Циркулярное право

В теории вероятностей , точнее, в изучении случайных матриц , круговой закон касается распределения собственных значений случайной размера n × n матрицы с независимыми и одинаково распределенными элементами в пределе. п → ∞ .

Он утверждает, что для любой последовательности случайных размера n × n, матриц элементы которых являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , все со средним нулевым значением и дисперсией, равной 1/ n , предельным спектральным распределением является равномерное распределение по единичному кругу.

Наборы Джинибре

Сложный ансамбль Джинибре определяется как $X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}$ для $Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, при этом все их записи выбраны IID из стандартного нормального распределения ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Настоящий ансамбль Джинибре определяется как $X=Z_{1}$.

Собственные значения

Собственные значения $X$ распределяются по $$\rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}$$

График действительных и мнимых частей (масштабированных по sqrt(1000)) собственных значений матрицы 1000x1000 с независимыми стандартными нормальными записями.

Глобальное право

Позволять $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ быть последовательностью, выбранной из сложного ансамбля Джинибре. Позволять $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n$ обозначим собственные значения $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$. Определить эмпирическую спектральную меру $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$ как

$\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).$

Тогда почти наверняка (т.е. с вероятностью единица) последовательность мер $\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ сходится по распределению к равномерной мере на единичном круге.

Краевая статистика

Позволять $G_{n}$ быть выбраны из реального или сложного ансамбля, и пусть $\rho (G_{n})$ быть абсолютным значением его максимального собственного значения: $$\rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|$$У нас есть следующая теорема для статистики ребер:

Краевая статистика ансамбля Джинибре — Для $G_{n}$ и $\rho \left(G_{n}\right)$ как указано выше, с вероятностью единица, $$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1$$

Более того, если $\gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))$ и $$Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),$$затем $Y_{n}$ сходится по распределению к закону Гумбеля , т. е. вероятностной мере на $\mathbb {R}$ с кумулятивной функцией распределения $F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}$.

Эта теорема уточняет круговой закон ансамбля Жинибре . На словах циркулярный закон гласит, что спектр ${\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}$ почти наверняка равномерно падает на единичный диск. а теорема о краевой статистике утверждает, что радиус почти единичного диска составляет около $1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}$и колеблется в масштабе ${\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}$, согласно закону Гумбеля.

История

Для случайных матриц с гауссовским распределением элементов ( ансамбли Жинибра ) круговой закон был установлен в 1960-х годах Жаном Жинибре . В 1980-е годы Вячеслав Гирко представил подход, который позволил установить циркулярный закон для более общих распределений. Был достигнут дальнейший прогресс Чжидун Бай, который установил круговой закон при определенных предположениях о гладкости распределения.

Эти предположения были еще более смягчены в работах Теренса Тао и Ван Х. Ву . Гуанмин Пань и Ван Чжоу, and Friedrich Götze and Alexander Tikhomirov. Наконец, в 2010 году Тао и Ву доказали круговой закон при минимальных предположениях, изложенных выше.

Действие циркулярного закона было расширено в 1985 году Гирко. эллиптическому закону для ансамблей матриц с фиксированной степенью корреляции между элементами выше и ниже диагонали. Эллиптический и круговой законы были далее обобщены Асейтуно, Роджерсом и Шомерусом до закона гипотрохоиды, который включает корреляции более высокого порядка.

См. также

• Распределение полукруга Вигнера