статистика ансамбля Джинибре — Для $G_{n}$ и $\rho \left(G_{n}\right)$ как указано выше, с вероятностью единица, $$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1$$

Более того, если $\gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))$ и $$Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),$$затем $Y_{n}$ сходится по распределению к закону Гумбеля , т. е. вероятностной мере на $\mathbb {R}$ с кумулятивной функцией распределения $F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}$.

Эта теорема уточняет круговой закон ансамбля Жинибре . На словах циркулярный закон гласит, что спектр ${\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}$ почти наверняка равномерно падает на единичный диск. а теорема о краевой статистике утверждает, что радиус почти единичного диска составляет около $1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}$и колеблется в масштабе ${\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}$, согласно закону Гумбеля.

Корреляционные функции

Совместная плотность вероятности собственных значений $n\times n$ случайные эрмитовые матрицы $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$, со статистической суммой вида $$Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}$$где $$V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}$$и $d\mu _{0}(M)$ — стандартная мера Лебега в пространстве $\mathbf {H} ^{n\times n}$ эрмитианского $n\times n$ матрицы, определяется выражением $$p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.$$$k$-точечные корреляционные функции (или маргинальные распределения ) определяются как $$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$$которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция, или плотность состояний , равна $$R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$$Его интеграл по борелевскому множеству $B\subset \mathbf {R}$ дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в $B$: $$\int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).$$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как определители матриц, сформированных в результате вычисления соответствующего интегрального ядра в парах $(x_{i},x_{j})$ точек, входящих в коррелятор.

Теорема [Дайсона-Мехты] Для любого $k$, $1\leq k\leq n$ тот $k$-точечная корреляционная функция $R_{n,V}^{(k)}$ можно записать как определитель $$R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),$$где $K_{n,V}(x,y)$ это $n$ядро Кристоффеля-Дарбу $$K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),$$связанный с $V$, записанный в терминах квазиполиномов $$\psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},$$ где $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ представляет собой полную последовательность монических многочленов указанных степеней, удовлетворяющих условиям ортогонильности $$\int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.$$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Основная статья: Дистрибутив Wishart

Матрицы Уишарта представляют собой случайные матрицы размера n × n вида H = X X ^* , где X — случайная матрица размера n × m ( m ≥ n ) с независимыми элементами, а X ^* является его сопряженным транспонированием . В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, элементы X представляют собой одинаково распределенные гауссовские случайные величины (действительные или комплексные).

предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта Найден и Владимир Марченко Леонид Пастур .

Случайные унитарные матрицы

Основная статья: Круглые ансамбли

Неэрмитовые случайные матрицы

Основная статья: Циркулярное право

Избранная библиография

Книги

• Мехта, МЛ (2004). Случайные матрицы . Амстердам: Elsevier/Academic Press. ISBN  0-12-088409-7 .
• Андерсон, ГВ; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19452-5 .
• Акеманн, Г.; Байк, Дж.; Ди Франческо, П. (2011). Оксфордский справочник по теории случайных матриц . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957400-1 .
• Поттерс, Марк; Бушо, Жан-Филипп (30 ноября 2020 г.). Первый курс теории случайных матриц: для физиков, инженеров и специалистов по обработке данных . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781108768900 . ISBN  978-1-108-76890-0 .

Обзорные статьи

• Эдельман, А.; Рао, НР (2005). «Теория случайных матриц». Акта Нумерика . 14 : 233–297. Бибкод : 2005AcNum..14..233E . дои : 10.1017/S0962492904000236 . S2CID   16038147 .
• Пастур, Луизиана (1973). «Спектры случайных самосопряженных операторов». Расс. Математика. Сурв . 28 (1): 1–67. Бибкод : 1973РуМаС..28....1П . дои : 10.1070/RM1973v028n01ABEH001396 . S2CID   250796916 .
• Диаконис, Перси (2003). «Закономерности собственных значений: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 40 (2): 155–178. дои : 10.1090/S0273-0979-03-00975-3 . МР   1962294 .
• Диаконис, Перси (2005). «Что такое… случайная матрица?» . Уведомления Американского математического общества . 52 (11): 1348–1349. ISSN   0002-9920 . МР   2183871 .
• Эйнар, Бертран; Кимура, Таро; Рибо, Сильвен (15 октября 2015 г.). «Случайные матрицы». arXiv : 1510.04430v2 [ math-ph ].

Исторические произведения

• Вигнер, Э. (1955). «Характеристические векторы граничных матриц бесконечных размерностей». Анналы математики . 62 (3): 548–564. дои : 10.2307/1970079 . JSTOR   1970079 .
• Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение момента продукта в образцах». Биометрика . 20А (1–2): 32–52. дои : 10.1093/biomet/20a.1-2.32 .
• фон Нейман, Дж.; Голдстайн, HH (1947). «Численное обращение матриц высокого порядка» . Бык. амер. Математика. Соц . 53 (11): 1021–1099. дои : 10.1090/S0002-9904-1947-08909-6 .

Внешние ссылки

• Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц» . Схоларпедия . 6 (3): 9886. Бибкод : 2011SchpJ...6.9886F . doi : 10.4249/scholarpedia.9886 .
• Вайсштейн, Э.В. «Случайная матрица» . Вольфрам Математический мир.