Теорема Мермина – Вагнера

В квантовой теории поля и статистической механике теорема Хоэнберга -Мермина-Вагнера или теорема Мермина-Вагнера (также известная как теорема Мермина-Вагнера-Березинского или теорема Коулмана ) утверждает, что непрерывные симметрии не могут быть спонтанно нарушены при конечной температуре в системах с достаточно короткими интервалами. -диапазонные взаимодействия в размерностях d ≤ 2 . Интуитивно это означает, что дальнодействующие флуктуации могут быть созданы с небольшими затратами энергии, и, поскольку они увеличивают энтропию, им отдается предпочтение.

Это связано с тем, что если бы произошло такое спонтанное нарушение симметрии , то соответствующие бозоны Голдстоуна , будучи безмассовыми, имели бы инфракрасно-расходящуюся корреляционную функцию .

Отсутствие спонтанного нарушения симметрии в бесконечных системах размерности d ≤ 2 было строго доказано Дэвидом Мермином и Гербертом Вагнером (1966) со ссылкой на более общее неопубликованное доказательство Пьера Хоэнберга (опубликованное позже в 1967 году) по статистической механике. Позже она была переформулирована Сидни Коулманом ( 1973 ) для квантовой теории поля . Теорема не применима к дискретным симметриям, которые можно увидеть в двумерной модели Изинга .

Введение

Рассмотрим свободное скалярное поле φ массы m в двух евклидовых измерениях. Его распространитель :

$G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.$

При малых G m является решением уравнения Лапласа с точечным источником:

$\nabla ^{2}G=\delta (x).$

Это связано с тем, что пропагатор является обратным ∇ ² в k- пространстве. Чтобы использовать закон Гаусса определите аналог электрического поля как E = ∇ G. , Дивергенция электрического поля равна нулю. В двух измерениях с использованием большого кольца Гаусса:

$E={1 \over 2\pi r}.$

Так что функция G имеет логарифмическую расходимость как при малых, так и при больших r .

$G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)$

Интерпретация расхождения заключается в том, что флуктуации поля не могут оставаться сосредоточенными вокруг среднего значения. Если вы начнете с точки, где поле имеет значение 1, расхождение скажет вам, что по мере удаления поле будет произвольно далеко от начального значения. Это затрудняет математическое определение двумерного безмассового скалярного поля. Если вы определяете поле с помощью моделирования Монте-Карло, оно не остается на месте, а со временем скользит до бесконечно больших значений.

Это происходит и в одном измерении, когда поле представляет собой одномерное скалярное поле, случайное блуждание во времени. Случайное блуждание также перемещается на произвольное расстояние от своей начальной точки, так что одномерный или двумерный скаляр не имеет четко определенного среднего значения.

Если поле представляет собой угол, θ , как в модели мексиканской шляпы , где комплексное поле A = Re ^iθ имеет математическое ожидание, но может свободно скользить в направлении θ , угол θ будет случайным на больших расстояниях. Это теорема Мермина-Вагнера: спонтанного нарушения непрерывной симметрии в двух измерениях не существует.

Переход модели XY

Хотя теорема Мермина-Вагнера предотвращает любое спонтанное нарушение симметрии в глобальном масштабе, переходы упорядочения типа Костерлица-Таулесса могут быть разрешены . Это относится к модели XY , где непрерывная (внутренняя) симметрия O (2) на пространственной решетке размерности d ≤ 2 , т.е. среднее значение (спинового) поля, остается нулевым для любой конечной температуры ( квантовые фазовые переходы остаются не затронуто). Однако теорема не препятствует существованию фазового перехода в смысле расходящейся корреляционной длины ξ . Для этого модель имеет две фазы: обычную неупорядоченную фазу при высокой температуре с доминирующим экспоненциальным затуханием корреляционной функции. $G(r)\sim \exp(-r/\xi )$ для $r/\xi \gg 1$, и низкотемпературная фаза с квазидальним порядком где G ( r ) затухает по некоторому степенному закону для «достаточно большого», но конечного расстояния r ( a ≪ r ≪ ξ с шагом решетки , ).

