Линейно-квадратичный регулятор

Теория оптимального управления занимается эксплуатацией динамической системы с минимальными затратами. Случай, когда динамика системы описывается набором линейных дифференциальных уравнений , а стоимость описывается квадратичной функцией , называется задачей LQ. Одним из основных результатов теории является то, что решение обеспечивается линейно-квадратичным регулятором ( LQR ), регулятором с обратной связью, уравнения которого приведены ниже.

Контроллеры LQR обладают присущей им надежностью с гарантированным коэффициентом усиления и запасом по фазе . и они также являются частью решения проблемы LQG (линейно-квадратично-гауссовой) . Как и сама проблема LQR, проблема LQG является одной из наиболее фундаментальных проблем теории управления .

Общее описание

Настройки (регулирующего) контроллера, управляющего машиной или процессом (например, самолетом или химическим реактором), определяются с помощью математического алгоритма, который минимизирует функцию стоимости с весовыми коэффициентами, заданными человеком (инженером). Функция стоимости часто определяется как сумма отклонений ключевых измерений, таких как высота над уровнем моря или температура процесса, от желаемых значений. Таким образом, алгоритм находит те настройки контроллера, которые минимизируют нежелательные отклонения. Величина самого управляющего воздействия также может быть включена в функцию стоимости.

Алгоритм LQR сокращает объем работы, выполняемой инженером системы управления по оптимизации контроллера. Однако инженеру все равно необходимо указать параметры функции стоимости и сравнить результаты с указанными целями проектирования. Часто это означает, что построение контроллера будет итеративным процессом, в котором инженер оценивает «оптимальные» контроллеры, созданные посредством моделирования, а затем корректирует параметры, чтобы создать контроллер, более соответствующий целям проектирования.

Алгоритм LQR, по сути, представляет собой автоматизированный способ поиска подходящего контроллера с обратной связью по состоянию . Таким образом, инженеры по управлению нередко предпочитают альтернативные методы, такие как полная обратная связь по состоянию , также известная как размещение полюсов, в которых существует более четкая взаимосвязь между параметрами контроллера и поведением контроллера. Трудность в поиске правильных весовых коэффициентов ограничивает применение синтеза контроллера на основе LQR.

Версии

Конечный горизонт, непрерывное время

Для линейной системы с непрерывным временем, определенной на $t\in [t_{0},t_{1}]$, описанный:

${\dot {x}}=Ax+Bu$

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (то есть, $x$ это $n$-мерный вещественный вектор) — состояние системы и $u\in \mathbb {R} ^{m}$ является управляющим входом. Учитывая квадратичную функцию стоимости системы, определяемую как:

$J=x^{T}(t_{1})F(t_{1})x(t_{1})+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt$

Закон управления с обратной связью, минимизирующий величину стоимости, имеет вид:

$u=-Kx\,$

где $K$ дается:

$K=R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})\,$

и $P$ находится путем решения дифференциального уравнения Риккати с непрерывным временем :

$A^{T}P(t)+P(t)A-(P(t)B+N)R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})+Q=-{\dot {P}}(t)\,$

с граничным условием:

$P(t_{1})=F(t_{1}).$

Условия первого порядка для J _min таковы:

1) Уравнение состояния

${\dot {x}}=Ax+Bu$

2) Уравнение совместного состояния

$-{\dot {\lambda }}=Qx+Nu+A^{T}\lambda$

3) Стационарное уравнение

$0=Ru+N^{T}x+B^{T}\lambda$

4) Граничные условия

$x(t_{0})=x_{0}$

и $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$

Бесконечный горизонт, непрерывное время

Для линейной системы с непрерывным временем, описываемой следующим образом:

${\dot {x}}=Ax+Bu$

с функцией стоимости, определяемой как:

$J=\int _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt$

Закон управления с обратной связью, минимизирующий величину стоимости, имеет вид:

$u=-Kx\,$

где $K$ дается:

$K=R^{-1}(B^{T}P+N^{T})\,$

и $P$ находится путем решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем :

$A^{T}P+PA-(PB+N)R^{-1}(B^{T}P+N^{T})+Q=0\,$

Это также можно записать как:

