Массовый разрыв

В квантовой теории поля — разница масс это разница в энергии между состоянием с наименьшей энергией , вакуумом, и следующим состоянием с наименьшей энергией. Энергия вакуума равна нулю по определению, и если предположить, что все энергетические состояния можно рассматривать как частицы в плоских волнах, то разница между массами равна массе легчайшей частицы.

Поскольку энергии точных (то есть непертурбативных) собственных состояний энергии разбросаны и, следовательно, технически они не являются собственными состояниями, более точное определение состоит в том, что массовая щель является наибольшей нижней границей энергии любого состояния, ортогонального вакууму.

Аналог массовой щели в физике многих тел на дискретной решетке возникает из гамильтониана с щелью .

Математические определения

Для данного вещественного квантового поля $\phi (x)$, где $x=({\boldsymbol {x}},t)$, можно сказать, что теория имеет массовый разрыв, если двухточечная функция обладает свойством

$\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)$

с $\Delta _{0}>0$ это самое низкое значение энергии в спектре гамильтониана и, следовательно, массовая щель. Эту величину, которую легко обобщить на другие поля, обычно измеряют при расчетах на решетке. Таким образом было доказано, что теория Янга – Миллса развивает массовую щель на решетке. Соответствующее упорядоченное по времени значение, распространитель , будет иметь свойство

$\lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant}$

при этом константа конечна. Типичным примером является свободная массивная частица, в этом случае константа имеет значение 1/ m. ² . В том же пределе пропагатор безмассовой частицы сингулярен.

Примеры из классических теорий

Пример возникновения массового разрыва для безмассовых теорий уже на классическом уровне можно увидеть в спонтанном нарушении симметрии или механизме Хиггса . В первом случае приходится справляться с появлением безмассовых возбуждений — бозонов Голдстоуна , которые в последнем случае удаляются благодаря калибровочной свободе . Квантование сохраняет это свойство калибровочной свободы.

Квартическая безмассовая скалярная теория поля развивает массовую щель уже на классическом уровне. . Рассмотрим уравнение

$\Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.$

Это уравнение имеет точное решение

$\phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)$

-где $\mu$ и $\theta$ — константы интегрирования, а sn — эллиптическая функция Якоби , при условии, что

$p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.$

На классическом уровне появляется массовая щель, а на квантовом — башня возбуждений , и это свойство теории сохраняется после квантования в пределе стремления импульсов к нулю.

Теория Янга – Миллса

Основные статьи: теория Янга – Миллса , существование Янга – Миллса и разрыв в массах.

Хотя расчеты на решетке показали, что теория Янга-Миллса действительно имеет массовый разрыв и башню возбуждений, теоретическое доказательство все еще отсутствует. Это одна из Института Клея проблем тысячелетия , и она остается открытой проблемой. Такие состояния в теории Янга-Миллса должны быть физическими состояниями, называемыми глюболами , и должны наблюдаться в лаборатории.

Представление Каллина – Лемана

Если спектральное представление Келлена–Лемана имеет место, на этом этапе мы исключаем калибровочные теории , функция спектральной плотности может принять очень простую форму с дискретным спектром, начинающимся с массовой щели.

$\rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})$

существование $\rho _{c}(\mu ^{2})$ вклад многочастичной части спектра. В этом случае пропагатор примет простой вид

$\Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}$

существование $4m_{N}^{2}$ приблизительно начальная точка многочастичного сектора. Теперь, используя тот факт, что

$\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1$

для констант спектральной плотности приходим к следующему выводу

$1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})$.

Это не могло быть верно в калибровочной теории . Скорее, необходимо доказать, что представление Каллина–Лемана для пропагатора справедливо и для этого случая. Отсутствие многочастичных вкладов означает, что теория тривиальна , поскольку в теории не появляются связанные состояния и, следовательно, нет взаимодействия, даже если теория имеет массовый разрыв. В этом случае мы сразу имеем пропагатор, который просто устанавливает $\rho _{c}(\mu ^{2})=0$ в формулах выше.

См. также

• Теорема Коулмана – Мандулы
• Скалярная теория поля

Внешние ссылки

• Садун, Лоренцо. Ян-Миллс и разрыв в массах. Видеолекция, описывающая природу проблемы разрыва масс в формулировке Янга-Миллса.
• Массовые пробелы для скалярных теорий поля на Dispersive Wiki
• «Выслушанный доклад о проблеме разрыва масс в трехмерной квантовой теории Янга-Миллса» . Ютуб . Фрэнсис Виллаторо. 1 августа 2012 г.