Расщепление полюсов

Расщепление полюсов — явление, используемое в некоторых формах частотной компенсации, используемых в электронных усилителях . Когда между входной и выходной сторонами усилителя вводится конденсатор с целью перемещения полюса с наименьшей частотой (обычно входного полюса) на более низкие частоты, разделение полюсов приводит к перемещению следующего по частоте полюса (обычно выходного полюса). на более высокую частоту. Такое перемещение полюсов увеличивает стабильность усилителя и улучшает его реакцию на скачок ценой снижения скорости. ^[1]^[2]^[3]^[4]

Пример разделения полюсов

Этот пример показывает, что введение конденсатора, обозначенного как CC _, в усилитель на рисунке 1, приводит к двум результатам: во-первых, он заставляет полюс самой низкой частоты усилителя перемещаться еще ниже по частоте, а во-вторых, он заставляет верхний полюс двигаться выше. по частоте. ^[5] рисунке 1 имеет низкочастотный полюс из-за добавленного входного сопротивления R _i и емкости C _i с постоянной времени C _i ( RA _{Усилитель на} || R _i ). Этот полюс перемещается вниз по частоте из-за эффекта Миллера . Усилителю придается высокочастотный выходной полюс за счет сложения сопротивления нагрузки и _RL емкости с _CL времени CL _{постоянной} ( R _o || _RL ). Перемещение высокочастотного полюса вверх происходит потому, что компенсационный конденсатор Миллера C _C изменяет частотную зависимость выходного делителя напряжения.

Первая цель — показать, что самый низкий полюс движется вниз по частоте, достигается с использованием того же подхода, что и статья о теореме Миллера . Следуя процедуре, описанной в статье о теореме Миллера , схема рисунка 1 преобразуется в схему рисунка 2, которая электрически эквивалентна рисунку 1. Применение закона тока Кирхгофа к входной стороне рисунка 2 определяет входное напряжение. $\ v_{i}$ к идеальному операционному усилителю в зависимости от напряжения приложенного сигнала $\ v_{a}$ , а именно,

{\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,

который демонстрирует спад с частотой, начинающейся с f ₁ , где

{\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}

который вводит обозначения $\tau _{1}$ для постоянной времени нижнего полюса. Эта частота ниже исходной низкой частоты усилителя, которая при C _C = 0 F равна ${\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}$ .

Переходя ко второй цели, показывающей, что более высокий полюс перемещается еще выше по частоте, необходимо посмотреть на выходную сторону схемы, которая вносит второй фактор в общий коэффициент усиления и дополнительную зависимость от частоты. Напряжение $\ v_{o}$ определяется коэффициентом усиления идеального операционного усилителя внутри усилителя как

\ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .

Использование этого соотношения и применение закона тока Кирхгофа к выходной стороне схемы определяет напряжение нагрузки. $v_{\ell }$ как функция напряжения $\ v_{i}$ на входе идеального операционного усилителя как:

{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!

\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .

Это выражение объединяется с коэффициентом усиления, найденным ранее для входной стороны схемы, чтобы получить общий коэффициент усиления как

{\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}

=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!

\cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!

\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .

Эта формула усиления, по-видимому, демонстрирует простой двухполюсный отклик с двумя постоянными времени. (Он также имеет ноль в числителе, но, если предположить, что коэффициент усиления усилителя A _v велик, этот ноль важен только на частотах, слишком высоких, чтобы иметь значение в этом обсуждении, поэтому числитель можно аппроксимировать как единицу.) Однако, хотя усилитель действительно имеет двухполюсное поведение, две постоянные времени более сложны, чем предполагает приведенное выше выражение, поскольку емкость Миллера содержит скрытую частотную зависимость, которая не имеет значения на низких частотах, но оказывает значительное влияние на высоких частотах. То есть, предполагая, что выходное RC , CL _{произведение} ( Ro _{), соответствует частоте, значительно} || _RL превышающей низкочастотный полюс, необходимо использовать точную форму емкости Миллера, а не приближение Миллера . Согласно статье об эффекте Миллера , емкость Миллера определяется выражением

{\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}

(Для положительной емкости Миллера A _v отрицательна.) После подстановки этого результата в выражение коэффициента усиления и условия сбора коэффициент усиления переписывается как:

{\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,

с D _ω, заданным квадратичным по ω, а именно:

D_{\omega }\,\!

=[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!

\cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!

\ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!

\cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!

\ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .

Каждое квадратичное уравнение имеет два множителя, и это выражение выглядит проще, если его переписать в виде

\ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})

=1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\

где $\tau _{1}$ и $\tau _{2}$ представляют собой комбинации емкостей и сопротивлений в формуле D _ω . ^[6] Они соответствуют постоянным времени двух полюсов усилителя. Та или иная постоянная времени является самой длинной; предполагать $\tau _{1}$ - самая длинная постоянная времени, соответствующая самому низкому полюсу, и предположим, что $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ . (Хорошая реакция на шаг требует $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ . См. раздел «Выбор C _C» ниже.)

