Голдстоун бозон

«Теорема Голдстоуна» перенаправляется сюда. Теорему о диаграммах Фейнмана см. в теореме о связанных кластерах .

В частиц и конденсированного состояния физике элементарных бозоны Голдстоуна или бозоны Намбу-Голдстоуна ( NGB ) — это бозоны , которые обязательно появляются в моделях, демонстрирующих спонтанное нарушение непрерывных симметрий . Они были открыты Ёитиро Намбу в физике элементарных частиц в контексте механизма сверхпроводимости БКШ . и впоследствии объясненный Джеффри Голдстоуном , и систематически обобщены в контексте квантовой теории поля . В физике конденсированного состояния такие бозоны являются квазичастицами и известны как моды Андерсона–Боголюбова.

Эти бесспиновые бозоны соответствуют генераторам спонтанно нарушенной внутренней симметрии и характеризуются квантовыми числами их . Они нелинейно трансформируются (смещаются) под действием этих генераторов и, таким образом, могут возбуждаться этими генераторами из асимметричного вакуума. Таким образом, их можно рассматривать как возбуждения поля в направлениях нарушенной симметрии в групповом пространстве — и они безмассовые , если спонтанно нарушенная симметрия также не нарушена явно .

Если вместо этого симметрия не является точной, т.е. если она явно нарушена, а также спонтанно нарушена, то бозоны Намбу-Голдстоуна не являются безмассовыми, хотя обычно они остаются относительно легкими; тогда их называют псевдоголдстоуновыми бозонами или псевдо-Намбу-Голдстоуновыми бозонами (сокращенно PNGBs ).

Теорема Голдстоуна

Теорема Голдстоуна исследует общую непрерывную симметрию , которая спонтанно нарушается ; т. е. его токи сохраняются, но основное состояние не инвариантно под действием соответствующих зарядов. обязательно появляются новые безмассовые (или легкие, если симметрия не точна) скалярные Тогда в спектре возможных возбуждений частицы. Для каждого генератора нарушенной симметрии, т. е. не сохраняющего основное состояние , существует одна скалярная частица, называемая бозоном Намбу-Голдстоуна. Мода Намбу–Голдстоуна представляет собой длинноволновую флуктуацию соответствующего параметра порядка .

В силу своих особых свойств при взаимодействии с вакуумом соответствующей теории с нарушенной симметрией исчезающие импульсы («мягкие») бозоны Голдстоуна, участвующие в теоретико-полевых амплитудах, заставляют такие амплитуды исчезать («нули Адлера»).

Примеры

Естественный

• В жидкостях фонон симметрии продольный и является голдстоуновским бозоном спонтанно нарушенной Галилея . В твердых телах ситуация сложнее; бозоны Голдстоуна представляют собой продольные и поперечные фононы, и они оказались бозонами Голдстоуна спонтанно нарушенной галилеевой, поступательной и вращательной симметрией без простого взаимно однозначного соответствия между модами Голдстоуна и нарушенной симметрией.
• В магнитах исходная вращательная симметрия (присутствующая в отсутствие внешнего магнитного поля) спонтанно нарушается, так что намагниченность направлена ​​в определенном направлении. Бозоны Голдстоуна тогда представляют собой магноны , т. е. спиновые волны, в которых колеблется направление локальной намагниченности.
• Пионы псевдоголдстоуновские представляют собой бозоны , возникающие в результате спонтанного нарушения симметрии кирального аромата КХД, вызванного конденсацией кварков из-за сильного взаимодействия. Эти симметрии в дальнейшем явно нарушаются массами кварков, так что пионы не являются безмассовыми, но их масса значительно меньше типичных адронных масс.
• Продольные поляризационные компоненты W- и Z-бозонов соответствуют голдстоуновским бозонам спонтанно нарушенной части электрослабой симметрии SU(2)⊗U(1), которые, однако, не наблюдаются. Поскольку эта симметрия калибрована, три потенциальных бозона Голдстоуна поглощаются тремя калибровочными бозонами, соответствующими трем сломанным генераторам; это дает этим трем калибровочным бозонам массу и связанную с ней необходимую третью поляризационную степень свободы. Это описано в Стандартной модели посредством механизма Хиггса . Аналогичное явление имеет место в сверхпроводимости , которая послужила первоначальным источником вдохновения Намбу, а именно, фотон развивает динамическую массу (выражаемую как исключение магнитного потока из сверхпроводника), ср. теория Гинзбурга -Ландау .
• Первичные флуктуации во время инфляции можно рассматривать как бозоны Голдстоуна, возникающие из-за спонтанного нарушения симметрии трансляции времени во вселенной де Ситтера . Эти флуктуации инфлатона скалярного поля впоследствии приводят к формированию космической структуры .
• Риккарди и Умезава предложили в 1967 году общую теорию (квантовый мозг) о возможном мозговом механизме хранения и извлечения памяти с точки зрения бозонов Намбу – Голдстоуна. Эта теория впоследствии была расширена в 1995 году Джузеппе Витьелло с учетом того, что мозг является «открытой» системой (диссипативная квантовая модель мозга). Приложения спонтанного нарушения симметрии и теоремы Голдстоуна к биологическим системам в целом были опубликованы Э. Дель Джудиче, С. Доглией, М. Милани и Г. Витиелло. и Э. Дель Джудиче, Дж. Препарата и Дж. Витьелло. Мари Джибу и Кунио Ясуэ и Джузеппе Витьелло, на основе этих результатов обсудили последствия для сознания.

