Аксиомы Вайтмана

В математической физике аксиомы Вайтмана (также называемые аксиомами Гординга-Вайтмана ), назван в честь Артура Вайтмана , являются попыткой математически строгой формулировки квантовой теории поля . Артур Вайтман сформулировал аксиомы в начале 1950-х годов: но впервые они были опубликованы только в 1964 году после теории рассеяния Хаага – Рюэля подтвердили их значение.

Аксиомы существуют в контексте конструктивной квантовой теории поля и призваны обеспечить основу для строгого рассмотрения квантовых полей и строгое обоснование используемых пертурбативных методов. Одной из проблем тысячелетия является реализация аксиом Вайтмана в случае полей Янга–Миллса .

Обоснование

Одна из основных идей аксиом Вайтмана состоит в том, что существует гильбертово пространство , на котором группа Пуанкаре действует унитарно . Таким образом реализуются понятия энергии, импульса, углового момента и центра масс (соответствующих ускорению).

Существует также предположение устойчивости, которое ограничивает спектр четырехимпульса положительным световым конусом (и его границей). Однако этого недостаточно для реализации локальности . Для этого в аксиомах Вайтмана есть зависящие от позиции операторы, называемые квантовыми полями, которые образуют ковариантные представления группы Пуанкаре .

Поскольку квантовая теория поля страдает от проблем с ультрафиолетом , значение поля в точке не определено четко. Чтобы обойти это, аксиомы Вайтмана вводят идею размазывания пробной функции , чтобы укротить УФ-расхождения, которые возникают даже в теории свободного поля . Поскольку аксиомы имеют дело с неограниченными операторами , необходимо указать области определения операторов.

Аксиомы Вайтмана ограничивают причинную структуру теории, налагая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями.

Они также постулируют существование пуанкаре-инвариантного состояния, называемого вакуумом, и требуют, чтобы оно было уникальным. Более того, аксиомы предполагают, что вакуум является «циклическим», т.е. что набор всех векторов, получаемых путем вычисления в вакуумном состоянии элементов алгебры полиномов, порожденных операторами размазанного поля, является плотным подмножеством всего гильбертова пространства.

Наконец, существует примитивное ограничение причинности, которое гласит, что любой полином в размазанных полях может быть сколь угодно точно аппроксимирован (т.е. является пределом операторов в слабой топологии ) полиномами в размазанных полях над пробными функциями с носителем в открытом множестве в Пространство Минковского , причинным замыканием которого является все пространство Минковского.

Аксиомы

W0 (предположения релятивистской квантовой механики)

Квантовая механика описывается фон Нейманом ; в частности, чистые состояния задаются лучами, т. е. одномерными подпространствами некоторого сепарабельного комплексного гильбертова пространства . Далее скалярное произведение векторов гильбертова пространства Ψ и Φ обозначается через $\langle \Psi ,\Phi \rangle$, а норма Ψ обозначается через $\lVert \Psi \rVert$. Вероятность перехода между двумя чистыми состояниями [Ψ] и [Φ] может быть определена через ненулевые векторные представители Ψ и Φ как

$P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}$

и не зависит от того, какие репрезентативные векторы Ψ и Φ выбраны.

Теория симметрии описана по Вигнеру. Это сделано для того, чтобы воспользоваться успешным описанием релятивистских частиц Э. П. Вигнером в его знаменитой статье 1939 года; см. классификацию Вигнера . Вигнер постулировал, что вероятность перехода между состояниями одинакова для всех наблюдателей, связанных с преобразованием специальной теории относительности . В более общем плане он считал утверждение о том, что теория инвариантна относительно группы G , выраженным через инвариантность вероятности перехода между любыми двумя лучами. В этом утверждении постулируется, что группа действует на множестве лучей, то есть на проективном пространстве. Пусть ( a , L ) — элемент группы Пуанкаре (неоднородной группы Лоренца). Таким образом, a — действительный четырехвектор Лоренца , представляющий смену пространства-времени начала x ↦ x − a , где x находится в пространстве Минковского M. ⁴ , а L — преобразование Лоренца , которое можно определить как линейное преобразование четырехмерного пространства-времени, сохраняющее расстояние Лоренца c ² т ² − x ⋅ x каждого вектора ( ct , x ). Тогда теория инвариантна относительно группы Пуанкаре, если для каждого луча Ψ гильбертова пространства и каждого элемента группы ( a , L ) задан преобразованный луч Ψ( a , L ) и вероятность перехода не изменяется при преобразовании:

