Гипотеза Гильберта – Полиа

В математике гипотеза Гильберта -Пойа утверждает, что нетривиальные нули дзета -функции Римана соответствуют собственным значениям оператора самосопряженного . Это возможный подход к гипотезе Римана посредством спектральной теории .

История

В письме Андрею Одлызко от 3 января 1982 года Георгий Поля сказал, что, когда он был в Геттингене спросил его примерно с 1912 по 1914 год , Эдмунд Ландау по физической причине, что гипотеза Римана должна быть верной, и предположил, что это будет так, если мнимые части t нулей

{\tfrac {1}{2}}+it

соответствовали дзета-функции Римана собственным значениям оператора самосопряженного . ^{[ 1 ]} Самое раннее опубликованное утверждение этой гипотезы, по-видимому, находится в работе Монтгомери (1973) . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Давид Гильберт не работал в центральных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта-Пойа благодаря истории, рассказанной Эрнстом Хеллингером , учеником Гильберта, Андре Вейлю . Хеллингер сказал, что Гильберт объявил на своем семинаре в начале 1900-х годов, что он ожидает, что гипотеза Римана станет следствием работы Фредгольма над интегральными уравнениями с симметричным ядром. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

1950-е годы и формула следа Сельберга

Во время разговора Пойи с Ландау оснований для таких предположений было мало. Однако Сельберг в начале 1950-х годов доказал двойственность между спектром длин римановой поверхности и собственными значениями ее лапласиана . Эта так называемая формула следов Сельберга имела поразительное сходство с явными формулами , что придавало достоверность гипотезе Гильберта-Пойа.

1970-е и случайные матрицы

Хью Монтгомери исследовал и обнаружил, что статистическое распределение нулей на критической линии обладает определенным свойством, которое теперь называется гипотезой парной корреляции Монтгомери . Нули имеют тенденцию не группироваться слишком близко друг к другу, а отталкиваться. ^{[ 2 ]} Посетив Институт перспективных исследований в 1972 году, он показал этот результат Фримену Дайсону , одному из основателей теории случайных матриц .

Дайсон увидел, что статистическое распределение, найденное Монтгомери, оказалось таким же, как распределение парной корреляции для собственных значений случайной эрмитовой матрицы . Эти распределения имеют важное значение в физике — собственные состояния гамильтониана , например уровни энергии атомного ядра , удовлетворяют такой статистике. Последующие работы убедительно подтвердили связь между распределением нулей дзета-функции Римана и собственными значениями случайной эрмитовой матрицы, взятой из гауссовского унитарного ансамбля , и теперь считается, что обе они подчиняются одной и той же статистике. Таким образом, гипотеза Гильберта-Пойа теперь имеет более прочную основу, хотя она еще не привела к доказательству гипотезы Римана. ^{[ 7 ]}

Более поздние события

В 1998 году Ален Конн сформулировал формулу следов, которая фактически эквивалентна гипотезе Римана . Это усилило аналогию с формулой следа Сельберга до такой степени, что она дает точные формулировки. Он дает геометрическую интерпретацию явной формулы теории чисел как формулы следа в некоммутативной геометрии классов Адели . ^{[ 8 ]}

Возможная связь с квантовой механикой

Возможную связь оператора Гильберта–Пойа с квантовой механикой предложил Пойа. Оператор гипотезы Гильберта–Пойа имеет вид ${\tfrac {1}{2}}+iH$ где $H$ – гамильтониан частицы массы $m$ который движется под влиянием потенциального $V(x)$ . Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что гамильтониан эрмитов , или, что то же самое, что $V$ реально.

Используя теорию возмущений первого порядка, энергия n -го собственного состояния связана со средним значением потенциала:

E_{n}=E_{n}^{0}+\left.\left\langle \varphi _{n}^{0}\right|V\left|\varphi _{n}^{0}\right.\right\rangle

где $E_{n}^{0}$ и $\varphi _{n}^{0}$ — собственные значения и собственные состояния гамильтониана свободной частицы. Это уравнение можно считать интегральным уравнением Фредгольма первого рода с энергиями $E_{n}$ . Такие интегральные уравнения можно решить с помощью резольвентного ядра , так что потенциал можно записать в виде

V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }\left(g(k)+{\overline {g(k)}}-E_{k}^{0}\right)\,R(x,k)\,dk

где $R(x,k)$ — резольвентное ядро, $A$ является реальной константой и

g(k)=i\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-\rho _{n}\right)\delta (k-n)

где $\delta (k-n)$ – дельта-функция Дирака , а $\rho _{n}$ являются «нетривиальными» корнями дзета-функции $\zeta (\rho _{n})=0$ .

