Jump to content

Теория среднего поля

(Перенаправлено из аппроксимации среднего поля )

В физике и вероятностей теории теория среднего поля ( MFT ) или теория самосогласованного поля изучает поведение многомерных случайных ( стохастических ) моделей путем изучения более простой модели, которая аппроксимирует оригинал путем усреднения по степеням свободы (числу значения в окончательном расчете статистики, которые могут варьироваться). Такие модели рассматривают множество отдельных компонентов, взаимодействующих друг с другом.

Основная идея МФТ — заменить все взаимодействия с каким-либо одним телом средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем . [1] Это сводит любую задачу многих тел к эффективной задаче одного тела . Простота решения задач MFT означает, что некоторое понимание поведения системы можно получить с меньшими вычислительными затратами.

С тех пор MFT применяется в широком спектре областей за пределами физики, включая статистический вывод , графические модели , нейробиологию , [2] искусственный интеллект , модели эпидемий , [3] теория массового обслуживания , [4] производительность компьютерных сетей и теория игр , [5] как в равновесии квантового ответа [ нужна ссылка ] .

Происхождение

[ редактировать ]

Идея впервые появилась в физике ( статистической механике ) в работах Пьера Кюри. [6] и Пьер Вайс для описания фазовых переходов . [7] MFT использовалась в приближении Брэгга-Вильямса, моделях на решетке Бете , теории Ландау , приближении Пьера-Вейсса, теории решений Флори-Хаггинса и теории Шойтьенса-Флера .

Системы со многими (иногда бесконечными) степенями свободы, как правило, трудно точно решить или вычислить в замкнутой аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, некоторых гауссовских теорий случайного поля , одномерной модели Изинга ). Часто возникают комбинаторные проблемы, которые усложняют такие задачи, как вычисление статистической суммы системы. MFT — это метод аппроксимации, который часто делает исходную задачу разрешимой и открытой для вычислений, а в некоторых случаях MFT может давать очень точные аппроксимации.

В теории поля гамильтониан может быть расширен с точки зрения величины флуктуаций вокруг среднего значения поля. В этом контексте MFT можно рассматривать как разложение гамильтониана «нулевого порядка» по флуктуациям. Физически это означает, что система MFT не имеет флуктуаций, но это совпадает с идеей о замене всех взаимодействий «средним полем».

Довольно часто MFT обеспечивает удобную отправную точку для изучения флуктуаций более высокого порядка. Например, при вычислении статистической суммы изучение комбинаторики членов взаимодействия в гамильтониане иногда может в лучшем случае дать возмущений результаты или диаграммы Фейнмана , которые корректируют приближение среднего поля.

Срок действия

[ редактировать ]

В общем, размерность играет активную роль в определении того, будет ли подход среднего поля работать для какой-либо конкретной задачи. Иногда существует критическое измерение , выше которого MFT действует, а ниже которого нет.

Эвристически многие взаимодействия заменяются в MFT одним эффективным взаимодействием. Таким образом, если поле или частица демонстрирует множество случайных взаимодействий в исходной системе, они имеют тенденцию нейтрализовать друг друга, поэтому среднее эффективное взаимодействие и MFT будут более точными. Это верно в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает в себя дальнодействующие силы или когда частицы растянуты (например, полимеры ). Критерий Гинзбурга является формальным выражением того, как флуктуации делают MFT плохим приближением, часто зависящим от количества пространственных измерений в интересующей системе.

Формальный подход (гамильтониан)

[ редактировать ]

Формальной основой теории среднего поля является неравенство Боголюбова . Это неравенство утверждает, что свободная энергия системы с гамильтонианом

имеет следующую верхнюю границу:

где это энтропия , а и являются свободными энергиями Гельмгольца . Усреднение берется по равновесному ансамблю системы отсчета с гамильтонианом . В частном случае, когда эталонный гамильтониан является гамильтонианом невзаимодействующей системы и поэтому может быть записан как

где являются степенями свободы отдельных компонентов нашей статистической системы (атомов, спинов и т. д.), можно рассмотреть возможность усиления верхней границы за счет минимизации правой части неравенства. Минимизирующая система отсчета тогда является «лучшим» приближением к истинной системе с использованием некоррелированных степеней свободы и известна как приближение среднего поля .

