Нелинейная реализация

В математической физике нелинейная реализация группы Ли G, подгруппой Картана H, является частным индуцированным представлением G обладающей . По сути, это представление алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ группы G в окрестности ее начала.Нелинейная реализация, ограниченная подгруппой H, сводится к линейному представлению.

Техника нелинейной реализации является неотъемлемой частью многих теорий поля со спонтанным нарушением симметрии , например, киральных моделей , кирального нарушения симметрии , теории бозона Голдстоуна , классической теории поля Хиггса , калибровочной теории гравитации и супергравитации .

Пусть G — группа Ли, а H ее подгруппа Картана, допускающая линейное представление в векторном пространстве V. — Ложьалгебра ${\mathfrak {g}}$ группы G распадается на сумму ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {f}}$ Картана подалгебры ${\mathfrak {h}}$ H и его дополнение ${\mathfrak {f}}$, такой, что

$[{\mathfrak {f}},{\mathfrak {f}}]\subset {\mathfrak {h}},\qquad [{\mathfrak {f}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {f}}.$

(В физике, например, ${\mathfrak {h}}$ представляют собой векторные генераторы и ${\mathfrak {f}}$ на осевые.)

Существует открытая окрестность U единицы G такая, чточто любой элемент $g\in U$ однозначно приводится к виду

$g=\exp(F)\exp(I),\qquad F\in {\mathfrak {f}},\qquad I\in {\mathfrak {h}}.$

Позволять $U_{G}$ — открытая окрестность единицы G такая, что $U_{G}^{2}\subset U$, и пусть $U_{0}$ быть открытым районом H -инвариантный центр $\sigma _{0}$ фактора G/H, состоящего из элементов

$\sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.$

Затем есть локальный раздел $s(g\sigma _{0})=\exp(F)$ из $G\to G/H$над $U_{0}$.

С помощью этого локального раздела можно определить индуцированное представление , называемое нелинейной реализацией . элементов $g\in U_{G}\subset G$ на $U_{0}\times V$ заданные выражениями

$g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _{0},v)\to (\exp(F')\sigma _{0},\exp(I')v).$

Соответствующая нелинейная реализация алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ группы G принимает следующий вид.

Позволять $\{F_{\alpha }\}$, $\{I_{a}\}$ быть основой для ${\mathfrak {f}}$ и ${\mathfrak {h}}$соответственно вместе с коммутационными соотношениями

$[I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.$

Тогда желаемая нелинейная реализация ${\mathfrak {g}}$ в ${\mathfrak {f}}\times V$ читает

$F_{\alpha }:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },F_{\alpha }(v)),\qquad I_{a}:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (I_{a}(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },I_{a}v),$,

$F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^{\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^{\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },$

до второго порядка в $\sigma ^{\alpha }$.

В физических моделях коэффициенты $\sigma ^{\alpha }$ рассматриваются как месторождения Голдстоуна . Аналогично нелинейные реализации супералгебр Ли рассматриваются .

См. также

• Индуцированное представление
• Хиральная модель

Ссылки

• Коулман, С.; Весс, Дж.; Зумино, Бруно (25 января 1969 г.). «Структура феноменологических лагранжианов. I». Физический обзор . 177 (5). Американское физическое общество (APS): 2239–2247. Бибкод : 1969PhRv..177.2239C . дои : 10.1103/physrev.177.2239 . ISSN   0031-899X .
• Джозеф, А.; Соломон, А.И. (1970). «Глобальные и бесконечно малые нелинейные киральные преобразования». Журнал математической физики . 11 (3). Издательство AIP: 748–761. Бибкод : 1970JMP....11..748J . дои : 10.1063/1.1665205 . ISSN   0022-2488 .
• Джачетта Г., Манджиаротти Л., Сарданашвили Г. , Передовая классическая теория поля , World Scientific, 2009, ISBN   978-981-283-895-7 .