Теория

Рассмотрим комплексное скалярное поле φ с ограничением $\phi ^{*}\phi =v^{2}$, константа. Один из способов наложить ограничение такого рода — включить потенциальный член взаимодействия в его лагранжеву плотность :

$\lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,$

и переходя к пределу при λ → ∞ . Это называется «абелева нелинейная σ-модель».

Ограничение и действие, приведенные ниже, инвариантны относительно фазового преобразования U (1), δφ =i εφ . Поле можно переопределить, чтобы получить реальное скалярное поле (т. е. частицу с нулевым спином) θ без каких-либо ограничений со стороны

$\phi =ve^{i\theta }$

где θ — бозон Намбу–Голдстоуна (фактически $v\theta$ is), а преобразование симметрии U (1) приводит к сдвигу θ , а именно

$\delta \theta =\epsilon ~,$

но не сохраняет основное состояние |0〉 (т. е. указанное выше бесконечно малое преобразование не аннулирует его — признак инвариантности), как видно из заряда тока внизу.

Таким образом, вакуум вырожден и неинвариантен под действием спонтанно нарушенной симметрии.

Соответствующая лагранжева плотность определяется выражением

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},$

и таким образом

$={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.$

Обратите внимание, что постоянный член $m^{2}v^{2}$ в лагранжевой плотности не имеет физического значения, а другой член в ней — это просто кинетический член для безмассового скаляра.

Индуцированный симметрией сохраняющийся ток U (1) равен

$J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.$

Заряд Q , возникающий в результате этого тока, сдвигает θ и основное состояние в новое, вырожденное основное состояние. Таким образом, вакуум с 〈 θ 〉 = 0 сместится в другой вакуум с 〈 θ 〉 = ε . Ток соединяет исходный вакуум с состоянием бозона Намбу–Голдстоуна 〈0| Дж ₀ (0)| θ 〉≠ 0 .

В общем, в теории с несколькими скалярными полями φj _{параметризует} мода Намбу-Голдстоуна безмассовая _φg и . кривую возможных (вырожденных) вакуумных состояний Его отличительной чертой при преобразовании нарушенной симметрии является неисчезающее вакуумное ожидание 〈 δφ _g 〉 , параметр порядка , для обращения в нуль 〈 φ _g 〉 = 0 в некотором основном состоянии |0〉, выбранном в минимуме потенциала, 〈∂ V /∂ φ. _я 〉 знак равно 0 . В принципе вакуум должен быть минимумом эффективного потенциала , учитывающего квантовые эффекты, однако в первом приближении он равен классическому потенциалу. Симметрия требует, чтобы все изменения потенциала по отношению к полям во всех направлениях симметрии исчезали. Вакуумная величина изменения первого порядка в любом направлении исчезает, как мы только что видели; а вакуумная величина вариации второго порядка также должна обратиться в нуль следующим образом. Исчезновение вакуумных значений приращений преобразования симметрии поля не добавляет новой информации.