Майкл Берри и Джонатан Китинг предположили, что гамильтониан H на самом деле представляет собой некоторое квантование классического гамильтониана xp , где p — канонический импульс, связанный с x. ^{[ 9 ]} Простейшим эрмитовым оператором, соответствующим xp, является

{\hat {H}}={\tfrac {1}{2}}({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}})=-i\left(x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\right).

Это уточнение гипотезы Гильберта-Пойа известно как гипотеза Берри (или гипотеза Берри-Китинга ). По состоянию на 2008 год он все еще весьма далек от конкретики, поскольку неясно, в каком пространстве должен действовать этот оператор, чтобы получить правильную динамику, и как его регуляризовать, чтобы получить ожидаемые логарифмические поправки. Берри и Китинг предположили, что, поскольку этот оператор инвариантен относительно расширений , возможно, граничное условие f ( nx ) = f ( x ) для целого числа n может помочь получить правильные асимптотические результаты, справедливые для больших n.

{\frac {1}{2}}+i{\frac {2\pi n}{\log n}}.

^{[ 10 ]}

В марте 2017 года была опубликована статья, написанная Карлом М. Бендером , Дордже К. Броди и Маркусом П. Мюллером . ^{[ 11 ]} который основан на подходе Берри к проблеме. Там оператор

{\hat {H}}={\frac {1}{1-e^{-i{\hat {p}}}}}\left({\hat {x}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {x}}\right)\left(1-e^{-i{\hat {p}}}\right)

было введено, которое, как они утверждают, удовлетворяет некоторым модифицированным версиям условий гипотезы Гильберта–Пойа. Жан Беллиссар раскритиковал эту статью: ^{[ 12 ]} и авторы ответили разъяснениями. ^{[ 13 ]} Более того, Фредерик Моксли подошел к проблеме с помощью уравнения Шрёдингера . ^{[ 14 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Одлизко, Эндрю , Переписка о происхождении гипотезы Гильберта-Пойя .
^ Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXIV, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR 0337821 .
^ Броган, К. (2017), Эквиваленты гипотезы Римана, том 2: Аналитические эквиваленты , стр. 192, ИСБН 978-1107197121
^ Дьёдонн, Ж. (1981), История функционального анализа , стр. 106, ISBN 978-0444861481
^ Эндрес, С.; Штайнер, Ф. (2009), «Оператор Берри – Китинга на $L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)$ и о компактных квантовых графах с общими самосопряженными реализациями», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 43 (9): 37, arXiv : 0912.3183v5 , doi : 10.1088/1751-8113/43/9/095204 , S2CID 115162684
^ Саймон Б. (2015), Теория операторов: комплексный курс анализа, часть 4 , с. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9
^ Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц» , Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi : 10.1215/s0012-7094-96-08115-6 .
^ Конн, Ален (1999). «Формула следа в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана». Селекта Математика . 5 : 29–106. arXiv : math/9811068 . дои : 10.1007/s000290050042 . S2CID 55820659 . .
^ Берри, Майкл В .; Китинг, Джонатан П. (1999a), «H = xp и нули Римана» (PDF) , у Китинг, Джонатан П.; Хмельницкий, Дэвид Э.; Лернер, Игорь В. (ред.), Суперсимметрия и формулы следов: хаос и беспорядок , Нью-Йорк: Пленум, стр. 355–367, ISBN. 978-0-306-45933-7 .
^ Берри, Майкл В .; Китинг, Джонатан П. (1999b), «Нули Римана и асимптотика собственных значений» (PDF) , SIAM Review , 41 (2): 236–266, Bibcode : 1999SIAMR..41..236B , doi : 10.1137/s0036144598347497 .
^ Бендер, Карл М.; Броды, Дордже К.; Мюллер, Маркус П. (2017), «Гамильтониан для нулей дзета-функции Римана», Physical Review Letters , 118 (13): 130201, arXiv : 1608.03679 , Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B , doi : 10.1103/PhysRevLett.118.130201 , PMID 28409977 , S2CID 46816531 .
^ Белиссар, Жан (2017), «Комментарий к «Гамильтониану для нулей дзета-функции Римана» », arXiv : 1704.02644 [ quant-ph ]
^ Бендер, Карл М.; Броды, Дордже К .; Мюллер, Маркус П. (2017), «Комментарий к «Комментарию к« Гамильтониану для нулей дзета-функции Римана » », arXiv : 1705.06767 [ quant-ph ] .
^ Моксли, Фредерик (2017). Уравнение Шредингера для решения гипотезы Бендера-Броди-Мюллера . 13-я Международная конференция Imt-Gt по математике. Материалы конференции AIP. Том. 1905. с. 030024. Бибкод : 2017AIPC.1905c0024M . дои : 10.1063/1.5012170 .