${\mathcal {A}}^{T}P+P{\mathcal {A}}-PBR^{-1}B^{T}P+{\mathcal {Q}}=0\,$

с

${\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}\,$

Конечный горизонт, дискретное время

Для линейной системы с дискретным временем, описываемой следующим образом:

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,$

с индексом производительности, определяемым как:

$J=x_{H_{p}}^{T}Q_{H_{p}}x_{H_{p}}+\sum \limits _{k=0}^{H_{p}-1}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)$, где $H_{p}$ это временной горизонт

оптимальная последовательность управления, минимизирующая показатель эффективности, определяется выражением:

$u_{k}=-F_{k}x_{k}\,$

где:

$F_{k}=(R+B^{T}P_{k+1}B)^{-1}(B^{T}P_{k+1}A+N^{T})\,$

и $P_{k}$ находится итеративно назад во времени с помощью динамического уравнения Риккати:

$P_{k-1}=A^{T}P_{k}A-(A^{T}P_{k}B+N)\left(R+B^{T}P_{k}B\right)^{-1}(B^{T}P_{k}A+N^{T})+Q$

из терминального состояния $P_{H_{p}}=Q_{H_{p}}$. Обратите внимание, что $u_{H_{p}}$ не определено, так как $x$ доводится до конечного состояния $x_{H_{p}}$ к $Ax_{H_{p}-1}+Bu_{H_{p}-1}$.

Бесконечный горизонт, дискретное время

Для линейной системы с дискретным временем, описываемой следующим образом:

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,$

с индексом производительности, определяемым как:

$J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)$

оптимальная последовательность управления, минимизирующая показатель эффективности, определяется выражением:

$u_{k}=-Fx_{k}\,$

где:

$F=(R+B^{T}PB)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})\,$

и $P$ является единственным положительно определенным решением алгебраического уравнения Риккати с дискретным временем (DARE):

$P=A^{T}PA-(A^{T}PB+N)\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})+Q$.

Это также можно записать как:

$P={\mathcal {A}}^{T}P{\mathcal {A}}-{\mathcal {A}}^{T}PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P{\mathcal {A}}+{\mathcal {Q}}$

с:

${\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}$.

Обратите внимание, что один из способов решения алгебраического уравнения Риккати — это итерация динамического уравнения Риккати для случая конечного горизонта до тех пор, пока оно не сойдётся.

Ограничения

На практике не все значения $x_{k},u_{k}$ может быть разрешено. Одним из распространенных ограничений является линейное:

$C\mathbf {x} +D\mathbf {u} \leq \mathbf {e} .$

Версия с конечным горизонтом представляет собой задачу выпуклой оптимизации , поэтому проблема часто решается повторно с удаляющимся горизонтом. Это форма прогнозного управления моделью .

Сопутствующие контроллеры

Квадратичный регулятор

Если уравнение состояния квадратичное, то проблема известна как квадратично-квадратичный регулятор (QQR). Алгоритм Аль'Брехта можно применить, чтобы свести эту проблему к проблеме, которую можно эффективно решить с помощью линейных решателей на основе тензоров.

Полиномиально-квадратичный регулятор

Если уравнение состояния является полиномиальным , то проблема известна как полиномиально-квадратичный регулятор (PQR). Опять же, алгоритм Аль'Брехта можно применить, чтобы свести эту проблему к большой линейной, которую можно решить с помощью обобщения алгоритма Бартельса-Стюарта ; это осуществимо при условии, что степень полинома не слишком высока.

Модельно-прогностическое управление

Основная статья: Модель прогнозирующего управления § MPC и LQR

Модельное прогнозирующее управление и линейно-квадратичные регуляторы представляют собой два типа методов оптимального управления, которые имеют разные подходы к установлению затрат на оптимизацию. В частности, когда LQR запускается неоднократно с удаляющимся горизонтом, он становится формой прогнозного управления моделью (MPC). Однако в целом MPC не опирается на какие-либо предположения относительно линейности системы.

Ссылки

• Квакернаак, Хьюберт; Сиван, Рафаэль (1972). Линейные оптимальные системы управления (1-е изд.). Уайли Интерсайенс. ISBN  0-471-51110-2 .
• Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98489-5 .

Внешние ссылки

• Функция MATLAB для проектирования линейного квадратичного регулятора
• Функция Mathematica для проектирования линейного квадратичного регулятора