Модель Гейзенберга

Мы представим интуитивный способ понять механизм, который предотвращает нарушение симметрии в малых измерениях, посредством применения к модели Гейзенберга собой систему n -компонентных спинов Si _{, которая представляет} единичной длины | С _я | = 1 , расположенные в узлах d -мерной квадратной решетки, со связью ближайших соседей J . Его гамильтониан

$H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.$

Название этой модели происходит от ее вращательной симметрии. Рассмотрим поведение этой системы при низких температурах и предположим, что существует спонтанно нарушенная симметрия, то есть фаза, в которой все спины направлены в одном направлении, например, вдоль оси x . Тогда O ( n ) вращательная симметрия системы спонтанно нарушается или, вернее, сводится к симметрии O ( n −1) при поворотах вокруг этого направления. Мы можем параметризовать поле в терминах независимых флуктуаций. $\{\sigma _{\alpha }:\alpha =1,\dots ,n-1\}$ в этом направлении следующим образом:

$\mathbf {S} =\left({\sqrt {1-\sum _{\alpha =1}^{n-1}\sigma _{\alpha }^{2}}},\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\right)$

с | σ _α | ≪ 1 , и Тейлор расширяет полученный гамильтониан. У нас есть

${\begin{aligned}\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}&={\sqrt {\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }^{2}\right)\left(1-\sum _{\alpha }\sigma _{j\alpha }^{2}\right)}}+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }^{2}+\sigma _{j\alpha }^{2}\right)+\sum _{\alpha }\sigma _{i\alpha }\sigma _{j\alpha }+{\mathcal {O}}\left(\sigma ^{4}\right)\\&=1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}$

откуда

$H=H_{0}+{\tfrac {1}{2}}J\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\sum _{\alpha }\left(\sigma _{i\alpha }-\sigma _{j\alpha }\right)^{2}+\cdots$

Пренебрегая несущественным постоянным членом H ₀ = − JNd и переходя к континуальному пределу , учитывая, что нас интересует низкотемпературная фаза, где доминируют длинноволновые флуктуации, получим

$H={\tfrac {1}{2}}J\int {\mathrm {d} ^{d}x\sum _{\alpha }{(\nabla \sigma _{\alpha })^{2}}}+\ldots .$

Флуктуации поля σα _и называются спиновыми волнами могут быть признаны бозонами Голдстоуна. Действительно, их число n -1, и они имеют нулевую массу, поскольку в гамильтониане нет массового члена.

Чтобы выяснить, действительно ли существует эта гипотетическая фаза, мы должны проверить, является ли наше предположение самосогласованным, то есть является ли математическое ожидание намагниченности , рассчитанное в этой системе, конечным, как предполагалось. Для этого нам необходимо вычислить поправку первого порядка к намагниченности, обусловленную флуктуациями. Именно такая процедура была использована при выводе известного критерия Гинзбурга .

Модель является гауссовой в первом порядке, поэтому корреляционная функция пространства импульсов пропорциональна k ⁻² . Таким образом, двухточечная корреляционная функция реального пространства для каждой из этих мод равна

$\left\langle \sigma _{\alpha }(r)\sigma _{\alpha }(0)\right\rangle ={\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}}}$

где а — шаг решетки. Средняя намагниченность

$\left\langle S_{1}\right\rangle =1-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}\right\rangle +\ldots$

и теперь можно легко вычислить поправку первого порядка:

$\sum _{\alpha }\left\langle \sigma _{\alpha }^{2}(0)\right\rangle =(n-1){\frac {1}{\beta J}}\int ^{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{k^{2}}}.$

Интеграл, приведенный выше, пропорционален

$\int ^{\frac {1}{a}}k^{d-3}\mathrm {d} k$

и поэтому он конечен при d > 2 , но кажется расходящимся при d ≤ 2 (логарифмически для d = 2 ).

Это расхождение означает, что флуктуации σ _α велики, поэтому разложение по параметру | σ _α | ≪ 1, выполненное выше, не является самосогласованным. Естественно, можно ожидать, что за пределами этого приближения средняя намагниченность равна нулю.

Таким образом, мы заключаем, что при d ≤ 2 наше предположение о существовании фазы спонтанной намагниченности неверно для всех T > 0 , поскольку флуктуации достаточно сильны, чтобы разрушить спонтанное нарушение симметрии. Это общий результат:

Теорема Хоэнберга–Мермина–Вагнера. не существует . Фазы со спонтанным нарушением непрерывной симметрии при T > 0 в измерениях d ≤ 2 для бесконечной системы

Результат также можно распространить на другие геометрии, такие как пленки Гейзенберга с произвольным числом слоев, а также на другие решеточные системы (модель Хаббарда, НФ-модель).

Обобщения

На самом деле можно доказать гораздо более сильные результаты, чем отсутствие намагниченности, и ситуация может быть существенно более общей. В частности :

1. Гамильтониан может быть инвариантным относительно действия произвольной компактной связной группы Ли G .
2. Дальнодействующие взаимодействия могут быть разрешены (при условии, что они затухают достаточно быстро, известны необходимые и достаточные условия).

