Формула Аккермана

Не путать с функцией Аккермана . Чтобы узнать о других значениях, см. Акерманн (значения) .

В теории управления формула Аккермана — это метод проектирования системы управления для решения проблемы распределения полюсов для систем с инвариантным временем Юргена Аккермана . Одной из основных проблем проектирования систем управления является создание регуляторов, которые будут изменять динамику системы путем изменения собственных значений матрицы, представляющей динамику замкнутой системы. Это эквивалентно изменению полюсов соответствующей передаточной функции в случае, когда нет сокращения полюсов и нулей.

Государственное управление с обратной связью

Рассмотрим линейную инвариантную систему с непрерывным временем с представлением в пространстве состояний

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)$

где x — вектор состояния, u — входной вектор, а A , B и C — матрицы совместимых размеров, которые представляют динамику системы. Входно-выходное описание этой системы дается передаточной функцией

$G(s)=C(sI-A)^{-1}B=C\ {\frac {\operatorname {Adj} (sI-A)}{\det(sI-A)}}\ B.$

Поскольку знаменатель правого уравнения задается характеристическим полиномом A , полюса G являются собственными значениями ( A обратное утверждение не обязательно верно, поскольку между членами числителя и знаменателя могут быть сокращения). Если система нестабильна , имеет медленный отклик или любую другую характеристику, которая не определяет критерии проектирования, может быть полезно внести в нее изменения. Однако матрицы A , B и C могут представлять физические параметры системы, которые нельзя изменить. Таким образом, одним из подходов к этой проблеме может быть создание контура обратной связи с коэффициентом усиления K , который будет подавать переменную состояния x на вход u .

Если система управляема , всегда есть вход $u(t)$ такое, что любое состояние $x_{0}$ можно перевести в любое другое государство $x(t)$. Учитывая это, в систему можно добавить контур обратной связи с управляющим входом. $u(t)=r(t)-Kx(t)$, так что новая динамика системы будет

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+B[r(t)-Kx(t)]=[A-BK]x(t)+Br(t)$

$y(t)=Cx(t).$

В этой новой реализации полюса будут зависеть от характеристического полинома $\Delta _{new}$ из $A-BK$, то есть

$\Delta _{\text{new}}(s)=\det(sI-(A-BK)).$

Формула Аккермана

Вычисление характеристического полинома и выбор подходящей матрицы обратной связи может оказаться сложной задачей, особенно в более крупных системах. Один из способов упростить вычисления — использовать формулу Аккермана. Для простоты рассмотрим один входной вектор без ссылочного параметра. $r$, такой как

$u(t)=-k^{T}x(t)$

${\dot {x}}(t)=Ax(t)-Bk^{T}x(t),$

где $k^{T}$ — вектор обратной связи совместимых размерностей. Формула Аккермана гласит, что процесс проектирования можно упростить, вычислив только следующее уравнение:

$k^{T}=\left[0\ 0\ \cdots \ 0\ 1\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta _{\text{new}}(A),$

в котором $\Delta _{\text{new}}(A)$ - желаемый характеристический полином, оцененный в матрице $A$, и ${\mathcal {C}}$ – матрица управляемости системы.

Доказательство

Это доказательство основано на статье «Контроль размещения столбов» в Энциклопедии систем жизнеобеспечения . Предположим, что система управляема . Характеристический полином $A_{CL}:=(A-Bk^{T})$ дается

$\Delta (A_{CL})=(A_{CL})^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A_{CL}^{k}$

Вычисление полномочий $A_{CL}$ приводит к

${\begin{aligned}(A_{CL})^{0}&=(A-Bk^{T})^{0}=I\\(A_{CL})^{1}&=(A-Bk^{T})^{1}=A-Bk^{T}\\(A_{CL})^{2}&=(A-Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A+(Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-(Bk^{T})[A-Bk^{T}]=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL}\\\vdots \\(A_{CL})^{n}&=(A-Bk^{T})^{n}=A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1}\end{aligned}}$

Заменив предыдущие уравнения на $\Delta (A_{CL})$ урожайность $${\begin{aligned}\Delta (A_{CL})&=(A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots +\alpha _{2}(A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL})+\alpha _{1}(A-Bk^{T})+\alpha _{0}I\\&=(A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\cdots +\alpha _{2}A^{2}+\alpha _{1}A+\alpha _{0}I)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(Bk^{T})\\&=\Delta (A)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})-\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(Bk^{T})\end{aligned}}$$Переписав приведенное выше уравнение как матричное произведение и опустив члены, которые $k^{T}$ не появляется изолированных выходов

$$\Delta (A_{CL})=\Delta (A)-\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]$$

По теореме Кэли– Гамильтона $\Delta \left(A_{CL}\right)=0$, таким образом

$\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\Delta (A)$

Обратите внимание, что ${\mathcal {C}}=\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]$ – матрица управляемости системы. Поскольку система управляема, ${\mathcal {C}}$ является обратимым. Таким образом,

$\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]={\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

Найти $k^{T}$, обе части можно умножить на вектор $\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]$ предоставление

$\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

Таким образом,

$k^{T}=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

Пример

Учитывать

${\dot {x}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right]x+\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]u$

Мы знаем из характеристического полинома $A$ что система неустойчива, поскольку $det(sI-A)=(s-1)(s-2)-1=s^{2}-3s+2$, матрица $A$ будет иметь только положительные собственные значения. Таким образом, для стабилизации системы введем коэффициент обратной связи $K=\left[{\begin{array}{cc}k_{1}&k_{2}\end{array}}\right].$

По формуле Аккермана можно найти матрицу $k$ это изменит систему так, что ее характеристическое уравнение станет равным желаемому многочлену. Предположим, мы хотим $\Delta _{\text{desired}}(s)=s^{2}+11s+30$.

Таким образом, $\Delta _{\text{desired}}(A)=A^{2}+11A+30I$ и вычисление матрицы управляемости дает

${\mathcal {C}}=\left[{\begin{array}{cc}B&AB\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]$ и ${\mathcal {C}}^{-1}=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right].$

А еще у нас есть такое $A^{2}=\left[{\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right].$

Наконец, из формулы Аккермана

$k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[\left[{\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right]+11\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right]+30I\right]$

$k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}43&14\\14&57\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}29&-43\\14&57\end{array}}\right]$

$k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}14&57\end{array}}\right]$

Дизайн государственного наблюдателя

Формулу Аккермана можно также использовать для определения государственных наблюдателей . Рассмотрим линейную наблюдаемую систему с дискретным временем

${\hat {x}}(n+1)=A{\hat {x}}(n)+Bu(n)+L[y(n)-{\hat {y}}(n)]$

${\hat {y}}(n)=C{\hat {x}}(n)$

с усилением наблюдателя L . Тогда формула Аккермана для определения государственных наблюдателей записывается как

$L^{\top }=\left[0\ 0\ \cdots \ 0\ 1\right]({\mathcal {O}}^{\top })^{-1}\Delta _{\text{new}}(A^{\top })$

с матрицей наблюдаемости ${\mathcal {O}}$. Здесь важно отметить, что матрица наблюдаемости и матрица системы транспонируются : ${\mathcal {O}}^{\top }$ и $A^{\top }$.

Формула Аккермана также может быть применена к наблюдаемым системам с непрерывным временем.

См. также

• Полная обратная связь по состоянию

Внешние ссылки

• Глава о формуле Аккермана в Wikibook of Control Systems and Control Engineering