Однако, напротив, ненулевые вакуумные ожидания приращений трансформации 〈 δφ g _〉 определяют соответствующие (голдстоуновские) нулевые собственные векторы матрицы масс ,

$\left\langle {\partial ^{2}V \over \partial \phi _{i}\partial \phi _{j}}\right\rangle \langle \delta \phi _{j}\rangle =0~,$

и, следовательно, соответствующие собственные значения нулевой массы.

Аргумент Голдстоуна

Принцип, лежащий в основе аргументации Голдстоуна, заключается в том, что основное состояние не уникально. Обычно, в силу сохранения тока, оператор заряда для любого тока симметрии не зависит от времени:

${d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.$

Воздействие оператора заряда на вакуум либо аннулирует вакуум , если он симметричен; в противном случае, если нет , как в случае спонтанного нарушения симметрии, он создает из него состояние с нулевой частотой посредством функции преобразования сдвига, проиллюстрированной выше. Собственно, здесь само обвинение нечетко определено, ср. аргумент Фабри-Пикассо ниже.

Но его коммутаторы с полями, которые ведут себя лучше, т. е. ненулевые трансформационные сдвиги 〈 δφ _g 〉 , тем не менее, инвариантны во времени ,

${\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,$

таким образом генерируя δ( k ⁰ ) в преобразовании Фурье. (Это гарантирует, что вставка полного набора промежуточных состояний в коммутатор ненулевого тока может привести к исчезновению временной эволюции только тогда, когда одно или несколько из этих состояний безмассовые.)

Таким образом, если вакуум не инвариантен относительно симметрии, действие оператора заряда создает состояние, отличное от выбранного вакуума, но имеющее нулевую частоту. Это длинноволновое колебание поля, близкого к стационарному: существуют физические состояния с нулевой частотой k ⁰ , так что теория не может иметь массовый разрыв .

Этот аргумент дополнительно поясняется, если внимательно рассмотреть предел. приближенный оператор заряда, действующий в огромной, но конечной области А Если к вакууму применить ,

${d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,$

возникает состояние с приблизительно исчезающей производной по времени,

$\left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.$

Предполагая неисчезающую разницу масс m ₀ , частота любого состояния, подобного приведенному выше, которое ортогонально вакууму, составляет не менее m ₀ ,

$\left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.$

Если A станет большим, это приведет к противоречию. Следовательно, m ₀ = 0. Однако этот аргумент неверен, когда симметрия калибрована, потому что тогда генератор симметрии выполняет только калибровочное преобразование. Состояние с калибровочным преобразованием — это то же самое точное состояние, поэтому действие генератора симметрии не приводит к выходу из вакуума (см. Механизм Хиггса ).

Теорема Фабри–Пикассо. Q не существует в гильбертовом пространстве, если только Q |0〉 = 0 .

Аргумент требует, чтобы и вакуум, и заряд Q были трансляционно-инвариантными, P |0〉 = 0 , [ P,Q ]= 0 .

Рассмотрим корреляционную функцию заряда с самим собой:

${\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}$

поэтому подынтегральная функция в правой части не зависит от позиции.

Таким образом, его величина пропорциональна общему объему помещения, $\|Q|0\rangle \|^{2}=\infty$ — если симметрия не нарушена, Q |0〉 = 0 . Следовательно, Q не существует собственно в гильбертовом пространстве.

Инфрачастицы

В этой теореме есть спорная лазейка. Если внимательно прочитать теорему, то она лишь утверждает, что существуют невакуумные состояния со сколь угодно малой энергией. Возьмем, к примеру, киральную N = 1 модель супер-КХД с ненулевым скварком VEV , который конформен в IR . Киральная симметрия — это глобальная симметрия , которая (частично) спонтанно нарушается. Некоторые из «голдстоуновских бозонов», связанных с этим спонтанным нарушением симметрии, заряжены под ненарушенной калибровочной группой, и, следовательно, эти составные бозоны имеют непрерывный спектр масс со сколь угодно малыми массами, но при этом не существует голдстоуновского бозона с точно нулевой массой . Другими словами, бозоны Голдстоуна — это инфрачастицы .