В этой общей ситуации теорема Мермина – Вагнера допускает следующую сильную форму (выраженную здесь неформально):

Все (бесконечного объема) состояния Гиббса, связанные с этим гамильтонианом, инвариантны относительно действия G .

Если отбросить предположение о компактности группы Ли, справедлив аналогичный результат, но с выводом о том, что гиббсовских состояний бесконечного объема не существует.

Наконец, есть и другие важные применения этих идей и методов, в первую очередь для доказательства того, что в двумерных системах не может быть нетрансляционно-инвариантных состояний Гиббса. Типичным таким примером может быть отсутствие кристаллических состояний в системе жестких дисков (с возможными дополнительными притягивающими взаимодействиями).

Однако доказано, что взаимодействия жесткого типа могут вообще приводить к нарушениям теоремы Мермина–Вагнера.

Исторические аргументы

Уже в 1930 году Феликс Блох , диагонализовав определитель Слейтера для фермионов, доказал, что магнетизм в 2D не должен существовать. Некоторые простые аргументы, которые кратко изложены ниже, были выдвинуты Рудольфом Пайерлсом на основе энтропийных и энергетических соображений. Также Лев Ландау работал над нарушением симметрии в двух измерениях.

Энергичный аргумент

На эскизе изображена цепочка магнитных диполей в антиферромагнитном порядке. Диполи могут вращаться в плоскости, перпендикулярной оси, и отображаются в режиме наименьшего возбуждения. Угол между соседними диполями равен $\gamma$, длина цепочки L.

Одна из причин отсутствия глобального нарушения симметрии заключается в том, что можно легко возбудить длинноволновые флуктуации, которые разрушают идеальный порядок. «Легко возбуждается» означает, что энергия этих колебаний стремится к нулю для достаточно больших систем. Давайте рассмотрим магнитную модель (например, XY-модель в одном измерении). Это цепочка магнитных моментов длиной $L$. Мы рассматриваем гармоническое приближение, в котором силы (крутящий момент) между соседними моментами линейно возрастают с углом закручивания. $\gamma _{i}$. Это означает, что энергия за счет скручивания увеличивается квадратично. $E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}$. Полная энергия представляет собой сумму всех скрученных пар магнитных моментов. $E_{ges}\propto \sum _{i}\gamma _{i}^{2}$. Если рассматривать возбужденную моду с наименьшей энергией в одном измерении (см. рисунок), то моменты на цепочке длиной $L$ наклонены $\pi$ по цепочке. Относительный угол между соседними моментами в этом режиме одинаков для всех пар моментов и равен $\gamma _{i}=\pi /N$, если цепочка состоит из $N$ магнитные моменты. Отсюда следует, что полная энергия этой низшей моды равна $E_{ges}\propto N\cdot \gamma _{i}^{2}=N{\frac {\pi ^{2}}{N^{2}}}\propto L{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}$. Уменьшается с увеличением размера системы. $\propto 1/L$ и стремится к нулю в термодинамическом пределе $L\to \infty$, $N\to \infty$, $L/N={\text{const.}}$ Для произвольных больших систем следует, что низшие моды не требуют никакой энергии и будут возбуждаться термически. Одновременно на цепи разрушается дальний порядок. В двух измерениях (или на плоскости) число магнитных моментов пропорционально площади плоскости. $N\propto L^{2}$. Тогда энергия низшей возбужденной моды равна $E_{ges}\propto N^{2}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{2}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}$, которая в термодинамическом пределе стремится к константе. Таким образом, моды будут возбуждаться при достаточно больших температурах. В трех измерениях количество магнитных моментов пропорционально объему $V=L^{3}$ а энергия низшей моды равна $E_{ges}\propto N^{3}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{3}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}$. Он расходится в зависимости от размера системы и поэтому не будет возбуждаться для достаточно больших систем. Этот режим не влияет на дальний порядок, и допускается нарушение глобальной симметрии.

Энтропийный аргумент

Существует только один путь между соседними частицами в одном измерении, два пути в двух измерениях и шесть разных путей в трех измерениях.

