Функция осциллятора
В квантовой теории поля могут распределения Вайтмана быть аналитически продолжены до аналитических функций в евклидовом пространстве с областью , ограниченной упорядоченным набором точек в евклидовом пространстве без совпадающих точек. [1] Эти функции называются функциями Швингера (названными в честь Джулиана Швингера ), и они вещественно-аналитические, симметричные относительно перестановки аргументов (антисимметричные для фермионных полей ), евклидовы ковариантные и удовлетворяют свойству, известному как позитивность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера – Шредера (названные в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шредера ). [2] Функции Швингера также называют евклидовыми корреляционными функциями .
Аксиомы Остервальдера – Шредера
[ редактировать ]Здесь мы описываем аксиомы Остервальдера – Шредера (ОС) для евклидовой квантовой теории поля эрмитова скалярного поля. , . Заметим, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечное множество локальных операторов, включая и составные операторы , а их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, аналогичным описанным ниже.
Функции Швингера обозначаются как
Аксиомы ОС из [2] пронумерованы (Е0)-(Е4) и имеют следующее значение:
- (E0) Умеренность
- (E1) Евклидова ковариация
- (E2) Позитивность
- (E3) Симметрия
- (E4) Свойство кластера
Умеренность
[ редактировать ]Аксиома умеренности (E0) гласит, что функции Швингера представляют собой умеренные распределения вдали от совпадающих точек. Это означает, что их можно интегрировать по пробным функциям Шварца , которые исчезают со всеми своими производными в конфигурациях, где совпадают две или более точки. На основании этой аксиомы и других аксиом ОС (но не условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера на самом деле являются вещественно-аналитическими вдали от совпадающих точек.
Евклидова ковариация
[ редактировать ]Аксиома евклидовой ковариации (E1) гласит, что функции Швингера ковариантно преобразуются при вращении и перемещении, а именно:
для произвольной матрицы вращения и произвольный вектор перевода . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера полей, преобразующихся в произвольных представлениях группы вращений. [2] [3]
Симметрия
[ редактировать ]Аксиома симметрии (E3) гласит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:
- ,
где представляет собой произвольную перестановку . Вместо этого функции Швингера фермионных полей антисимметричны; для них это уравнение имело бы знак ±, равный сигнатуре перестановки.
Свойство кластера
[ редактировать ]Свойство кластера (E4) говорит о том, что функция Швингера сводится к произведению если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным сдвигом:
- .
Предел понимается в смысле распределений. Существует также техническое предположение, что две группы точек лежат по две стороны от гиперплоскость, а вектор параллельно ему:
Отражение позитива
[ редактировать ]Аксиомы позитивности (E2) утверждают следующее свойство, называемое позитивностью отражения (Остервальдера – Шредера). Выберите любую произвольную координату τ и выберите тестовую функцию f N с N точками в качестве аргументов. Предположим, что f N имеет носитель в «упорядоченном по времени» подмножестве N точек с 0 < τ 1 < ... < τ N . Выберите один такой f N для каждого положительного N , причем f будет нулевым для всех N, больших некоторого целого числа M . Учитывая точку , позволять τ = 0 быть отраженной точкой относительно гиперплоскости . Затем,
где * представляет собой комплексное сопряжение .
Иногда в литературе по теоретической физике положительность отражения формулируется как требование того, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно гиперплоскость:
- .
Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.
Интуитивное понимание
[ редактировать ]Один из способов (формального) построения функций Швингера, удовлетворяющих вышеуказанным свойствам, — это использование евклидова интеграла по путям . В частности, евклидовы интегралы по траекториям (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F — любой полиномиальный функционал поля φ , который зависит только от значения φ ( x ) для тех точек x, которых координаты τ неотрицательны. Затем
Поскольку действие S вещественно и его можно разбить на , который зависит только от φ в положительном полупространстве ( ), и которая зависит только от φ в отрицательном полупространстве ( ), и если S также оказывается инвариантным относительно совместного действия отражения и комплексного сопряжения всех полей, то предыдущая величина должна быть неотрицательной.
Теорема Остервальдера – Шредера
[ редактировать ]Теорема Остервальдера–Шредера. [4] утверждает, что евклидовы функции Швингера, которые удовлетворяют вышеуказанным аксиомам (E0)-(E4) и дополнительному свойству (E0'), называемому условием линейного роста , могут быть аналитически продолжены до лоренцевых распределений Вайтмана, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана и, таким образом, определяют квантовую теорию поля .
Условия линейного роста
[ редактировать ]Это условие, называемое (Е0') в, [4] утверждает, что когда функция порядка Швингера сопряжено с произвольной Шварца пробной функцией которая обращается в нуль в совпадающих точках, мы имеем следующую оценку:
где целочисленная константа, – полунорма пространства Шварца порядка , то есть
и последовательность констант факториала роста , т.е. с некоторыми константами .