Расширения

Нерелятивистские теории

Версия теоремы Голдстоуна также применима к нерелятивистским теориям. По сути, он утверждает, что каждой спонтанно нарушенной симметрии соответствует некоторая квазичастица , которая обычно является бозоном и не имеет энергетической щели . В конденсированном состоянии эти голдстоуновские бозоны также называются бесщелевыми модами (т.е. состояниями, в которых закон дисперсии энергии имеет вид $E\propto p^{n}$ и равен нулю для $p=0$), нерелятивистская версия безмассовых частиц (т.е. фотонов, для которых дисперсионное соотношение также $E=pc$ и ноль для $p=0$). Обратите внимание, что энергия в нерелятивистском случае конденсированного состояния равна H − µN − α → ⋅ P →, а не H, как это было бы в релятивистском случае. Однако теперь два разных спонтанно разрушенных генератора могут дать начало одному и тому же бозону Намбу–Голдстоуна.

В качестве первого примера: антиферромагнетик имеет 2 голдстоун-бозона, ферромагнетик имеет 1 голдстоун-бозон, где в обоих случаях мы нарушаем симметрию от SO (3) до SO (2), для антиферромагнетика дисперсия равна $E\propto p$ а математическое ожидание основного состояния равно нулю, для ферромагнетика вместо этого дисперсия равна $E\propto p^{2}$ и математическое ожидание основного состояния не равно нулю, т. е. существует спонтанное нарушение симметрии основного состояния.

Второй пример: в сверхтекучей жидкости как U (1) симметрия числа частиц , так и симметрия Галилея спонтанно нарушаются . Однако в обоих случаях фонон является бозоном Голдстоуна.

Тем не менее, что касается нарушения симметрии, существует также близкая аналогия между бесщелевыми модами в конденсированном состоянии и бозоном Хиггса, например, при фазовом переходе парамагнетика в ферромагнетик.

Нарушение пространственно-временной симметрии

В отличие от случая нарушения внутренних симметрий, когда нарушаются пространственно-временные симметрии, такие как лоренцева , конформная, вращательная или трансляционная симметрии, параметр порядка не обязательно должен быть скалярным полем, а может быть тензорным полем, а число независимых безмассовых мод может быть меньше, чем число самопроизвольно разорвавшихся генераторов. Для теории с параметром порядка $\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle$ что спонтанно нарушает симметрию пространства-времени, количество сломанных генераторов $T^{a}$ минус количество нетривиальных независимых решений $c_{a}({\boldsymbol {r}})$ к

$c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0$

— это количество возникающих голдстоуновских мод. Для внутренних симметрий приведенное выше уравнение не имеет нетривиальных решений, поэтому справедлива обычная теорема Голдстоуна. Когда решения действительно существуют, это происходит потому, что моды Голдстоуна линейно зависимы между собой, в том смысле, что результирующая мода может быть выражена как градиенты другой моды. Поскольку пространственно-временная зависимость решений $c_{a}({\boldsymbol {r}})$ находится в направлении непрерывных генераторов, когда все генераторы трансляции сломаны, нетривиальных решений не существует и количество голдстоуновских мод снова равно числу сломанных генераторов.

В общем, фонон фактически является бозоном Намбу – Голдстоуна для спонтанно нарушенной трансляции. симметрия.

Фермионы Намбу – Голдстоуна

Спонтанно нарушенные глобальные фермионные симметрии, которые возникают в некоторых суперсимметричных моделях, приводят к фермионам Намбу-Голдстоуна , или голдстино . У них есть вращение ⁠ 1/2 нарушенных ⁠ . вместо 0 и несут все квантовые числа соответствующих генераторов суперсимметрии, спонтанно

Спонтанное нарушение суперсимметрии разбивает («редуцирует») супермультиплетные структуры до характерных нелинейных реализаций нарушенной суперсимметрии, так что голдстино являются суперпартнерами всех частиц в теории любого спина , причем единственными суперпартнерами. То есть, скажем так, две неголдстино-частицы через преобразования суперсимметрии связаны только с голдстино, а не друг с другом, даже если они были так связаны до нарушения суперсимметрии. В результате массы и спиновые кратности таких частиц становятся произвольными.

См. также

• Псевдо-голдстоуновский бозон
• Главный
• Механизм Хиггса
• Теорема Мермина – Вагнера
• Ожидаемое значение вакуума
• Теорема Нётер