На низких частотах вблизи самого нижнего полюса этого усилителя линейный член ω обычно более важен, чем квадратичный член, поэтому поведение D _ω на низких частотах выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}

где теперь C _M переопределяется с использованием приближения Миллера как

C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,

это просто предыдущая емкость Миллера, оцененная на низких частотах. На этом основании $\tau _{1}$ определяется при условии $\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$ . Поскольку C _M велико, постоянная времени ${\tau }_{1}$ намного больше, чем исходное значение C _i ( R _A || R _i ). ^[7]

На высоких частотах квадратичный член становится важным. Предполагая приведенный выше результат для $\tau _{1}$ действительно, вторая постоянная времени, положение высокочастотного полюса, находится из квадратичного члена в D _ω как

\tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .

Подставив в это выражение квадратичный коэффициент, соответствующий произведению $\tau _{1}\tau _{2}$ вместе с оценкой $\tau _{1}$ , находится оценка положения второго полюса:

{\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}

и поскольку C _M велико, кажется $\tau _{2}$ уменьшается в размере от исходного значения L ₍ R o _|| RL ) _C ; то есть более высокий полюс переместился еще выше по частоте из- CC _за . ^[8]

Короче говоря, введение конденсатора C _C переместило нижний полюс ниже, а верхний полюс выше, поэтому термин «расщепление полюсов» кажется хорошим описанием.

Выбор C _C

значение является хорошим выбором для CC _Какое ? Для общего использования традиционная конструкция (часто называемая компенсацией доминирующего полюса или однополюсной компенсацией ) требует, чтобы коэффициент усиления усилителя падал со скоростью 20 дБ/декаду от угловой частоты до усиления 0 дБ или даже ниже. ^[9]^[10] Благодаря такой конструкции усилитель стабилен и имеет почти оптимальную переходную характеристику даже в качестве буфера напряжения с единичным коэффициентом усиления. Более агрессивный метод – двухполюсная компенсация. ^[11]^[12]

Способ расположения f ₂ для получения расчета показан на рисунке 3. На самом низком полюсе f ₁ график усиления Боде ломает наклон и падает со скоростью 20 дБ/декада. Цель состоит в том, чтобы поддерживать наклон 20 дБ/декаду вплоть до нуля дБ и принять соотношение желаемого падения усиления (в дБ) 20 log ₁₀ А _v к требуемому изменению частоты (на логарифмической частоте). шкала ^[13]) of ( log ₁₀ f ₂ − log ₁₀ f ₁ ) = log ₁₀ ( f ₂ / f ₁ ) наклон отрезка между f ₁ и f ₂ равен:

Наклон за декаду частоты

=20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,

что составляет 20 дБ/декаду при условии f ₂ = A _v f ₁ . Если f ₂ не так велико, второй разрыв графика Боде, который происходит на втором полюсе, прерывает график до того, как усиление упадет до 0 дБ, что приведет к снижению стабильности и ухудшению переходной характеристики.

На рисунке 3 показано, что для получения правильной зависимости коэффициента усиления от частоты второй полюс должен быть как минимум в раз A _v выше по частоте, чем первый полюс. Коэффициент усиления немного снижается делителями напряжения на входе и выходе усилителя, поэтому с поправками к A _v для делителей напряжения на входе и выходе условие соотношения полюсов для хорошей реакции на переход становится следующим:

{\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,

Используя развитые выше приближения для постоянных времени,

{\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,

или

{\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!

{\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,

определения подходящего значения CC _{которое представляет собой квадратное уравнение для} . На рисунке 4 показан пример использования этого уравнения. При низких значениях коэффициента усиления этот примерный усилитель удовлетворяет условию соотношения полюсов без компенсации (т. е. на рисунке 4 компенсационный конденсатор C _C мал при низком коэффициенте усиления), но по мере увеличения коэффициента усиления быстро становится необходимой компенсационная емкость (т. е. на рисунке 4 компенсационный конденсатор C _C быстро увеличивается с увеличением усиления), поскольку необходимое соотношение полюсов увеличивается с увеличением усиления. Для еще большего усиления необходимое CC _{падает с увеличением усиления ,} миллеровское усиление CC _, которое увеличивается с усилением (см. уравнение Миллера ), допускает меньшее значение CC _{поскольку} .

Чтобы обеспечить больший запас прочности при расчетных неопределенностях, часто A _v увеличивают в два или три раза правой _в части этого уравнения. ^[14] См. смысл ^[4] или Хуэйсинг ^[10] и статья о пошаговом отклике .

Скорость нарастания

Выше приведен анализ слабого сигнала. Однако при использовании сигналов большой мощности необходимость зарядки и разрядки компенсационного конденсатора отрицательно влияет на скорость нарастания напряжения усилителя ; частности, реакция на входной сигнал линейного изменения ограничена необходимостью зарядки CC _в .

