Распределение Марченко – Пастора

График распределения Марченко-Пастура для различных значений лямбда

В математической теории случайных матриц распределение Марченко -Пастура , или закон Марченко-Пастура , описывает асимптотическое поведение сингулярных значений больших прямоугольных случайных матриц . Теорема названа в честь советских математиков Владимира Марченко и Леонида Пастура , доказавших этот результат в 1967 году.

Если $X$ обозначает $m\times n$ случайная матрица, элементы которой являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним значением 0 и дисперсией $\sigma ^{2}<\infty$, позволять

$Y_{n}={\frac {1}{n}}XX^{T}$

и пусть $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\dots ,\,\lambda _{m}$ быть собственными значениями $Y_{n}$ (рассматриваются как случайные величины ). Наконец, рассмотрим случайную меру

$\mu _{m}(A)={\frac {1}{m}}\#\left\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathbb {R} .$

подсчет количества собственных значений в подмножестве $A$ включен в $\mathbb {R}$.

Теорема . Предположим, что $m,\,n\,\to \,\infty$ так что соотношение $m/n\,\to \,\lambda \in (0,+\infty )$. Затем $\mu _{m}\,\to \,\mu$ (в слабой* топологии по распределению ), где

$\mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}$

и

$d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx$

с

$\lambda _{\pm }=\sigma ^{2}(1\pm {\sqrt {\lambda }})^{2}.$

Закон Марченко – Пастура также возникает как свободный закон Пуассона в теории свободных вероятностей, имеющий скорость $1/\lambda$ и размер прыжка $\sigma ^{2}$.

Моменты

Для каждого $k\geq 1$, его $k$-й момент

$$\sum _{r=0}^{k-1}{\frac {\sigma ^{2k}}{r+1}}{\binom {k}{r}}{\binom {k-1}{r}}\lambda ^{r}={\frac {\sigma ^{2k}}{k}}\sum _{r=0}^{k-1}{\binom {k}{r}}{\binom {k}{r+1}}\lambda ^{r}$$

Некоторые преобразования этого закона

имеет Преобразование Стилтьеса вид

$s(z)={\frac {\sigma ^{2}(1-\lambda )-z+{\sqrt {(z-\sigma ^{2}(\lambda +1))^{2}-4\lambda \sigma ^{4}}}}{2\lambda z\sigma ^{2}}}$

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень также имеет положительную мнимую часть. Преобразование Стилтьеса можно переупаковать в форму R-преобразования, которое имеет вид

$R(z)={\frac {\sigma ^{2}}{1-\sigma ^{2}\lambda z}}$

S-преобразование определяется выражением

$S(z)={\frac {1}{\sigma ^{2}(1+\lambda z)}}.$

Приложение к корреляционным матрицам

Для частного случая корреляционных матриц мы знаем, что $\sigma ^{2}=1$ и $\lambda =m/n$. Это ограничивает массу вероятности в интервале, определяемом формулой

$\lambda _{\pm }=\left(1\pm {\sqrt {\frac {m}{n}}}\right)^{2}.$

Поскольку это распределение описывает спектр случайных матриц со средним значением 0, собственные значения корреляционных матриц, попадающие внутрь вышеупомянутого интервала, можно считать ложными или шумовыми. Например, получение корреляционной матрицы из 10 доходностей акций, рассчитанных за период в 252 торговых дня, даст $\lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43$. Таким образом, из 10 собственных значений указанной корреляционной матрицы только значения выше 1,43 будут считаться существенно отличающимися от случайных.

См. также

• Распределение полукруга Вигнера
• Распределение Трейси – Уидома

Ссылки

• Бай, Чжидун; Сильверстайн, Джек В. (2010). Спектральный анализ случайных матриц большой размерности . Серия Springer по статистике (второе издание оригинальной редакции 2006 г.). Нью-Йорк: Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-0661-8 . ISBN  978-1-4419-0660-1 . МР   2567175 . Збл   1301.60002 .
• Эппс, Бренден; Кривицкий, Эрик М. (2019). «Разложение зашумленных данных по сингулярным значениям: повреждение режима». Эксперименты с жидкостями . 60 (8): 1–30. Бибкод : 2019ExFl...60..121E . дои : 10.1007/s00348-019-2761-y . S2CID   198436243 .
• Гетце, Ф.; Тихомиров А. (2004). «Скорость сходимости по вероятности к закону Марченко – Пастура» . Бернулли . 10 (3): 503–548. дои : 10.3150/bj/1089206408 .
• Marchenko, V. A.; Pastur, L. A. (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices]. Mat. Sb. N.S. (in Russian). 72 (114:4): 507–536. Bibcode : 1967SbMat...1..457M . doi : 10.1070/SM1967v001n04ABEH001994 . Link to free-access pdf of Russian version
• Ника, А.; Спейчер, Р. (2006). Лекции по комбинаторике свободной теории вероятностей . Кембриджский университет. Нажимать. стр. 204 , 368. ISBN.  0-521-85852-6 . Ссылка для бесплатного скачивания Еще один сайт с бесплатным доступом
• Тулино, Антония М.; Верду, Серджио (2004). «Теория случайных матриц и беспроводная связь». Основы и тенденции в теории связи и информации . 1 (1): 1–182. дои : 10.1561/0100000001 . Збл   1143.94303 .
• Чжан, В.; Абреу, Г.; Инамори, М.; Санада, Ю. (2011). «Алгоритмы определения спектра с помощью конечных случайных матриц». Транзакции IEEE по коммуникациям . 60 (1): 164–175. дои : 10.1109/TCOMM.2011.112311.100721 . S2CID   206642535 .