Условие линейного роста является тонким, поскольку оно должно удовлетворяться для всех функций Швингера одновременно. Оно также не было выведено из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0)-(E4) плюс условие линейного роста (E0') оказывается более сильной, чем аксиомы Вайтмана .
История
[ редактировать ]Сначала Остервальдер и Шредер выдвинули более сильную теорему о том, что аксиомы (Е0)-(Е4) сами по себе влекут за собой аксиомы Вайтмана , [2] однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя они опубликовали новую теорему с добавленным в качестве предположения условием линейного роста и правильным доказательством. [4] Новое доказательство основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глейзером ): [5] при этом область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предельные. Условие линейного роста (E0') крайне важно использовать, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.
В статье Остервальдера и Шредера содержится также еще одна теорема, заменяющая (Е0') еще одним предположением, называемым . [4] Эта другая теорема используется редко, поскольку проверить на практике сложно. [3]
Другие аксиомы функций Швингера
[ редактировать ]Аксиомы Глимма и Яффе
[ редактировать ]Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан в их книге Глиммом и Яффе. [6] В этом подходе предполагается, что задана мера на пространстве распределений . Затем рассматривается производящий функционал
который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:
- (OS0) Аналитика. Это утверждает, что
является цельноаналитической функцией для любой коллекции компактно поддерживаемые функции тестирования . Интуитивно это означает, что мера затухает быстрее любой экспоненты.
- (OS1) Регулярность . Это требует роста, ограниченного с точки зрения , такой как . Видеть [6] для точного состояния.
- (OS2) Евклидова инвариантность. Это говорит о том, что функционал инвариантен относительно евклидовых преобразований .
- (OS3) Отражение позитивности. Возьмите конечную последовательность тестовых функций которые все поддерживаются в верхнем полупространстве, т.е. . Обозначим через где — это операция отражения, определенная выше. Эта аксиома гласит, что матрица должно быть положительно полуопределенным.
- (OS4) Эргодичность. Полугруппа перевода времени действует эргодически в пространстве с мерой . Видеть [6] для точного состояния.
Связь с аксиомами Остервальдера – Шредера.
[ редактировать ]Хотя приведенные выше аксиомы были названы Глиммом и Яффе (OS0)-(OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера–Шредера.
Учитывая (OS0)-(OS4), можно определить функции Швингера как моменты меры и покажем, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера–Шредера (E0)–(E4), а также условиям линейного роста (E0'). Тогда можно обратиться к теореме Остервальдера–Шредера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. Альтернативно, и это гораздо проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0)-(OS4). [6]
Однако заметим, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов, помимо , такой как , и другие составные операторы, построенные на основе и его производные. Нелегко извлечь эти функции Швингера из меры. и покажем, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как и должно быть.
Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, названные Глиммом и Яффе (OS0)-(OS4), сильнее, чем аксиомы OS, поскольку корреляторы поля обеспокоены, но слабее, чем полный набор аксиом ОС, поскольку они мало что говорят о корреляторах составных операторов.
Аксиомы Нельсона
[ редактировать ]Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . [7] См. также их описание в книге Барри Саймона. [8] Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Яффе, предполагается, что поле представляет собой случайное распределение с мерой . Эта мера достаточно регулярна, так что поле имеет регулярность пространства Соболева отрицательного порядка производной. Важнейшей особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является марковское свойство , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Стритер, РФ; Вайтман, А.С. (2000). РСТ, спин и статистика и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07062-9 . OCLC 953694720 .
- ^ Jump up to: а б с д Остервальдер К. и Шрейдер Р.: «Аксиомы евклидовых функций Грина», Comm. Математика. Физ. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.
- ^ Jump up to: а б Кравчук Петр; Цяо, Цзясинь; Рычков, Слава (05.04.2021). «Распределения в CFT II. Пространство Минковского». arXiv : 2104.02090v1 .
- ^ Jump up to: а б с д Остервальдер, Конрад; Шредер, Роберт (1975). «Аксиомы евклидовых функций Грина II» . Связь в математической физике . 42 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 281–305. дои : 10.1007/bf01608978 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119389461 .
- ^ Глейзер, В. (1974). «Об эквивалентности евклидовой и вайтмановской формулировок теории поля» . Связь в математической физике . 37 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 257–272. дои : 10.1007/bf01645941 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121257568 .
- ^ Jump up to: а б с д Глимм, Джеймс; Яффе, Артур (1987). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9 . OCLC 852790676 .
- ^ Нельсон, Эдвард (1 января 1973 г.). «Построение квантовых полей из полей Маркова» . Журнал функционального анализа . 12 (1): 97–112. дои : 10.1016/0022-1236(73)90091-8 . ISSN 0022-1236 .
- ^ Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08144-1 . OCLC 905864308 .