Критическое измерение

Чтобы узнать о минимальном размере объекта в фотолитографии, см. Фотолитография .

В ренорм-групповом анализе фазовых переходов в физике критической размерностью является размерность пространства, при которой меняется характер фазового перехода. Ниже нижнего критического размера фазовый переход отсутствует. Выше верхней критической размерности критические показатели теории становятся такими же, как в теории среднего поля . Элегантный критерий получения критической размерности в рамках теории среднего поля принадлежит В. Гинзбургу .

Поскольку группа ренормировки устанавливает связь между фазовым переходом и квантовой теорией поля , это имеет значение для последней и для нашего более широкого понимания перенормировки в целом. Выше верхнего критического измерения квантовая теория поля, принадлежащая модели фазового перехода, является теорией свободного поля . Ниже нижнего критического размера не существует теории поля, соответствующей модели.

В контексте теории струн это значение более ограничено: критическое измерение — это измерение, в котором теория струн непротиворечива, предполагая постоянный дилатонный фон без дополнительных мешающих перестановок из-за эффектов фонового излучения. Точное число может быть определено путем требуемого устранения конформной аномалии на мировом листе ; это 26 для теории бозонных струн , для теории суперструн — 10 .

Верхняя критическая размерность в теории поля

Определение верхней критической размерности теории поля является вопросом линейной алгебры . Имеет смысл формализовать процедуру, поскольку она дает приближение низшего порядка для масштабирования и необходимые входные данные для ренормгруппы . Это также в первую очередь раскрывает условия, при которых необходимо иметь критическую модель.

Показатели мономов критического лагранжиана определяют гиперплоскость в пространстве показателей. Верхний критический размер можно прочитать на $E_{1}$-ось..

Лагранжиан моному можно записать как сумму членов, каждый из которых представляет собой интеграл по координат . $x_{i}$ и поля $\phi _{i}$. Примеры стандартные. $\phi ^{4}$-модель и изотропная трикритическая точка Лифшица с лагранжианами

$\displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},$

$\displaystyle S_{L.T.P}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},$

см. также рисунок справа.Эта простая структура может быть совместима с масштабной инвариантностью при изменении масштаба.координаты и поля с коэффициентом $b$ в соответствии с

$\displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.$

Время здесь не выделено — это просто еще одна координата: если лагранжиан содержит переменную времени, то эту переменную нужно масштабировать как $t\rightarrow tb^{-z}$ с некоторым постоянным показателем $z=-[t]$. Цель состоит в том, чтобы определить набор показателей. $N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}$.

Один показатель, скажем $[x_{1}]$, может быть выбрано произвольно, например $[x_{1}]=-1$. На языке размерного анализа это означает, что показатели степени $N$ подсчитать коэффициенты волнового вектора ( обратная длина $k=1/L_{1}$). Таким образом, каждый моном лагранжиана приводит к однородному линейному уравнению $\sum E_{i,j}N_{j}=0$ для экспонентов $N$. Если есть $M$ (неэквивалентные) координаты и поля в лагранжиане, то $M$ такие уравнения составляют квадратную матрицу. Если бы эта матрица была обратимой, то существовало бы только тривиальное решение. $N=0$.

Состояние $\det(E_{i,j})=0$ для нетривиального решения дает уравнение между размерностями пространства, что определяет верхнюю критическую размерность $d_{u}$ (при условии, что существует только одно переменное измерение $d$ в лагранжиане). Переопределение координат и полей теперь показывает, что определение показателей масштабирования $N$ эквивалентно анализу размерностей относительно волнового вектора $k$, при этом все константы связи, входящие в лагранжиан, становятся безразмерными. Безразмерные константы связи являются техническим признаком верхнего критического размера.

Наивное масштабирование на уровне лагранжиана не соответствует напрямую физическому масштабированию, поскольку требуется обрезание , чтобы придать смысл теории поля и интегралу по путям . Изменение масштаба длины также меняет количество степеней свободы.Это усложнение учитывается ренормгруппой . Основной результат для верхнего критического измерения состоит в том, что масштабная инвариантность остается справедливой для больших факторов. $b$, но с доп. $ln(b)$ факторы масштабирования координат и полей.