Для наиболее распространенного случая, когда целевой гамильтониан содержит только парные взаимодействия, т. е.

где — множество взаимодействующих пар, то процедуру минимизации можно провести формально. Определять как обобщенная сумма наблюдаемых по степеням свободы отдельной компоненты (сумма для дискретных переменных, интегралы для непрерывных). Аппроксимирующая свободная энергия определяется выражением

где – вероятность найти систему отсчета в состоянии, заданном переменными . Эта вероятность определяется нормализованным фактором Больцмана

где это функция распределения . Таким образом

В целях минимизации возьмем производную по вероятностям с одной степенью свободы использование множителя Лагранжа для обеспечения правильной нормализации. Конечным результатом является набор уравнений самосогласования

где среднее поле определяется выражением

Приложения

[ редактировать ]

Теория среднего поля может применяться к ряду физических систем для изучения таких явлений, как фазовые переходы . [8]

Модель Изинга

[ редактировать ]

Формальный вывод

[ редактировать ]

Неравенство Боголюбова, показанное выше, можно использовать для нахождения динамики модели среднего поля двумерной решетки Изинга . Функция намагничивания может быть рассчитана по полученной приблизительной свободной энергии . [9] Первым шагом является выбор более удобного приближения истинного гамильтониана. Используя невзаимодействующий или эффективный гамильтониан поля,

,

вариационная свободная энергия равна

Согласно неравенству Боголюбова, упрощение этой величины и вычисление функции намагничивания, которая минимизирует вариационную свободную энергию, дает наилучшее приближение к фактической намагниченности. Минимайзер – это

что является по ансамблю средним значением спина . Это упрощает

Приравнивание эффективного поля, ощущаемого всеми спинами, к среднему значению спина связывает вариационный подход с подавлением флуктуаций. Тогда физическая интерпретация функции намагничивания представляет собой поле средних значений для отдельных спинов.

Приближение невзаимодействующих спинов

[ редактировать ]

Рассмотрим модель Изинга на -мерная решетка. Гамильтониан определяется выражением

где указывает суммирование по паре ближайших соседей , и являются соседними спинами Изинга.

Давайте преобразуем нашу переменную спина, вводя отклонение от ее среднего значения . Мы можем переписать гамильтониан как

где мы определяем ; это колебание спина.

Если разложить правую часть, то получим одно слагаемое, полностью зависящее от средних значений спинов и не зависящее от спиновых конфигураций. Это тривиальный член, не влияющий на статистические свойства системы. Следующий член представляет собой произведение среднего значения спина и значения флуктуации. Наконец, последний член представляет собой произведение двух значений флуктуаций.

Приближение среднего поля состоит в пренебрежении этим флуктуационным членом второго порядка:

Эти флуктуации усиливаются при малых размерах, что делает MFT лучшим приближением для больших размеров.

Опять же, слагаемое можно повторно разложить. Кроме того, мы ожидаем, что среднее значение каждого спина не зависит от сайта, поскольку цепочка Изинга трансляционно инвариантна. Это дает

Суммирование по соседним спинам можно переписать в виде , где означает «ближайший сосед ", и префактор позволяет избежать двойного счета, поскольку каждая связь участвует в двух вращениях. Упрощение приводит к окончательному выражению

где это координационный номер . На этом этапе гамильтониан Изинга был разделен на сумму однотельных гамильтонианов с эффективным средним полем , которое представляет собой сумму внешнего поля и среднего поля, индуцированного соседними спинами. Стоит отметить, что это среднее поле напрямую зависит от числа ближайших соседей и, следовательно, от размерности системы (например, для гиперкубической решетки размерности , ).

