Интеграл Сельберга
В математике является интеграл Сельберга обобщением бета-функции Эйлера на n измерений, введенной Атле Сельбергом . [1] [2]
Сельберга формула Интегральная
Когда , у нас есть
Формула Сельберга подразумевает тождество Диксона для хорошо сбалансированных гипергеометрических рядов и некоторые частные случаи гипотезы Дайсона . Это следствие Аомото.
Интегральная формула Аомото [ править ]
Аомото доказал несколько более общую интегральную формулу. [3] При тех же условиях, что и формула Сельберга,
Доказательство можно найти в главе 8 книги Эндрюса, Аски и Роя (1999) . [4]
Интеграл Мехты [ править ]
Когда ,
Это следствие Сельберга, установившего и замена переменных с , затем берём .
Это предположение было высказано Мехтой и Дайсоном (1963) , которые не знали о более ранних работах Сельберга. [5]
Это статистическая сумма для газа точечных зарядов, движущихся по прямой, притягивающихся к началу координат. [6]
Интеграл Макдональда [ править ]
Макдональд (1982) следующем расширении интеграла Мехты на все конечные системы корней , исходный случай Мехты соответствует системе корней An -1 выдвинул гипотезу о . [7]
Произведение находится по корням r системы корней, а числа d j являются степенями образующих кольца инвариантов группы отражений. Опдам (1989) дал единое доказательство для всех кристаллографических групп отражений. [8] Несколько лет спустя он доказал это в полной мере, используя компьютерные расчеты Гарвана. [9]
Ссылки [ править ]
- ^ Сельберг, Атле (1944). «Замечания о кратном интеграле» . Норвежская еда. Время скр . 26 : 71–78. МР 0018287 .
- ^ Форрестер, Питер Дж.; Варнаар, С. Оле (2008). «Важность интеграла Сельберга». Бык. амер. Математика. Соц . 45 (4): 489–534. arXiv : 0710.3981 . дои : 10.1090/S0273-0979-08-01221-4 . S2CID 14185100 .
- ^ Аомото, К. (1987). «О комплексном интеграле Сельберга» . Ежеквартальный математический журнал . 38 (4): 385–399. дои : 10.1093/qmath/38.4.385 .
- ^ Эндрюс, Джордж; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999). «Интеграл Сельберга и его приложения». Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 71. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-62321-6 . МР 1688958 .
- ^ Мехта, Мадан Лал; Дайсон, Фриман Дж. (1963). «Статистическая теория энергетических уровней сложных систем. В» . Журнал математической физики . 4 (5): 713–719. Бибкод : 1963JMP.....4..713M . дои : 10.1063/1.1704009 . МР 0151232 .
- ^ Мехта, Мадан Лал (2004). Случайные матрицы . Чистая и прикладная математика (Амстердам). Том. 142 (3-е изд.). Elsevier/Academic Press, Амстердам. ISBN 978-0-12-088409-4 . МР 2129906 .
- ^ Макдональд, И.Г. (1982). «Некоторые предположения о корневых системах». SIAM Journal по математическому анализу . 13 (6): 988–1007. дои : 10.1137/0513070 . ISSN 0036-1410 . МР 0674768 .
- ^ Опдам, Э.М. (1989). «Некоторые применения операторов гипергеометрического сдвига» . Изобретать. Математика . 98 (1): 275–282. Бибкод : 1989InMat..98....1O . дои : 10.1007/BF01388841 . МР 1010152 . S2CID 54571505 .
- ^ Опдам, Э.М. (1993). «Операторы Данкла, функции Бесселя и дискриминант конечной группы Кокстера» . Математическая композиция . 85 (3): 333–373. МР 1214452 . Збл 0778.33009 .