Свободное поле

Не путать со свободным полем (акустика) .

В физике свободное поле — это поле без взаимодействий , которое описывается терминами движения и массы.

Описание

В классической физике свободным полем называется поле, уравнения движения которого задаются линейными уравнениями в частных производных . Такие линейные УЧП имеют единственное решение для заданных начальных условий.

В квантовой теории поля операторнозначное распределение является свободным полем , если оно удовлетворяет некоторым линейным уравнениям в частных производных, таким образом, что соответствующим случаем тех же линейных УЧП для классического поля (т. е. не оператора) будет уравнение Эйлера-Лагранжа для некоторого квадратичный лагранжиан . Мы можем дифференцировать распределения, определяя их производные с помощью дифференцированных тестовых функций . Для получения более подробной информации см. Распределение Шварца . Поскольку мы имеем дело не с обычными распределениями, а с операторнозначными распределениями, понятно, что эти УЧП являются не ограничениями на состояния, а описанием отношений между размазанными полями. Помимо УЧП, операторы удовлетворяют еще одному соотношению — коммутационным/антикоммутационным отношениям.

Каноническое коммутационное соотношение

По сути, коммутатор (для бозонов )/ антикоммутатор (для фермионов ) двух размазанных полей равен я раз скобке Пайерлса поля с самим собой (что на самом деле является распределением, а не функцией) для УЧП, размазанных по обеим пробным функциям. Это имеет форму алгебры CCR/CAR .

Алгебры CCR/CAR с бесконечным числом степеней свободы имеют множество неэквивалентных неприводимых унитарных представлений. Если теория определена в пространстве Минковского , мы можем выбрать унитарное состояние, содержащее вакуумное состояние, хотя это не всегда необходимо.

Пример

Пусть φ — операторнозначное распределение, а УЧП (Клейна–Гордона) —

$\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0$.

Это бозонное поле. Назовем распределение, заданное скобкой Пайерлса , ∆.

Затем,

$\{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)$

где здесь ф — классическое поле, а {,} — скобка Пайерлса.

Тогда каноническое коммутационное соотношение имеет вид

$[\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,$.

Обратите внимание, что Δ представляет собой распределение по двум аргументам, поэтому его также можно размазать.

Точно так же мы могли бы настоять на том, чтобы

${\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)$

где ${\mathcal {T}}$ - это оператор временного упорядочения , и что, если носители f и g разделены пространственноподобно,

$[\phi [f],\phi [g]]=0$.

См. также

• Нормальный заказ
• Теорема Вика

Ссылки

• Майкл Э. Пескин и Дэниел В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля , Аддисон-Уэсли, Ридинг, 1995. стр. 19-стр. 29.