$\langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .$

Теорема Вигнера гласит, что при этих условиях преобразованиями в гильбертовом пространстве являются либо линейные, либо антилинейные операторы (если при этом они сохраняют норму, то они являются унитарными или антиунитарными операторами); оператор симметрии в проективном пространстве лучей можно перенести в лежащее в его основе гильбертово пространство. Сделав это для каждого элемента группы ( a , L ), мы получаем семейство унитарных или антиунитарных операторов U ( a , L ) в нашем гильбертовом пространстве, такое, что луч Ψ, преобразованный ( a , L ), совпадает с лучом Ψ, преобразованным (a, L). луч, содержащий U ( a , L )ψ. Если мы ограничим внимание элементами группы, связанными с идентичностью, то антиунитарного случая не произойдет.

Пусть ( a , L ) и ( b , M ) — два преобразования Пуанкаре, и обозначим их групповое произведение через ( a , L )⋅( b , M ) ; из физической интерпретации мы видим, что луч, содержащий U ( a , L )[ U ( b , M )ψ], должен (при любом ψ) быть лучом, содержащим U (( a , L )⋅( b , M ))ψ (ассоциативность групповой операции). Возвращаясь от лучей к гильбертовому пространству, эти два вектора могут отличаться по фазе (а не по норме, потому что мы выбираем унитарные операторы), которая может зависеть от двух элементов группы ( a , L ) и ( b , M ) , т. е. у нас есть не представление группы, а скорее проективное представление . Эти фазы не всегда можно отменить путем переопределения каждого U ( a ), например для частиц со спином 1/2. Вигнер показал, что лучшее, что можно получить для группы Пуанкаре, — это

$U(a,L)U(b,M)=\pm U{\big (}(a,L)\cdot (b,M){\big )},$

т.е. фаза кратна $\pi$. Для частиц с целочисленным спином (пионов, фотонов, гравитонов и т. д.) можно убрать знак ± путем дальнейших изменений фазы, но для представлений с полунечетным спином мы не можем этого сделать, и знак меняется скачком при обходе любого оси на угол 2π. Однако мы можем построить представление накрывающей группы Пуанкаре , называемое неоднородной SL(2, C ) ; здесь есть элементы ( a , A ), где, как и раньше, a — четырехвектор, но теперь A — комплексная матрица 2 × 2 с единичным определителем. Мы обозначаем унитарные операторы получаемые через U ( a , A ), и они дают нам непрерывное, унитарное и истинное представление, в котором совокупность U ( a , A ) подчиняется групповому закону неоднородной SL(2, C ) .

Из-за смены знака при вращении на 2π эрмитовы операторы, преобразующиеся как спин 1/2, 3/2 и т. д., не могут быть наблюдаемыми . Это проявляется в виде однолистности суперотбора правила : фазы между состояниями спина 0, 1, 2 и т. д. и состояниями спина 1/2, 3/2 и т. д. не наблюдаются. Это правило является дополнением к ненаблюдаемости общей фазы вектора состояния. О наблюдаемых и состояниях | v ⟩, мы получаем представление U ( a , L ) группы Пуанкаре на подпространствах с целым спином и U ( a , A ) неоднородной SL(2, C ) на полунечетных подпространствах, которое действует согласно следующая интерпретация:

Ансамбль , соответствующий U ( a , L )| v ⟩ следует интерпретировать относительно координат $x'=L^{-1}(x-a)$ точно так же, как и ансамбль, соответствующий | v ⟩ интерпретируется относительно координат x ; и аналогично для нечетных подпространств.

