Чистая 4D N = 1 супергравитация

В суперсимметрии 4D чистое ${\mathcal {N}}=1$ Супергравитация описывает простейшую четырехмерную супергравитацию с одним суперзарядом и супермультиплетом, содержащим гравитон и гравитино . Действие действия Рариты – состоит из действия Эйнштейна–Гильберта и Швингера . Теория была впервые сформулирована Дэниелом З. Фридманом , Питером ван Ньювенхейзеном и Серджио Феррарой , а также независимо Стэнли Дезером и Бруно Зумино в 1976 году. Единственное последовательное расширение пространства-времени с космологической постоянной — это антиде-ситтеровское пространство , впервые сформулированное Полом Таунсендом в 1977 году. Когда в эту теорию включены дополнительные супермультиплеты материи, результат известен как 4D, связанный с материей. ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация .

Плоское пространство-время

Для описания связи между гравитацией и частицами произвольного спина полезно использовать формализм Вильбейна общей теории относительности . Это заменяет метрику набором векторных полей. $e_{a}=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }$ индексируется плоскими индексами $a$ такой, что

$g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}.$

В каком-то смысле Vielbeins — это квадратный корень метрики. Это вводит новую локальную симметрию Лоренца на вильбейнах. $e_{\mu }^{a}\rightarrow e_{\mu }^{b}\Lambda ^{a}{}_{b}(x)$, вместе с обычной диффеоморфной инвариантностью, связанной с индексами пространства-времени $\mu$. У этого есть связанное соединение, известное как спиновое соединение. $\omega _{\mu }^{ab}$ определяется через $\nabla _{\mu }e_{a}=\omega _{\mu }{}^{b}{}_{a}e_{b}$, это обобщение связи Кристоффеля на произвольные спиновые поля. Например, для спиноров ковариантная производная имеет вид

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab},$

где $\gamma _{a}$ являются гамма-матрицами, удовлетворяющими алгебре Дирака , с $\gamma _{ab}=\gamma _{[a}\gamma _{b]}$. С ними часто заключают контракты на строительство $\gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}$ которые в целом являются полями, зависящими от положения, а не константами. Спиновая связь имеет явное выражение через вильбейн и дополнительный тензор кручения , который может возникнуть, когда в теории присутствует материя. Исчезающее кручение эквивалентно связности Леви-Чивита .

Чистый ${\mathcal {N}}=1$ действие супергравитации в четырех измерениях представляет собой комбинацию действия Эйнштейна-Гильберта и действия Рариты-Швингера.

Чистая 4D супергравитация N=1

$S={\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ eR-{\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ e\ {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }.$

Здесь $M_{P}$ — планковская масса , $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$, и $\psi _{\mu }$ представляет собой Майорановское гравитино со спинорным индексом, оставленным неявным. Рассмотрение этого действия в рамках формализма первого порядка, где и вильбейн, и спиновая связь являются независимыми полями, позволяет решить уравнение движения спиновых связей, показав, что оно имеет кручение $T_{ab}^{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{a}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$. Действие формализма второго порядка тогда достигается путем замены этого выражения для спиновой связи обратно в действие, что дает дополнительные вершины гравитино четвертой степени, при этом действия Эйнштейна – Гильберта и Рариты – Швингера теперь записываются со спиновой связью без кручения, которая явно зависит от вьельбены.

Правила преобразования суперсимметрии, которые оставляют действие инвариантным, таковы:

$\delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },\ \ \ \ \ \ \ \ \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon ,$

где $\epsilon (x)$ – спинорный калибровочный параметр. Хотя исторически первый порядок и второй порядок формализмы были первыми, которые были использованы для демонстрации инвариантности действия, формализм 1,5-го порядка является самым простым для большинства вычислений супергравитации. Дополнительными симметриями действия являются общие преобразования координат и локальные преобразования Лоренца.

Искривленное пространство-время

Четырехмерное ${\mathcal {N}}=1$ Алгебра суперПуанкаре в пространстве-времени Минковского может быть обобщена на антиде-ситтеровское пространство-время, но не на пространство-время де Ситтера тождество супер- Якоби , поскольку в этом случае не может быть удовлетворено . Его действие можно построить, оценив эту супералгебру , получив правила преобразования суперсимметрии для вильбейна и гравитино.

Действия для ${\mathcal {N}}=1$ Супергравитация AdS в четырех измерениях

$S={\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ e{\bigg (}R+{\frac {6}{L^{2}}}{\bigg )}-{\frac {M_{P}^{2}}{2}}\int d^{4}x\ e{\bigg (}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }+{\frac {1}{L}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu }\psi _{\nu }{\bigg )},$

где $L$ — радиус AdS, а второй член — отрицательная космологическая постоянная. $\Lambda =-3/L^{2}$. Преобразования суперсимметрии

$\delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },\ \ \ \ \ \ \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon -{\tfrac {1}{2L}}\gamma _{\mu }\epsilon .$

Хотя билинейный член действия, по-видимому, придает массу гравитино , он по-прежнему принадлежит безмассовому гравитационному супермультиплету. Это связано с тем, что масса не определена четко в искривленном пространстве-времени . $P_{\mu }P^{\mu }$ больше не является оператором Казимира супер-алгебры АдС. Однако общепринято определять массу через оператор Лапласа-Бельтрами , и в этом случае частицы внутри одного и того же супермультиплета имеют разные массы, в отличие от плоского пространства-времени.

См. также

• N = 8 супергравитация