Подставив этот гамильтониан в статистическую сумму и решив эффективную одномерную задачу, получим

где – число узлов решетки. Это замкнутое и точное выражение статистической суммы системы. Мы можем получить свободную энергию системы и вычислить критические показатели . В частности, мы можем получить намагниченность как функция .

Таким образом, мы имеем два уравнения между и , что позволяет нам определить как функция температуры. Это приводит к следующему наблюдению:

  • Для температур выше определенного значения , единственное решение . Система парамагнитна.
  • Для , существует два ненулевых решения: . Система ферромагнитная.

задается следующим соотношением: .

Это показывает, что MFT может объяснить ферромагнитный фазовый переход.

Применение к другим системам

[ редактировать ]

Точно так же MFT можно применять к другим типам гамильтониана, например, в следующих случаях:

Вариационная минимизация, такая как теория среднего поля, также может использоваться для статистических выводов.

Распространение на зависящие от времени средние поля

[ редактировать ]

В теории среднего поля среднее поле, возникающее в задаче одного узла, представляет собой независимую от времени скалярную или векторную величину. Однако это не всегда так: в варианте теории среднего поля, называемом динамической теорией среднего поля (DMFT), среднее поле становится величиной, зависящей от времени. Например, DMFT можно применить к модели Хаббарда для изучения перехода металл-Мотт-изолятор.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Чайкин, ПМ; Лубенский, ТК (2007). Основы физики конденсированного состояния (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-79450-3 .
  2. ^ Парр, Томас; Саджид, Нур; Фристон, Карл (2020). «Модули или средние поля?» (PDF) . Энтропия . 22 (552): 552. дои : 10.3390/e22050552 . ПМК   7517075 . ПМИД   33286324 . Проверено 22 мая 2020 г.
  3. ^ Будек, JYL; Макдональд, Д.; Мандингер, Дж. (2007). «Общий результат сходимости среднего поля для систем взаимодействующих объектов». Четвертая международная конференция по количественной оценке систем (QEST 2007) (PDF) . п. 3. CiteSeerX   10.1.1.110.2612 . дои : 10.1109/QEST.2007.8 . ISBN  978-0-7695-2883-0 . S2CID   15007784 .
  4. ^ Бачелли, Ф.; Карпелевич Ф.И.; Келберт, штат Миссури; Пухальский А.А.; Рыбко А.Н.; Сухов, Ю.М. (1992). «Предел среднего поля для класса сетей массового обслуживания». Журнал статистической физики . 66 (3–4): 803. Бибкод : 1992JSP....66..803B . дои : 10.1007/BF01055703 . S2CID   120840517 .
  5. ^ Ласри, Дж. М.; Львы, Польша (2007). «Средние полевые игры» (PDF) . Японский математический журнал . 2 : 229–260. дои : 10.1007/s11537-007-0657-8 . S2CID   1963678 .
  6. ^ Каданов, LP (2009). «Больше — то же самое; Фазовые переходы и теории среднего поля». Журнал статистической физики . 137 (5–6): 777–797. arXiv : 0906.0653 . Бибкод : 2009JSP...137..777K . дои : 10.1007/s10955-009-9814-1 . S2CID   9074428 .
  7. ^ Вайс, Пьер (1907). «Гипотеза молекулярного поля и ферромагнитные свойства» . Дж.Физ. Теор. Приложение . 6 (1): 661–690. doi : 10.1051/jphystap:019070060066100 .
  8. ^ Стэнли, HE (1971). «Теория среднего поля магнитных фазовых переходов». Введение в фазовые переходы и критические явления . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-505316-8 .
  9. ^ Сактивадивел, Далтон, Арканзас (январь 2022 г.). «Теория намагничивания и среднего поля в модели Изинга» . Конспекты лекций по физике SciPost . 35 : 1–16. arXiv : 2102.00960 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 . S2CID   237623181 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c745e672e2e726c455f3eb49b42b700b__1718455860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c7/0b/c745e672e2e726c455f3eb49b42b700b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mean-field theory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)