Группа сдвигов пространства-времени коммутативна , поэтому операторы могут быть одновременно диагонализированы. Генераторы этих групп дают нам четыре самосопряженных оператора $P_{0},P_{j},\ j=1,2,3,$ которые преобразуются под действием однородной группы в четырехвектор, называемый четырехвектором энергии-импульса .

Вторая часть нулевой аксиомы Вайтмана состоит в том, что представление U ( a , A ) удовлетворяет спектральному условию — что одновременный спектр энергии-импульса содержится в переднем конусе:

$P_{0}\geq 0,\quad P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.$

Третья часть аксиомы состоит в том, что существует единственное состояние, представленное лучом в гильбертовом пространстве, инвариантное относительно действия группы Пуанкаре. Это называется вакуум.

W1 (предположения о области определения и непрерывности поля)

Для каждой пробной функции f , т.е. для функции с компактным носителем и непрерывными производными любого порядка, существует набор операторов $A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)$ которые вместе со своими сопряженными определены на плотном подмножестве гильбертова пространства состояний, содержащем вакуум. Поля A с операторным значением представляют собой умеренные распределения . Пространство состояний Гильберта натянуто полиномами поля, действующими на вакуум (условие цикличности).

W2 (закон преобразования поля)

Поля ковариантны под действием группы Пуанкаре и преобразуются в соответствии с некоторым представлением S группы Лоренца или SL(2, C ), если спин не является целым:

$U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A{\big (}L^{-1}(x-a){\big )}.$

W3 (локальная коммутативность или микроскопическая причинность)

Если носители двух полей пространственно разделены, то поля либо коммутируют, либо антикоммутируют.

Цикличность вакуума и уникальность вакуума иногда рассматривают отдельно. Кроме того, существует свойство асимптотической полноты - гильбертово пространство состояний натянуто на асимптотические пространства $H^{\text{in}}$ и $H^{\text{out}}$, появляющийся в матрице столкновений S . Другим важным свойством теории поля является разрыв масс , который не требуется аксиомами: спектр энергии-импульса имеет разрыв между нулем и некоторым положительным числом.

Следствия аксиом

Из этих аксиом следуют некоторые общие теоремы:

• Теорема CPT — существует общая симметрия при изменении четности, обращении частица-античастица и инверсии времени (ни одна из этих симметрий сама по себе, как выяснилось, не существует в природе).
• Связь между спином и статистикой - поля, которые преобразуются в соответствии с антикоммутацией полуцелого спина, а поля с целым спином коммутируют (аксиома W3). На самом деле в этой теореме есть тонкие технические детали. Это можно исправить с помощью преобразований Клейна . См. парастатистику , а также призраков в BRST .
• Невозможность сверхсветовой связи - если два наблюдателя разделены пространственно, то действия одного наблюдателя (включая как измерения, так и изменения гамильтониана) не влияют на статистику измерений другого наблюдателя.

Артур Вайтман показал, что распределения вакуумных математических ожиданий , удовлетворяющие определенному набору свойств, следующих из аксиом, достаточны для реконструкции теории поля — теоремы реконструкции Вайтмана , включая существование вакуумного состояния ; он не нашел условия на вакуумные математические ожидания, гарантирующего единственность вакуума; это состояние, кластерное свойство , было обнаружено позднее Ресом Йостом , Клаусом Хеппом , Дэвидом Рюэлем и Отмаром Штайнманном .

Если теория имеет массовый разрыв , т.е. нет масс между 0 и некоторой константой, большей нуля, то распределения вакуумного ожидания асимптотически независимы в отдаленных регионах.

Теорема Хаага утверждает, что не может быть никакой картины взаимодействия — что мы не можем использовать пространство Фока невзаимодействующих частиц в качестве гильбертова пространства — в том смысле, что мы идентифицировали бы гильбертово пространство через полиномы поля, действующие на вакуум в определенный момент времени.

