Корреляционная функция

Чтобы узнать о других значениях, см. Функция корреляции (значения) .

Визуальное сравнение свертки , кросс-корреляции и автокорреляции .

Корреляционная функция — это функция , которая определяет статистическую корреляцию между случайными величинами в зависимости от пространственного или временного расстояния между этими переменными. Если рассматривать корреляционную функцию между случайными величинами, представляющими одну и ту же величину, измеренную в двух разных точках, то ее часто называют автокорреляционной функцией , которая состоит из автокорреляций . Корреляционные функции различных случайных величин иногда называют функциями взаимной корреляции, чтобы подчеркнуть, что рассматриваются разные переменные, и потому что они состоят из взаимной корреляции .

Функции корреляции являются полезным индикатором зависимостей как функции расстояния во времени или пространстве, и их можно использовать для оценки расстояния, необходимого между точками выборки, чтобы значения были эффективно некоррелированы. Кроме того, они могут лечь в основу правил интерполяции значений в точках, для которых нет наблюдений.

Корреляционные функции, используемые в астрономии , финансовом анализе , эконометрике и статистической механике, различаются только конкретными случайными процессами, к которым они применяются. В квантовой теории поля существуют корреляционные функции над квантовыми распределениями .

Определение

Для возможно различных случайных величин X ( s ) и Y ( t ) в разных точках s и t некоторого пространства корреляционная функция равна

$C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),$

где $\operatorname {corr}$ описано в статье о корреляции . В этом определении предполагалось, что стохастические переменные имеют скалярные значения. Если это не так, то можно определить более сложные корреляционные функции. Например, если X ( s ) — случайный вектор с n элементами, а Y (t) — вектор с q элементами, то матрица корреляционных функций размера n × q определяется формулой $i,j$ элемент

$C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).$

Когда n = q , иногда следе фокусируется на этой матрицы. Если распределения вероятностей имеют какие-либо симметрии в целевом пространстве, то есть симметрии в пространстве значений стохастической переменной (также называемые внутренними симметриями ), то корреляционная матрица будет иметь индуцированную симметрию. Аналогично, если существуют симметрии пространственной (или временной) области, в которой существуют случайные величины (также называемые симметриями пространства-времени ), то корреляционная функция будет иметь соответствующие симметрии пространства или времени. Примеры важных пространственно-временных симметрий:

• трансляционная симметрия дает C ( s , s ') = C ( s - s '), где s и s ' следует интерпретировать как векторы, задающие координаты точек.
• вращательная симметрия в дополнение к вышесказанному дает C ( s , s ') = C (| s − s '|), где | х | обозначает норму вектора x (для реальных вращений это евклидова или 2-норма).

Часто определяются корреляционные функции более высокого порядка. Типичная корреляционная функция порядка n (угловые скобки обозначают математическое ожидание )

$C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .$

Если случайный вектор имеет только одну составляющую переменную, то индексы $i,j$ являются излишними. Если симметрии существуют, то корреляционную функцию можно разбить на неприводимые представления симметрий — как внутренних, так и пространственно-временных.

Свойства вероятностных распределений

С этими определениями исследование корреляционных функций аналогично изучению вероятностных распределений . Многие случайные процессы можно полностью охарактеризовать своими корреляционными функциями; наиболее ярким примером является класс гауссовских процессов .

Распределения вероятностей, определенные для конечного числа точек, всегда можно нормализовать, но когда они определены в непрерывных пространствах, требуется особая осторожность. Изучение таких распределений началось с изучения случайных блужданий и привело к понятию исчисления Ито .

Фейнмана Интеграл по траектории в евклидовом пространстве обобщает это на другие проблемы, представляющие интерес для статистической механики . Любое распределение вероятностей, которое подчиняется условию корреляционных функций, называемому положительностью отражения, приводит к локальной квантовой теории поля после вращения Вика в пространство-время Минковского (см. аксиомы Остервальдера-Шредера ). Операция перенормировки представляет собой заданный набор отображений пространства вероятностных распределений в себя. Квантовая теория поля называется перенормируемой, если это отображение имеет неподвижную точку, дающую квантовую теорию поля.

См. также

• Автокорреляция - корреляция сигнала со своей сдвинутой во времени копией как функция сдвига.
• Корреляция не предполагает причинно-следственной связи – Опровержение логической ошибки
• Коррелограмма - изображение корреляционной статистики.
• Ковариационная функция - функция в теории вероятностей.
• Коэффициент корреляции момента продукта Пирсона – показатель линейной корреляции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Корреляционная функция (астрономия) - Функция, описывающая распределение галактик во Вселенной.
• Корреляционная функция (статистическая механика) - мера порядка системы.
• Корреляционная функция (квантовая теория поля) - математическое ожидание упорядоченных по времени квантовых операторов.
• Взаимная информация - мера зависимости между двумя переменными.
• Теория искажения скорости - раздел теории информации, который обеспечивает теоретические основы сжатия данных с потерями. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Функция радиального распределения - Описание плотности частиц в статистической механике.