Круговой ансамбль

В теории случайных матриц круговые ансамбли представляют собой меры в пространствах унитарных матриц, введенных Фрименом Дайсоном как модификации ансамблей гауссовских матриц . ^[1] Тремя основными примерами являются круговой ортогональный ансамбль (COE) на симметричных унитарных матрицах, круговой унитарный ансамбль (CUE) на унитарных матрицах и круговой симплектический ансамбль (CSE) на самодвойственных унитарных кватернионных матрицах.

Распределения вероятностей

Распределение унитарного кругового ансамбля CUE( n ) является мерой Хаара на унитарной группе U(n) . Если U — случайный элемент CUE( n ), то U ^ТU – случайный элемент COE( n ); если U — случайный элемент CUE( 2n ), то U ^РU — случайный элемент CSE( n ), где

U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.

Каждый элемент кругового ансамбля представляет собой унитарную матрицу, поэтому он имеет собственные значения на единичной окружности: $\lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}$ с $0\leq \theta _{k}<2\pi$ для k=1,2,... n , где $\theta _{k}$ также известны как собственные углы или собственные фазы . В CSE каждое из этих n собственных значений появляется дважды. Распределения имеют плотности по собственным углам, определяемые выражением

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~

на $\mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}$ (симметричная версия), где β=1 для COE, β=2 для CUE и β=4 для CSE. Константа нормализации Z _n,β определяется выражением

Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,

что можно проверить с помощью интегральной формулы Сельберга или интегральной формулы Вейля для компактных групп Ли.

Обобщения

Обобщения кругового ансамбля ограничивают матричные элементы U действительными числами [так, чтобы U находился в ортогональной группе O(n) ] или действительными кватернионов числами [так, чтобы U находился в симплектической группе Sp(2n) . Мера Хаара в ортогональной группе создает круговой действительный ансамбль (CRE), а мера Хаара в симплектической группе создает круговой ансамбль кватернионов (CQE).

Собственные значения ортогональных матриц входят в комплексно-сопряженные пары. $e^{i\theta _{k}}$ и $e^{-i\theta _{k}}$ , возможно, дополненный собственными значениями, фиксированными на +1 или -1 . Для n=2m четного и det U=1 фиксированных собственных значений нет, и фазы θ _k имеют распределение вероятностей. ^[2]

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,

где C - неуказанная константа нормализации. Для n=2m+1 нечетного существует одно фиксированное собственное значение σ=det U, равное ±1. Фазы имеют распределение

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.

Для n=2m+2 четного и det U=-1 существует пара собственных значений, фиксированных на +1 и -1 , а фазы имеют распределение

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.

Это также распределение собственных значений матрицы в Sp(2m) .

Эти функции плотности вероятности называются распределениями Якоби в теории случайных матриц, поскольку корреляционные функции могут быть выражены через полиномы Якоби .

Расчеты

Средние значения произведений матричных элементов в круговых ансамблях можно рассчитать с помощью функций Вайнгартена . При большой размерности матрицы эти расчеты становятся непрактичными и предпочтение отдается численному методу. Существуют эффективные алгоритмы для генерации случайных матриц в круговых ансамблях, например, путем выполнения QR-разложения на матрице Джинибре. ^[3]

Ссылки

^ Ф. М. Дайсон (1962). «Тройной путь. Алгебраическая структура групп и ансамблей симметрии в квантовой механике». Журнал математической физики . 3 (6): 1199. Бибкод : 1962JMP.....3.1199D . дои : 10.1063/1.1703863 .
^ В.Л. Гирко (1985). «Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц». Украинский математический журнал . 37 (5): 457. doi : 10.1007/bf01061167 . S2CID 120597749 .
^ Ф. Меццадри (2007). «Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп» (PDF) . Уведомления АМС . 54 : 592. arXiv : math-ph/0609050 . Бибкод : 2006math.ph...9050M .

Реализации программного обеспечения

Внешние ссылки

Мехта, Мадан Лал (2004), Случайные матрицы , Чистая и прикладная математика (Амстердам), том. 142 (3-е изд.), Elsevier/Academic Press, Амстердам, ISBN 978-0-12-088409-4 , МР 2129906
Форрестер, Питер Дж. (2010), Лог-газы и случайные матрицы , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0

[1] Ф. М. Дайсон (1962). «Тройной путь. Алгебраическая структура групп и ансамблей симметрии в квантовой механике». Журнал математической физики . 3 (6): 1199. Бибкод : 1962JMP.....3.1199D . дои : 10.1063/1.1703863 .

[2] В.Л. Гирко (1985). «Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц». Украинский математический журнал . 37 (5): 457. doi : 10.1007/bf01061167 . S2CID 120597749 .

[3] Ф. Меццадри (2007). «Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп» (PDF) . Уведомления АМС . 54 : 592. arXiv : math-ph/0609050 . Бибкод : 2006math.ph...9050M .

[1]

[2]

[3]