Энтропийный аргумент против идеального дальнего порядка в кристаллах с $D<3$ заключается в следующем (см. рисунок): рассмотрим цепочку атомов/частиц со средним расстоянием между частицами $\langle a\rangle$. Тепловые колебания между частицами $0$ и частица $1$ приведет к флуктуациям среднего расстояния между частицами порядка $\xi _{0,1}$, таким образом, расстояние определяется выражением $a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}$. Колебания между частицами $-1$ и $0$ будет того же размера: $|\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|$. Мы предполагаем, что тепловые флуктуации статистически независимы (что очевидно, если рассматривать только взаимодействие ближайших соседей), а флуктуации между $-1$ и частица $+1$ (с двойным расстоянием) необходимо суммировать статистически независимо (или бессвязно): $\xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}$. Для частиц, в N раз превышающих среднее расстояние, флуктуации будут увеличиваться пропорционально квадратному корню. $\xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}$ если соседние флуктуации суммируются независимо. Хотя среднее расстояние $\langle a\rangle$ четко определена, отклонения от идеальной периодической цепочки возрастают с ростом квадратного корня из размера системы. В трех измерениях нужно идти по трем линейно независимым направлениям, чтобы охватить все пространство; в кубическом кристалле это фактически происходит по диагонали пространства, чтобы получить от частицы $0$ частица $3$. Как легко видеть на рисунке, существует шесть различных возможностей сделать это. Это означает, что колебания по шести различным путям не могут быть статистически независимыми, поскольку они проходят одни и те же частицы в позиции $0$ и $3$. Теперь колебания шести различных способов должны быть суммированы согласованным образом и будут иметь порядок $\xi$ – независимо от размера куба. Флуктуации остаются конечными, а узлы решетки четко определены. Для случая двух измерений Герберт Вагнер и Дэвид Мермин строго доказали, что расстояния флуктуаций увеличиваются логарифмически с размером системы. $\xi \propto \ln(L)$. Это часто называют логарифмической дивергенцией смещений.

Кристаллы в 2D

2D x-tal с тепловыми флуктуациями положений частиц. Красные линии символизируют оси решетки, а зеленые стрелки — отклонения положений равновесия.

На изображении показан (квази-) двумерный кристалл из коллоидных частиц. Это частицы микрометрового размера, диспергированные в воде и осевшие на плоской поверхности раздела, поэтому они могут совершать броуновские движения только внутри плоскости. Шестикратный кристаллический порядок легко обнаружить в локальном масштабе, поскольку логарифмический рост смещений происходит довольно медленно. Отклонения от (красной) оси решетки также легко обнаружить, они показаны здесь зелеными стрелками. Отклонения в основном обусловлены упругими колебаниями решетки (акустическими фононами). Прямым экспериментальным доказательством флуктуаций Хоэнберга – Мермина – Вагнера было бы, если бы смещения увеличивались логарифмически с расстоянием локально подобранной системы координат (синий). Это логарифмическое расхождение сопровождается алгебраическим (медленным) распадом позиционных корреляций. Пространственный порядок 2D-кристалла называется квазидальним (см. также такую ​​гексатическую фазу для фазового поведения 2D-ансамблей). Интересно, что существенные признаки флуктуаций Хоэнберга–Мермина–Вагнера были обнаружены не в кристаллах, а в неупорядоченных аморфных системах.

В этой работе исследовались не логарифмические смещения узлов решетки (которые трудно определить количественно для конечного размера системы), а величина среднеквадратического смещения частиц как функция времени. Таким образом, перемещения анализируются не в пространстве, а во временной области. Теоретические основы даны Д. Касси, а также Ф. Мерклом и Х. Вагнером. В данной работе анализируется вероятность повторения случайных блужданий и спонтанного нарушения симметрии в различных измерениях. Конечная вероятность повторения случайного блуждания в одном и двух измерениях показывает дуализм отсутствия идеального дальнего порядка в одном и двух измерениях, тогда как исчезающая вероятность повторения случайного блуждания в 3D двойственна существованию идеального дальнего порядка. порядок диапазонов и возможность нарушения симметрии.

Пределы

Реальные магниты обычно не обладают непрерывной симметрией, поскольку спин-орбитальная связь электронов приводит к анизотропии. Для атомных систем, таких как графен, можно показать, что монослои космологического (или, по крайней мере, континентального) размера необходимы для измерения значительных размеров амплитуд флуктуаций. Недавнее обсуждение теорем Хоэнберга-Мермина-Вагнера и их ограничений в термодинамическом пределе провел Бертран Гальперен. Совсем недавно было показано, что наиболее серьезным физическим ограничением являются эффекты конечного размера в 2D, поскольку подавление из-за инфракрасных флуктуаций имеет только логарифмический размер: для двумерного сверхпроводящего перехода образец должен быть больше, чем наблюдаемая Вселенная. подавляться ниже ~100 К. Аналогичное поведение наблюдается и в магнетизме: размер выборки должен приближаться к размеру Вселенной, чтобы температура Кюри T _c находилась в диапазоне мК. нельзя сказать, Однако, поскольку беспорядок и межслоевая связь конкурируют с эффектами конечного размера при восстановлении порядка, априори какой из них ответственен за наблюдение магнитного упорядочения в данном двумерном образце.