См. также

Ссылки и примечания

^ То есть время нарастания выбирается как можно более быстрое, соответствующее низкому перерегулированию и звону .
^ К. Тоумазу, Мошиц Г.С. и Гилберт Б. (редакторы) (2007). Компромиссы при проектировании аналоговых схем: помощник разработчика . Нью-Йорк/Берлин/Дордрехт: Springer. стр. 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2 . {{cite book}}: |author= имеет общее имя ( справка )
^ Марк Т. Томпсон (2006). Интуитивное проектирование аналоговых схем: подход к решению проблем с использованием тематических исследований . Амстердам: Elsevier Newnes. п. 200. ИСБН 0-7506-7786-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Вилли MC Сансен (2006). Основы аналогового проектирования . Нью-Йорк; Берлин: Шпрингер. стр. §097, с. 266 и последующие . ISBN 0-387-25746-2 .
^ Хотя этот пример кажется очень конкретным, связанный с ним математический анализ широко используется при проектировании схем.
^ Сумма постоянных времени представляет собой коэффициент при члене, линейном по jω, а произведение постоянных времени представляет собой коэффициент при квадратичном члене в (jω). ².
^ Выражение для $\tau _{1}$ немного отличается от ( CM _{, но} +C _i ) ( RA _{разница незначительна, если предположить, что емкость нагрузки не настолько велика ,} || R _i ), найденного первоначально для f ₁ чтобы контролировать низкочастотную характеристику вместо Миллера. емкость.
^ Кроме того, чем выше частота высокочастотного полюса, тем больше вероятность того, что для реального усилителя другие полюса (не рассматриваемые в этом анализе) играют роль.
^ А. С. Седра и К. К. Смит (2004). Микроэлектронные схемы (Пятое изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 849 и Пример 8.6, с. 853. ИСБН 0-19-514251-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Хейсинг, Йохан Х. (2001). Операционные усилители: теория и конструкция . Бостон, Массачусетс: Kluwer Academic. стр. §6.2, стр. 205–206 и рисунок 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0 .
^ Фейхт, Деннис: Двухполюсная компенсация.
^ Селф, Дуглас (2006). Руководство по проектированию усилителя мощности звука . Оксфорд: Ньюнс. стр. 191–193. ISBN 0-7506-8072-5 .
^ То есть частота отображается в степенях десяти, как 1, 10, 10. ² и т. д .
^ Двойной коэффициент дает максимально плоскую или конструкцию Баттерворта конструкцию двухполюсного усилителя . Однако реальные усилители имеют более двух полюсов, и часто необходим коэффициент больше двух.

Внешние ссылки

Графики Боде по теории цепей в Wikibook
Графики Боде по системам управления в Wikibook

[1] То есть время нарастания выбирается как можно более быстрое, соответствующее низкому перерегулированию и звону .

[Toumazou-2] К. Тоумазу, Мошиц Г.С. и Гилберт Б. (редакторы) (2007). Компромиссы при проектировании аналоговых схем: помощник разработчика . Нью-Йорк/Берлин/Дордрехт: Springer. стр. 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2 . {{cite book}}: |author= имеет общее имя ( справка )

[Thompson-3] Марк Т. Томпсон (2006). Интуитивное проектирование аналоговых схем: подход к решению проблем с использованием тематических исследований . Амстердам: Elsevier Newnes. п. 200. ИСБН 0-7506-7786-4 .

[Sansen-4] Jump up to: ^а ^б Вилли MC Сансен (2006). Основы аналогового проектирования . Нью-Йорк; Берлин: Шпрингер. стр. §097, с. 266 и последующие . ISBN 0-387-25746-2 .

[5] Хотя этот пример кажется очень конкретным, связанный с ним математический анализ широко используется при проектировании схем.

[6] Сумма постоянных времени представляет собой коэффициент при члене, линейном по jω, а произведение постоянных времени представляет собой коэффициент при квадратичном члене в (jω). ².

[7] Выражение для $\tau _{1}$ немного отличается от ( CM _{, но} +C _i ) ( RA _{разница незначительна, если предположить, что емкость нагрузки не настолько велика ,} || R _i ), найденного первоначально для f ₁ чтобы контролировать низкочастотную характеристику вместо Миллера. емкость.

[8] Кроме того, чем выше частота высокочастотного полюса, тем больше вероятность того, что для реального усилителя другие полюса (не рассматриваемые в этом анализе) играют роль.

[Sedra-9] А. С. Седра и К. К. Смит (2004). Микроэлектронные схемы (Пятое изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 849 и Пример 8.6, с. 853. ИСБН 0-19-514251-9 .

[Huijsing-10] Jump up to: ^а ^б Хейсинг, Йохан Х. (2001). Операционные усилители: теория и конструкция . Бостон, Массачусетс: Kluwer Academic. стр. §6.2, стр. 205–206 и рисунок 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0 .

[11] Фейхт, Деннис: Двухполюсная компенсация.

[Self-12] Селф, Дуглас (2006). Руководство по проектированию усилителя мощности звука . Оксфорд: Ньюнс. стр. 191–193. ISBN 0-7506-8072-5 .

[13] То есть частота отображается в степенях десяти, как 1, 10, 10. ² и т. д .

[14] Двойной коэффициент дает максимально плоскую или конструкцию Баттерворта конструкцию двухполюсного усилителя . Однако реальные усилители имеют более двух полюсов, и часто необходим коэффициент больше двух.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]