Функция Вайнгартена

В математике функции Вайнгартена — это рациональные функции, индексированные делениями целых чисел , которые можно использовать для вычисления интегралов от произведений матричных коэффициентов по классическим группам . Впервые они были изучены Вайнгартеном (1978), который нашел их асимптотическое поведение, и названы Коллинзом (2003) , который явно оценил их для унитарной группы .

Унитарные группы

Функции Вайнгартена используются для вычисления интегралов по унитарной группе U _d произведений матричных коэффициентов вида

$\int _{U_{d}}U_{i_{1}j_{1}}\cdots U_{i_{q}j_{q}}U_{i_{1}^{\prime }j_{1}^{\prime }}^{*}\cdots U_{i_{q}^{\prime }j_{q}^{\prime }}^{*}dU,$

где $*$ обозначает комплексное сопряжение. Обратите внимание, что $U_{ji}^{*}=(U^{\dagger })_{ij}$ где $U^{\dagger }$ является сопряженным транспонированием $U$, поэтому можно интерпретировать приведенное выше выражение как относящееся к $i_{1}j_{1}\ldots i_{q}j_{q}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{q}i'_{q}$ матричный элемент $U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dagger }\otimes \cdots \otimes U^{\dagger }$.

Этот интеграл равен

$\sum _{\sigma ,\tau \in S_{q}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{q}i_{\sigma (q)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{q}j_{\tau (q)}^{\prime }}W\!g(\sigma \tau ^{-1},d)$

где Wg — функция Вайнгартена, определяемая формулой

$W\!g(\sigma ,d)={\frac {1}{q!^{2}}}\sum _{\lambda }{\frac {\chi ^{\lambda }(1)^{2}\chi ^{\lambda }(\sigma )}{s_{\lambda ,d}(1)}}$

где сумма ведется по всем разбиениям λ числа q ( Коллинз 2003 ). Здесь х ^л — характер S _q, соответствующий разбиению λ, а s — полином Шура от λ, так что s _{λ d} (1) — размерность представления U _d, соответствующего λ.

Функции Вайнгартена являются рациональными функциями от d . Они могут иметь полюса для малых значений d , которые сокращаются в приведенной выше формуле. Существует альтернативное неэквивалентное определение функций Вайнгартена, в котором суммирование производится только по разбиениям, состоящим не более чем из d частей. Это больше не рациональная функция от d , но конечная для всех положительных целых чисел d . Два вида функций Вайнгартена совпадают для d, больших q , и любой из них можно использовать в формуле для интеграла.

Значения функции Вайнгартена для простых перестановок

Первые несколько функций Вайнгартена Wg (σ, d ) равны

$\displaystyle W\!g(,d)=1$ (Тривиальный случай, когда q = 0)

$\displaystyle W\!g(1,d)={\frac {1}{d}}$

$\displaystyle W\!g(2,d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{2},d)={\frac {1}{d^{2}-1}}$

$\displaystyle W\!g(3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(21,d)={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{3},d)={\frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}$

$\displaystyle W\!g(4,d)={\frac {-5}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(31,d)={\frac {2d^{2}-3}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(2^{2},d)={\frac {d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(21^{2},d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)(d^{2}-9)}}$

$\displaystyle W\!g(1^{4},d)={\frac {d^{4}-8d^{2}+6}{d^{2}(d^{2}-1)(d^{2}-4)(d^{2}-9)}}$

где перестановки σ обозначены формой их цикла.

Существуют программы компьютерной алгебры для создания этих выражений.

Явные выражения для интегралов в первых случаях

Явные выражения для интегралов от полиномов первой и второй степени, полученные по приведенной выше формуле, имеют вид: $$\int _{U_{d}}dUU_{ij}{\bar {U}}_{k\ell }=\delta _{ik}\delta _{j\ell }\operatorname {Wg} (1,d)={\frac {\delta _{ik}\delta _{j\ell }}{d}}.$$$$\int _{U_{d}}dUU_{ij}U_{k\ell }{\bar {U}}_{mn}{\bar {U}}_{pq}=(\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kp}\delta _{\ell q}+\delta _{ip}\delta _{jq}\delta _{km}\delta _{\ell n})\operatorname {Wg} (1^{2},d)+(\delta _{im}\delta _{jq}\delta _{kp}\delta _{\ell n}+\delta _{ip}\delta _{jn}\delta _{km}\delta _{\ell q})\operatorname {Wg} (2,d).$$

Асимптотическое поведение

При больших d функция Вайнгартена Wg имеет асимптотическое поведение

$W\!g(\sigma ,d)=d^{-n-|\sigma |}\prod _{i}(-1)^{|C_{i}|-1}c_{|C_{i}|-1}+O(d^{-n-|\sigma |-2})$

где перестановка σ является произведением циклов длин C _i и c _n = (2 n )!/ n !( n + 1)! — каталонское число и |σ| — наименьшее количество транспозиций, произведением которых является σ. Существует схематический метод. систематически вычислять интегралы по унитарной группе как степенной ряд по 1/d .

Ортогональные и симплектические группы

Для ортогональных и симплектических групп функции Вайнгартена были оценены Коллинзом и Сниади (2006) . Их теория аналогична случаю унитарной группы. Они параметризуются разделами так, что все части имеют одинаковый размер.

Внешние ссылки

• Коллинз, Бенуа (2003), «Моменты и кумулянты полиномиальных случайных величин в унитарных группах, интеграл Ицыксона-Зубера и свободная вероятность», International Mathematics Research Notions , 2003 (17): 953–982, arXiv : math-ph/ 0205010 , doi : 10.1155/S107379280320917X , MR   1959915
• Коллинз, Бенуа; Сняды, Петр (2006), «Интегрирование по мере Хаара на унитарной, ортогональной и симплектической группе», Communications in Mathematical Physics , 264 (3): 773–795, arXiv : math-ph/0402073 , Bibcode : 2006CMaPh. 264..773C , doi : 10.1007/s00220-006-1554-3 , MR   2217291 , S2CID   16122807
• Вайнгартен, Дон (1978), «Асимптотическое поведение групповых интегралов в пределе бесконечного ранга», Journal of Mathematical Physics , 19 (5): 999–1001, Bibcode : 1978JMP....19..999W , doi : 10.1063 /1.523807 , МР   0471696