Теория среднего поля

В физике и вероятностей теории теория среднего поля ( MFT ) или теория самосогласованного поля изучает поведение многомерных случайных ( стохастических ) моделей путем изучения более простой модели, которая аппроксимирует оригинал путем усреднения по степеням свободы (числу значения в окончательном расчете статистики, которые могут варьироваться). Такие модели рассматривают множество отдельных компонентов, взаимодействующих друг с другом.

Основная идея МФТ — заменить все взаимодействия с каким-либо одним телом средним или эффективным взаимодействием, иногда называемым молекулярным полем . Это сводит любую задачу многих тел к эффективной задаче одного тела . Простота решения задач MFT означает, что некоторое понимание поведения системы можно получить с меньшими вычислительными затратами.

С тех пор MFT применяется в широком спектре областей за пределами физики, включая статистический вывод , графические модели , нейробиологию , искусственный интеллект , модели эпидемий , теория массового обслуживания , производительность компьютерных сетей и теория игр , как в равновесии квантового ответа .

Происхождение

Идея впервые появилась в физике ( статистической механике ) в работах Пьера Кюри. и Пьер Вайс для описания фазовых переходов . MFT использовалась в приближении Брэгга-Вильямса, моделях на решетке Бете , теории Ландау , приближении Пьера-Вейсса, теории решений Флори-Хаггинса и теории Шойтьенса-Флера .

Системы со многими (иногда бесконечными) степенями свободы, как правило, трудно точно решить или вычислить в замкнутой аналитической форме, за исключением некоторых простых случаев (например, некоторых гауссовских теорий случайного поля , одномерной модели Изинга ). Часто возникают комбинаторные проблемы, которые усложняют такие задачи, как вычисление статистической суммы системы. MFT — это метод аппроксимации, который часто делает исходную задачу разрешимой и открытой для вычислений, а в некоторых случаях MFT может давать очень точные аппроксимации.

В теории поля гамильтониан может быть расширен с точки зрения величины флуктуаций вокруг среднего значения поля. В этом контексте MFT можно рассматривать как разложение гамильтониана «нулевого порядка» по флуктуациям. Физически это означает, что система MFT не имеет флуктуаций, но это совпадает с идеей о замене всех взаимодействий «средним полем».

Довольно часто MFT обеспечивает удобную отправную точку для изучения флуктуаций более высокого порядка. Например, при вычислении статистической суммы изучение комбинаторики членов взаимодействия в гамильтониане иногда может в лучшем случае дать возмущений результаты или диаграммы Фейнмана , которые корректируют приближение среднего поля.

Срок действия

В общем, размерность играет активную роль в определении того, будет ли подход среднего поля работать для какой-либо конкретной задачи. Иногда существует критическое измерение , выше которого MFT действует, а ниже которого нет.

Эвристически многие взаимодействия заменяются в MFT одним эффективным взаимодействием. Таким образом, если поле или частица демонстрирует множество случайных взаимодействий в исходной системе, они имеют тенденцию нейтрализовать друг друга, поэтому среднее эффективное взаимодействие и MFT будут более точными. Это верно в случаях высокой размерности, когда гамильтониан включает в себя дальнодействующие силы или когда частицы растянуты (например, полимеры ). Критерий Гинзбурга является формальным выражением того, как флуктуации делают MFT плохим приближением, часто зависящим от количества пространственных измерений в интересующей системе.

Формальный подход (гамильтониан)

Формальной основой теории среднего поля является неравенство Боголюбова . Это неравенство утверждает, что свободная энергия системы с гамильтонианом

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

имеет следующую верхнюю границу:

$F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},$

где $S_{0}$ это энтропия , а $F$ и $F_{0}$ являются свободными энергиями Гельмгольца . Усреднение берется по равновесному ансамблю системы отсчета с гамильтонианом ${\mathcal {H}}_{0}$. В частном случае, когда эталонный гамильтониан является гамильтонианом невзаимодействующей системы и поэтому может быть записан как

${\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),$

где $\xi _{i}$ являются степенями свободы отдельных компонентов нашей статистической системы (атомов, спинов и т. д.), можно рассмотреть возможность усиления верхней границы за счет минимизации правой части неравенства. Минимизирующая система отсчета тогда является «лучшим» приближением к истинной системе с использованием некоррелированных степеней свободы и известна как приближение среднего поля .

Для наиболее распространенного случая, когда целевой гамильтониан содержит только парные взаимодействия, т. е.

${\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),$

где ${\mathcal {P}}$ — множество взаимодействующих пар, то процедуру минимизации можно провести формально. Определять $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ как обобщенная сумма наблюдаемых $f$ по степеням свободы отдельной компоненты (сумма для дискретных переменных, интегралы для непрерывных). Аппроксимирующая свободная энергия определяется выражением

${\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}$

где $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ – вероятность найти систему отсчета в состоянии, заданном переменными $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$. Эта вероятность определяется нормализованным фактором Больцмана

${\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}$

где $Z_{0}$ это функция распределения . Таким образом

${\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}$

В целях минимизации возьмем производную по вероятностям с одной степенью свободы $P_{0}^{(i)}$ использование множителя Лагранжа для обеспечения правильной нормализации. Конечным результатом является набор уравнений самосогласования

$P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,$

где среднее поле определяется выражением

$h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).$

Приложения

Теория среднего поля может применяться к ряду физических систем для изучения таких явлений, как фазовые переходы .