Примечания

Несоответствие между теоремой Хоэнберга-Мермина-Вагнера (исключающей дальний порядок в 2D) и первыми компьютерными симуляциями (Алдер и Уэйнрайт), которые указывали на кристаллизацию в 2D, однажды побудило Дж. Майкла Костерлица и Дэвида Дж. Таулесса заняться топологическими вопросами. фазовые переходы в 2D. Эта работа удостоена Нобелевской премии по физике 2016 года (совместно с Дунканом Холдейном ).

См. также

• Теорема Элицура

Ссылки

• Хоэнберг, ПК (1967), "Существование дальнего порядка в одном и двух измерениях", Phys. Rev. , 158 (2): 383, Бибкод : 1967PhRv..158..383H , doi : 10.1103/PhysRev.158.383
• Мермин, Северная Дакота; Вагнер, Х. (1966), «Отсутствие ферромагнетизма или антиферромагнетизма в одно- или двумерных изотропных моделях Гейзенберга», Phys. Преподобный Летт. , 17 (22): 1133–1136, Бибкод : 1966PhRvL..17.1133M , doi : 10.1103/PhysRevLett.17.1133
• Коулман, Сидней (1973), «В двух измерениях не существует бозонов Голдстоуна» , Commun. Математика. Физ. , 31 (4): 259–264, Bibcode : 1973CMaPh..31..259C , doi : 10.1007/BF01646487 , S2CID   120770166
• Гельферт, Аксель; Нолтинг, Вольфганг (2001), «Отсутствие фазовых переходов при конечной температуре в низкоразмерных моделях многих тел: обзор и новые результаты», J. Phys.: Condens. Matter , 13 (27): R505–R524, arXiv : cond-mat/0106090 , Bibcode : 2001JPCM...13R.505G , doi : 10.1088/0953-8984/27.13/201 , S2CID   119150988
• Добрушин Р.Л.; Шлосман С.Б. (1975), "Отсутствие нарушения непрерывной симметрии в двумерных моделях статистической физики" , сообщение. Математика. Физ. , 42 (1): 31, Bibcode : 1975CMaPh..42...31D , doi : 10.1007/bf01609432 , S2CID   120426435
• Пфистер, К.-Э. (1981), «О симметрии гиббсовских состояний в двумерных решетчатых системах» , сообщение. Математика. Физ. , 79 (2): 181, Бибкод : 1981CMaPh..79..181P , doi : 10.1007/bf01942060 , S2CID   119794070
• Фрелих, Дж.; Пфистер, CE (1981), «Об отсутствии спонтанного нарушения симметрии и кристаллического упорядочения в двумерных системах» , Comm. Математика. Физ. , 81 (2): 277, Бибкод : 1981CMaPh..81..277F , doi : 10.1007/bf01208901 , S2CID   119956468
• Кляйн, А.; Ландау, ЖЖ; Шукер, Д.С. (1981), «Об отсутствии спонтанного нарушения непрерывной симметрии для состояний равновесия в двух измерениях», J. Statist. Физ. , 26 (3): 505, Bibcode : 1981JSP....26..505K , doi : 10.1007/bf01011431 , S2CID   122941200
• Бонато, Калифорния; Перес, Дж. Ф.; Кляйн, А. (1982), «Явление Мермина-Вагнера и кластерные свойства одномерных и двумерных систем», J. Statist. Физ. , 29 (2): 159, Bibcode : 1982JSP....29..159B , doi : 10.1007/bf01020779 , S2CID   121753398
• Иоффе, Д. ; Шлосман, С.Б.; Веленик, Ю. (2002), «Двумерные модели статистической физики с непрерывной симметрией: случай сингулярных взаимодействий», Comm. Математика. Физ. , 226 (2): 433, arXiv : math/0110127 , Bibcode : 2002CMaPh.226..433I , doi : 10.1007/s002200200627 , S2CID   53514841
• Карди, Джон (2002), Масштабирование и перенормировка в статистической физике (перепечатано (с корр.) под ред.), [Кембридж]: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49959-0
• Рихтхаммер, Т. (2007), «Трансляционная инвариантность двумерных гиббсовских точечных процессов», Commun. Математика. Физ. , 274 (1): 81, arXiv : 0706.3637 , Bibcode : 2007CMaPh.274...81R , doi : 10.1007/s00220-007-0274-7 , S2CID   14362162
• Герберт Вагнер (ред.). «Теорема Мермина-Вагнера» . Схоларпедия .
• Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107184824 .