Что происходит внизу или вверху $d_{u}$ зависит от того, интересуются ли человек большими расстояниями ( статистическая теория поля ) или короткими расстояниями ( квантовая теория поля ). Квантовые теории поля тривиальны (сходятся) ниже $d_{u}$ и неперенормируемо выше $d_{u}$. Статистические теории поля тривиальны (сходятся) выше. $d_{u}$ и перенормируемое ниже $d_{u}$. В последнем случае возникают «аномальные» вклады в показатели наивного масштабирования. $N$. Эти аномальные вклады в эффективные критические показатели исчезают в верхней критической размерности.

Поучительно увидеть, как масштабная инвариантность в верхнем критическом измерении становится масштабной инвариантностью ниже этого измерения. Для малых внешних волновых векторов вершинные функции $\Gamma$ приобрести дополнительные показатели, например $\Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}$. Если эти показатели вставить в матрицу $A(d)$ (который имеет значения только в первом столбце) условие масштабной инвариантности становится $\det(E+A(d))=0$. Это уравнение может быть удовлетворено только в том случае, если аномальные показатели вершинных функций каким-либо образом взаимодействуют. Фактически, вершинные функции иерархически зависят друг от друга. Одним из способов выразить эту взаимозависимость являются уравнения Дайсона-Швингера .

Наивное масштабирование $d_{u}$ таким образом, важно как приближение нулевого порядка. Наивное масштабирование по верхнему критическому измерению также классифицирует члены лагранжиана как релевантные, нерелевантные или маргинальные. Лагранжиан совместим с масштабированием, если $x_{i}$- и $\phi _{i}$ -экспоненты $E_{i,j}$ лежат на гиперплоскости, пример см. на рисунке выше. $N$ — нормальный вектор этой гиперплоскости.

Нижний критический размер

Нижний критический размер $d_{L}$ фазового перехода данного класса универсальности – это последнее измерение, для которого этот фазовый переход не происходит, если размерность увеличивается, начиная с $d=1$.

Термодинамическая стабильность упорядоченной фазы зависит от энтропии и энергии. Количественно это зависит от типа доменных границ и режимов их колебаний. Кажется, не существует общего формального способа вывода нижней критической размерности теории поля. Нижние оценки могут быть получены с использованием статистической механики аргументов .

Рассмотрим сначала одномерную систему с короткодействующими взаимодействиями. Создание доменной стены требует фиксированного количества энергии. $\epsilon$. Извлечение этой энергии из других степеней свободы уменьшает энтропию на $\Delta S=-\epsilon /T$. Это изменение энтропии необходимо сравнить с энтропией самой доменной стенки. В системе длины $L$ есть $L/a$ положения доменной стенки, приводящие (согласно принципу Больцмана ) к выигрышу энтропии $\Delta S=k_{B}\log(L/a)$. Для ненулевой температуры $T$ и $L$ достаточно велик, выигрыш энтропии всегда доминирует, и, следовательно, в одномерных системах с короткодействующими взаимодействиями при $T>0$. Пространственное измерение $d_{1}=1$ таким образом, это нижняя граница нижней критической размерности таких систем.

Более сильная нижняя граница $d_{L}=2$ могут быть получены с помощью аналогичных рассуждений для систем с короткодействующими взаимодействиями и параметром порядка с непрерывной симметрией. В этом случае теорема Мермина – Вагнера утверждает, что математическое ожидание параметра порядка исчезает в $d=2$ в $T>0$, и поэтому фазового перехода обычного типа при $d_{L}=2$ и ниже.

Для систем с закаленным беспорядком критерий Имри и Ма может быть актуально. Эти авторы использовали этот критерий для определения нижнего критического размера магнитов случайного поля.

Внешние ссылки

• Kanon: бесплатная программа для Windows для определения критического размера с примерами, онлайн-справкой и математическими подробностями.