Модель Изинга

Формальный вывод

Неравенство Боголюбова, показанное выше, можно использовать для нахождения динамики модели среднего поля двумерной решетки Изинга . Функция намагничивания может быть рассчитана по полученной приблизительной свободной энергии . Первым шагом является выбор более удобного приближения истинного гамильтониана. Используя невзаимодействующий или эффективный гамильтониан поля,

$-m\sum _{i}s_{i}$,

вариационная свободная энергия равна

$F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.$

Согласно неравенству Боголюбова, упрощение этой величины и вычисление функции намагничивания, которая минимизирует вариационную свободную энергию, дает наилучшее приближение к фактической намагниченности. Минимайзер - это

$m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,$

что является по ансамблю средним значением спина . Это упрощает

$m={\text{tanh}}(zJ\beta m)+h.$

Приравнивание эффективного поля, ощущаемого всеми спинами, к среднему значению спина связывает вариационный подход с подавлением флуктуаций. Физическая интерпретация функции намагничивания тогда представляет собой поле средних значений для отдельных спинов.

Приближение невзаимодействующих спинов

Рассмотрим модель Изинга на $d$-мерная решетка. Гамильтониан определяется выражением

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},$

где $\sum _{\langle i,j\rangle }$ указывает суммирование по паре ближайших соседей $\langle i,j\rangle$, и $s_{i},s_{j}=\pm 1$ являются соседними спинами Изинга.

Давайте преобразуем нашу переменную спина, вводя отклонение от ее среднего значения $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$. Мы можем переписать гамильтониан как

$H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},$

где мы определяем $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$; это колебание спина.

Если разложить правую часть, то получим одно слагаемое, полностью зависящее от средних значений спинов и не зависящее от спиновых конфигураций. Это тривиальный член, не влияющий на статистические свойства системы. Следующий член представляет собой произведение среднего значения спина и значения флуктуации. Наконец, последний член представляет собой произведение двух значений флуктуаций.

Приближение среднего поля состоит в пренебрежении этим флуктуационным членом второго порядка:

$H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.$

Эти флуктуации усиливаются при малых размерах, что делает MFT лучшим приближением для больших размеров.

Опять же, слагаемое можно повторно разложить. Кроме того, мы ожидаем, что среднее значение каждого спина не зависит от сайта, поскольку цепочка Изинга трансляционно инвариантна. Это дает

$H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.$

Суммирование по соседним спинам можно переписать в виде $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$, где $nn(i)$ означает «ближайший сосед $i$", и $1/2$ префактор позволяет избежать двойного счета, поскольку каждая связь участвует в двух вращениях. Упрощение приводит к окончательному выражению

$H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},$

где $z$ это координационный номер . На этом этапе гамильтониан Изинга был разделен на сумму однотельных гамильтонианов с эффективным средним полем $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$, которое представляет собой сумму внешнего поля $h$ и среднего поля, индуцированного соседними спинами. Стоит отметить, что это среднее поле напрямую зависит от числа ближайших соседей и, следовательно, от размерности системы (например, для гиперкубической решетки размерности $d$, $z=2d$).

Подставив этот гамильтониан в статистическую сумму и решив эффективную одномерную задачу, получим

$Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},$

где $N$ – число узлов решетки. Это замкнутое и точное выражение статистической суммы системы. Мы можем получить свободную энергию системы и вычислить критические показатели . В частности, мы можем получить намагниченность $m$ как функция $h^{\text{eff.}}$.

Таким образом, мы имеем два уравнения между $m$ и $h^{\text{eff.}}$, что позволяет нам определить $m$ как функция температуры. Это приводит к следующему наблюдению:

• Для температур выше определенного значения $T_{\text{c}}$, единственное решение $m=0$. Система парамагнитна.
• Для $T<T_{\text{c}}$, существует два ненулевых решения: $m=\pm m_{0}$. Система ферромагнитная.

$T_{\text{c}}$ задается следующим соотношением: $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$.

Это показывает, что MFT может объяснить ферромагнитный фазовый переход.

Применение к другим системам

Точно так же MFT можно применять к другим типам гамильтониана, например, в следующих случаях:

• Изучить переход металл– сверхпроводник . В этом случае аналогом намагниченности является сверхпроводящая щель $\Delta$.
• Молекулярное поле жидкого кристалла , возникающее, когда лапласиан поля директора отличен от нуля.
• Определить оптимальную аминокислот упаковку боковой цепи с учетом фиксированной основной цепи белка при прогнозировании структуры белка (см. Самосогласованное среднее поле (биология) ).
• Определить упругие свойства композиционного материала.

Вариационная минимизация, такая как теория среднего поля, также может использоваться для статистических выводов.

Распространение на зависящие от времени средние поля

Основная статья: Динамическая теория среднего поля

В теории среднего поля среднее поле, возникающее в задаче одного узла, представляет собой независимую от времени скалярную или векторную величину. Однако это не всегда так: в варианте теории среднего поля, называемом динамической теорией среднего поля (DMFT), среднее поле становится величиной, зависящей от времени. Например, DMFT можно применить к модели Хаббарда для изучения перехода металл-Мотт-изолятор.

См. также

• Динамическая теория среднего поля
• Теория игр среднего поля