Некоммутативная квантовая теория поля

«Некоммутативное поле» перенаправляется сюда. О математических объектах, известных как «некоммутативные поля», см. Разделительное кольцо .

В математической физике некоммутативная квантовая теория поля (или квантовая теория поля в некоммутативном пространстве-времени) представляет собой приложение некоммутативной математики к пространству-времени квантовой теории поля , которое является результатом некоммутативной геометрии и теории индекса , в которых координатные функции некоммутативны ​ . Одна из широко изучаемых версий таких теорий имеет «каноническое» коммутационное соотношение:

$[x^{\mu },x^{\nu }]=i\theta ^{\mu \nu }\,\!$

где $x^{\mu }$ и $x^{\nu }$ являются эрмитовыми генераторами некоммутативной $C^{*}$-алгебра «функций в пространстве-времени». Это означает, что (при любом заданном наборе осей) невозможно точно измерить положение частицы относительно более чем одной оси. Фактически это приводит к соотношению неопределенности для координат, аналогичному принципу неопределенности Гейзенберга .

Для некоммутативной шкалы были заявлены различные нижние пределы (т.е. насколько точно можно измерить положения), но в настоящее время нет экспериментальных доказательств в пользу такой теории или оснований для их исключения.

Одной из новых особенностей некоммутативных теорий поля является смешение УФ и ИК-излучения. явление, при котором физика высоких энергий влияет на физику низких энергий, чего не происходит в квантовых теориях поля, в которых координаты коммутируют.

Другие особенности включают нарушение лоренц-инвариантности из-за предпочтительного направления некоммутативности. Однако релятивистская инвариантность может быть сохранена в смысле скрученной инвариантности Пуанкаре теории. Условие причинности отличается от условия коммутативных теорий.

и

Гейзенберг был первым, кто предложил распространить некоммутативность на координаты как возможный способ устранения бесконечных величин, появлявшихся в теориях поля до того, как процедура перенормировки была разработана и получила признание. Первая статья на эту тему была опубликована в 1947 году Хартландом Снайдером . Успех метода перенормировки привел к тому, что этому вопросу в течение некоторого времени уделялось мало внимания. В 1980-х годах математики, в первую очередь Ален Конн , разработали некоммутативную геометрию . Среди прочего, эта работа обобщила понятие дифференциальной структуры на некоммутативный случай. Это привело к операторно-алгебраическому описанию некоммутативного пространства-времени с проблемой, что оно классически соответствует многообразию с положительно определенным метрическим тензором , так что в этом подходе нет описания (некоммутативной) причинности. Однако это также привело к развитию теории Янга – Миллса на некоммутативном торе .

Сообщество физики элементарных частиц заинтересовалось некоммутативным подходом благодаря статье Натана Зайберга и Эдварда Виттена . В контексте теории струн они утверждали , что координатные функции концов открытых струн, привязанных к D-бране в присутствии постоянного B-поля Неве-Шварца, эквивалентного постоянному магнитному полю на бране, будут удовлетворять некоммутативная алгебра, изложенная выше. Отсюда следует, что квантовую теорию поля в некоммутативном пространстве-времени можно интерпретировать как низкоэнергетический предел теории открытых струн.

Две статьи, одна Серджио Допличера , Клауса Фреденхагена и Джона Робертса. а другой - Д.В. Ахлувалия, изложил еще одну мотивацию возможной некоммутативности пространства-времени. Аргументы следующие: согласно общей теории относительности , когда плотность энергии становится достаточно большой, черная дыра образуется . С другой стороны, согласно принципу неопределенности Гейзенберга , измерение расстояния между пространством и временем вызывает неопределенность в импульсе, обратно пропорциональную степени разделения. Таким образом, энергия, масштаб которой соответствует неопределенности импульса, локализована в системе внутри области, соответствующей неопределенности положения. Когда расстояние достаточно мало, достигается радиус Шварцшильда системы и образуется черная дыра , которая предотвращает выход любой информации из системы. Таким образом, существует нижняя граница измерения длины. Достаточное условие предотвращения гравитационного коллапса можно выразить как соотношение неопределенностей для координат. Это соотношение, в свою очередь, может быть получено из соотношения коммутации координат.

Стоит подчеркнуть, что в отличие от других подходов, в частности, опирающихся на идеи Конна, здесь некоммутативное пространство-время является собственным пространством-временем, т. е. расширяет идею четырехмерного псевдориманова многообразия . С другой стороны, в отличие от некоммутативной геометрии Конна, предложенная модель с нуля оказывается координатно-зависимой.В статье Допличера Фреденхагена Робертса некоммутативность координат касается всех четырех координат пространства-времени, а не только пространственных.

См. также

• Мойал продукт
• Некоммутативная геометрия
• Некоммутативная стандартная модель
• Преобразование Вигнера – Вейля

Дальнейшее чтение

• Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . Всемирная научная. дои : 10.1142/8771 . ISBN  978-981-4472-69-2 .
• М. Р. Дуглас и Н. А. Некрасов, (2001). Некоммутативная теория поля . Преподобный Мод. Физика, 73(4), 977.
• Сабо, Р. (2003) « Квантовая теория поля в некоммутативных пространствах », Physics Reports 378: 207-99. Разъяснительная статья по некоммутативным квантовым теориям поля.
• Некоммутативная квантовая теория поля, см. статистику на arxiv.org.
• В. Моретти (2003), « Аспекты некоммутативной лоренцевой геометрии для глобально гиперболических пространств-временей », Rev. Math. Физ. 15: 1171-1218. Разъяснительная статья (также) о трудностях распространения некоммутативной геометрии на лоренцев случай, описывающий причинность.