Связь с другими концепциями и концепциями квантовой теории поля

Структура Вайтмана не охватывает состояния с бесконечной энергией, такие как состояния с конечной температурой.

В отличие от локальной квантовой теории поля , аксиомы Вайтмана явно ограничивают причинную структуру теории, навязывая либо коммутативность, либо антикоммутативность между пространственноподобными разделенными полями, вместо того, чтобы выводить причинную структуру в виде теоремы. Если рассматривать обобщение аксиом Вайтмана на размерности, отличные от 4, этот постулат (анти)коммутативности исключает анионы и статистику кос в более низких измерениях.

Постулат Вайтмана об уникальном вакуумном состоянии не обязательно делает аксиомы Вайтмана непригодными для случая спонтанного нарушения симметрии , поскольку мы всегда можем ограничиться сектором суперотбора .

Цикличность вакуума, требуемая аксиомами Вайтмана, означает, что они описывают только сектор суперотбора вакуума; опять же, это не большая потеря общности. Однако это предположение не учитывает состояния с конечной энергией, такие как солитоны, которые не могут быть порождены полиномом полей, размазанными пробными функциями, потому что солитон, по крайней мере, с точки зрения теории поля, представляет собой глобальную структуру, включающую топологические граничные условия на бесконечности. .

Структура Вайтмана не охватывает эффективные теории поля , поскольку нет предела тому, насколько маленькой может быть поддержка тестовой функции. То есть нет шкалы отсечки .

Структура Вайтмана также не охватывает калибровочные теории . Даже в абелевых калибровочных теориях традиционные подходы начинаются с «гильбертова пространства» с неопределенной нормой (следовательно, это не совсем гильбертово пространство, которое требует положительно определенной нормы, но физики, тем не менее, называют его гильбертовым пространством), а также физических состояний и физические операторы принадлежат когомологиям . Очевидно, что это нигде не рассматривается в рамках Вайтмана. (Однако, как показали Швингер, Крист и Ли, Грибов, Цванцигер, Ван Баал и др., каноническое квантование калибровочных теорий в кулоновской калибровке возможно с обычным гильбертовым пространством, и это может быть способом заставить их подпадать под действие закона применимость систематики аксиом.)

Аксиомы Вайтмана можно перефразировать в терминах состояния, называемого функционалом Вайтмана на алгебре Борчерса, равной тензорной алгебре пространства основных функций.

Существование теорий, удовлетворяющих аксиомам

Можно обобщить аксиомы Вайтмана на размерности, отличные от 4. В размерностях 2 и 3 были построены взаимодействующие (т.е. несвободные) теории, удовлетворяющие аксиомам.

В настоящее время нет доказательств того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для взаимодействующих теорий в размерности 4. В частности, Стандартная модель физики элементарных частиц не имеет математически строгой основы. Существует премия в миллион долларов за доказательство того, что аксиомы Вайтмана могут быть выполнены для калибровочных теорий с дополнительным требованием отсутствия масс.

Теорема восстановления Остервальдера – Шредера

При определенных технических предположениях было показано, что евклидова КТП может быть повернута по Вику в КТП Вайтмана, см. теорему Остервальдера-Шредера . Эта теорема является ключевым инструментом для построения взаимодействующих теорий в размерностях 2 и 3, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана.

См. также

• Аксиомы Хаага – Кастлера
• Шестая проблема Гильберта
• Аксиоматическая квантовая теория поля
• Локальная квантовая теория поля

Дальнейшее чтение

• Артур Вайтман , «Шестая проблема Гильберта: математическая трактовка аксиом физики», в книге Ф. Э. Браудера (ред.): Vol. 28 (часть 1) учеб. Симп. Чистая математика. , амер. Математика. Сок., 1976, стр. 241–268.
• Рес Йост , Общая теория квантованных полей , Амер. Математика. Сок., 1965.