Дальнейшее чтение

Анева, Б. (1999), «Симметрия оператора Римана» (PDF) , Physics Letters B , 450 (4): 388–396, arXiv : 0804.1618 , doi : 10.1016/s0370-2693(99)00172-0 , S2CID 222175681 .

Вольф, М. (2020), «Докажет ли физик гипотезу Римана?» , Reports on Progress in Physics , 83 (4): 036001, arXiv : 1410.1214 , doi : 10.1088/1361-6633/ab3de7 , PMID 31437818 , S2CID 85450819 .

Элизальде, Эмилио (1994), Методы дзета-регуляризации с приложениями , World Scientific, Bibcode : 1994zrta.book.....E , ISBN 978-981-02-1441-8 . Здесь автор объясняет, в каком смысле проблема Гильберта–Пойа связана с проблемой формулы следа Гутцвиллера и каково будет значение суммы $\exp(i\gamma )$ берутся за мнимые части нулей.

[odlyzko-1] Jump up to: ^а ^б Одлизко, Эндрю , Переписка о происхождении гипотезы Гильберта-Пойя .

[montgomery-2] Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXIV, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR 0337821 .

[broughan-3] Броган, К. (2017), Эквиваленты гипотезы Римана, том 2: Аналитические эквиваленты , стр. 192, ИСБН 978-1107197121

[dieudonne-4] Дьёдонн, Ж. (1981), История функционального анализа , стр. 106, ISBN 978-0444861481

[5] Эндрес, С.; Штайнер, Ф. (2009), «Оператор Берри – Китинга на $L^{2}({\mathbb {R} }_{>},{\rm {d}}x)$ и о компактных квантовых графах с общими самосопряженными реализациями», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 43 (9): 37, arXiv : 0912.3183v5 , doi : 10.1088/1751-8113/43/9/095204 , S2CID 115162684

[simon-6] Саймон Б. (2015), Теория операторов: комплексный курс анализа, часть 4 , с. 42, ISBN 978-1-4704-1103-9

[7] Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц» , Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi : 10.1215/s0012-7094-96-08115-6 .

[8] Конн, Ален (1999). «Формула следа в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана». Селекта Математика . 5 : 29–106. arXiv : math/9811068 . дои : 10.1007/s000290050042 . S2CID 55820659 . .

[bk99a-9] Берри, Майкл В .; Китинг, Джонатан П. (1999a), «H = xp и нули Римана» (PDF) , у Китинг, Джонатан П.; Хмельницкий, Дэвид Э.; Лернер, Игорь В. (ред.), Суперсимметрия и формулы следов: хаос и беспорядок , Нью-Йорк: Пленум, стр. 355–367, ISBN. 978-0-306-45933-7 .

[10] Берри, Майкл В .; Китинг, Джонатан П. (1999b), «Нули Римана и асимптотика собственных значений» (PDF) , SIAM Review , 41 (2): 236–266, Bibcode : 1999SIAMR..41..236B , doi : 10.1137/s0036144598347497 .

[11] Бендер, Карл М.; Броды, Дордже К.; Мюллер, Маркус П. (2017), «Гамильтониан для нулей дзета-функции Римана», Physical Review Letters , 118 (13): 130201, arXiv : 1608.03679 , Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B , doi : 10.1103/PhysRevLett.118.130201 , PMID 28409977 , S2CID 46816531 .

[12] Белиссар, Жан (2017), «Комментарий к «Гамильтониану для нулей дзета-функции Римана» », arXiv : 1704.02644 [ quant-ph ]

[13] Бендер, Карл М.; Броды, Дордже К .; Мюллер, Маркус П. (2017), «Комментарий к «Комментарию к« Гамильтониану для нулей дзета-функции Римана » », arXiv : 1705.06767 [ quant-ph ] .

[14] Моксли, Фредерик (2017). Уравнение Шредингера для решения гипотезы Бендера-Броди-Мюллера . 13-я Международная конференция Imt-Gt по математике. Материалы конференции AIP. Том. 1905. с. 030024. Бибкод : 2017AIPC.1905c0024M . дои : 10.1063/1.5012170 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]