Полная обратная связь по состоянию

Обратная связь по полному состоянию (FSF), или размещение полюсов , — это метод, используемый в систем управления с обратной связью для размещения полюсов замкнутого контура установки теории в заранее определенных местах на s-плоскости . Размещение полюсов желательно, поскольку расположение полюсов напрямую соответствует собственным значениям системы, которые управляют характеристиками реакции системы. систему необходимо считать управляемой Для реализации этого метода .

Принцип

Система в разомкнутом контуре

Если динамика замкнутого цикла может быть представлена ​​уравнением пространства состояний (см. Пространство состояний (управления) )

${\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},$

с выходным уравнением

${\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},$

тогда полюса передаточной функции системы являются корнями характеристического уравнения, заданного формулой

$\left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.$

Полная обратная связь по состоянию используется путем управления входным вектором. ${\underline {u}}$. Рассмотрим входной сигнал, пропорциональный (в матричном смысле) вектору состояния:

Система с обратной связью по состоянию (замкнутая система)

${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$.

Подставив в приведенные выше уравнения пространства состояний, мы имеем

${\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}$

${\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.$

Полюсы системы ФСФ задаются характеристическим уравнением матрицы $\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K}$, $\det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0$. Сравнение членов этого уравнения с членами искомого характеристического уравнения дает значения матрицы обратной связи. ${\textbf {K}}$ которые заставляют собственные значения замкнутого контура располагаться в положениях полюсов, заданных желаемым характеристическим уравнением.

Пример ФСФ

Рассмотрим систему, заданную следующими уравнениями пространства состояний:

${\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.$

Неуправляемая система имеет разомкнутые полюса на $s=-1$ и $s=-2$. Эти полюса являются собственными значениями $\mathbf {A}$ матрица, и они являются корнями $\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|$. Предположим, что для рассмотрения реакции мы хотим, чтобы собственные значения управляемой системы находились в точке $s=-1$ и $s=-5$, которые не являются теми полюсами, которые у нас есть сейчас. Тогда искомое характеристическое уравнение имеет вид $s^{2}+6s+5=0$, от $(s+1)(s+5)$.

Следуя приведенной выше процедуре, характеристическое уравнение управляемой системы ФСФ имеет вид

$\left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),$

где

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.$

Приравняв это характеристическое уравнение к искомому характеристическому уравнению, находим

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}$.

Поэтому установка ${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$ заставляет полюса замкнутого контура перемещаться в нужные места, влияя на реакцию по желанию.

Это работает только для систем с одним входом. Несколько систем ввода будут иметь ${\textbf {K}}$ матрица не уникальна. Поэтому выбираем лучшее ${\textbf {K}}$ ценности не тривиальны. . линейно-квадратичный регулятор Для таких приложений можно использовать .

См. также

• Расщепление полюсов
• Шаговый отклик
• Формула Аккермана
• Линейно-квадратичный регулятор

Внешние ссылки

• Функция Mathematica для вычисления коэффициентов обратной связи по состоянию