Супергравитация типа IIB

В суперсимметрии супергравитация типа IIB — это уникальная супергравитация в десяти измерениях с двумя суперзарядами одинаковой киральности . Впервые он был построен в 1983 году Джоном Шварцем и независимо Полом Хоу и Питером Уэстом на уровне уравнений движения . Хотя он не допускает полностью ковариантного действия из-за наличия самодуального поля, его можно описать действием, если к полученным уравнениям движения вручную наложить условие самодуальности. Другими типами супергравитации в десяти измерениях являются супергравитация типа IIA , которая имеет два суперзаряда противоположной киральности, и супергравитация типа I , которая имеет один суперзаряд. Эта теория играет важную роль в современной физике, поскольку она представляет собой низкоэнергетический предел теории струн типа IIB .

История

После открытия супергравитации в 1976 году были предприняты концентрированные усилия по созданию различных возможных супергравитаций, которые были классифицированы в 1978 году Вернером Намом . Он показал, что существуют три типа супергравитации в десяти измерениях, позже названные типом I, типом IIA и типом IIB. Хотя и тип I, и тип IIA могут быть реализованы на уровне действия , тип IIB не допускает ковариантного действия. Вместо этого он был впервые полностью описан с помощью уравнений движения, выведенных в 1983 году Джоном Шварцем: и независимо Полом Хоу и Питером Уэстом. В 1995 году стало понятно, что можно эффективно описать теорию, используя псевдодействие, в котором условие самодуальности налагается как дополнительное ограничение на уравнения движения. Основное применение теории — это низкоэнергетический предел струн типа IIB, поэтому она играет важную роль в теории струн , стабилизации модулей типа IIB и соответствии AdS/CFT .

Теория

Десятимерная супергравитация допускает и то, и другое. ${\mathcal {N}}=1$ и ${\mathcal {N}}=2$ супергравитации, которые различаются количеством сверхзарядов Майораны – Вейля спинорных , которыми они обладают. Теория типа IIB имеет два суперзаряда одинаковой киральности, что эквивалентно одному суперзаряду Вейля, который иногда называют десятимерным суперзарядом. ${\mathcal {N}}=(2,0)$ супергравитация. Полевое содержание этой теории определяется десятимерным ${\mathcal {N}}=2$ киральный супермультиплет $(g_{\mu \nu },B,C_{4},C_{2},C_{0},\psi _{\mu },\lambda ,\phi )$. Здесь $g_{\mu \nu }$ – метрика, соответствующая гравитону , а $C_{p}$ 4-формы, 2-формы и 0-формы являются калибровочными полями . Тем временем, $B$ – поле Кальба–Рамонда и $\phi$ это дилатон . Существует также одиночное левостороннее гравитино Вейля. $\psi _{\mu }$, что эквивалентно двум левым гравитино Майораны – Вейля и одному правому фермиону Вейля $\lambda$, также эквивалентный двум правым фермионам Майораны – Вейля.

Алгебра

Супералгебра для десятимерного ${\mathcal {N}}=(2,0)$ суперсимметрия определяется выражением

$\{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\delta ^{ij}(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }{\tilde {Z}}_{\mu }^{ij}+\epsilon ^{ij}(P\gamma ^{\mu \nu \rho }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho }$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\delta ^{ij}(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }+(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }({\tilde {Z}})_{\mu \nu \rho \sigma \delta }^{ij}.$

Здесь $Q_{\alpha }^{i}$ с $i=1,2$ — это два суперзаряда Майораны–Вейля одинаковой киральности. Следовательно, они удовлетворяют проекционному соотношению $PQ_{\alpha }^{i}=Q_{\alpha }^{i}$ где $P={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{*})$ — левый оператор проекции киральности и $\gamma _{*}$ — десятимерная матрица киральности .

The $ij$ матрицы, разрешенные в правой части, фиксируются тем фактом, что они должны представлениями быть ${\text{SO}}(2)$ R- симметрии группа теории типа IIB, что позволяет только $\delta ^{ij}$, $\epsilon ^{ij}$ и бесследовые симметричные матрицы $Z^{ij}$. Поскольку антикоммутатор симметричен относительно замены спинора и $i,j$ индексов, максимально расширенная супералгебра может иметь только члены с тем же свойством киральности и симметрии, что и антикоммутатор. Таким образом, эти термины являются продуктом одного из $ij$ матрицы с $P\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C$, где $C$ – оператор зарядового сопряжения . В частности, когда спинорная матрица симметрична, она умножается ${\tilde {Z}}^{ij}$ или $\delta ^{ij}$ а когда он антисимметричен, он умножается $\epsilon ^{ij}$. В десяти измерениях $\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C$ симметричен для $p=1,2$ модуль $4$ и антисимметричный для $p=3,0$ модуль $4$. Поскольку оператор проектирования $P$ представляет собой сумму единицы и гамма -матрицы , это означает, что симметричная комбинация работает, когда $p=1$ модуль $4$ и антисимметричный, когда $p=3$ модуль $4$. Это дает все центральные заряды, найденные в супералгебре, с точностью до двойственности Пуанкаре .

Каждый из центральных зарядов связан с различными состояниями BPS , которые встречаются в теории. ${\tilde {Z}}^{ij}$ центральные заряды соответствуют фундаментальной струне и бране D1 , $Z_{\mu \nu \rho }$ связан с браной D3, а $Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }$ и ${\tilde {Z}}_{\mu \nu \rho \sigma \delta }^{ij}$ дать три 5-образных заряда. Одна — D5-брана, другая — NS5-брана , а последняя связана с монополем КК .

Самодвойственное поле

Чтобы мультиплет супергравитации имел равное число бозонных и фермионных степеней свободы , четырехформа $C_{4}$ должно иметь 35 степеней свободы. Это достигается, когда соответствующий тензор напряженности поля самодуален. $\star {\tilde {F}}_{5}={\tilde {F}}_{5}$, устраняя половину степеней свободы, которые в противном случае можно было бы найти в калибровочном поле 4-формы.

Это представляет проблему при построении действия, поскольку кинетический член для самодуального поля 5-формы обращается в нуль. Первоначальный способ решения этой проблемы заключался в том, чтобы работать только на уровне уравнений движения, где самодуальность — это просто еще одно уравнение движения. Хотя можно сформулировать ковариантное действие с правильными степенями свободы, введя вспомогательное поле и компенсирующую калибровочную симметрию , более распространенный подход состоит в том, чтобы вместо этого работать с псевдодействием, в котором самодуальность налагается как дополнительное ограничение на уравнения движения. Без этого ограничения действие не может быть суперсимметричным, поскольку оно не имеет равного числа фермионных и бозонных степеней свободы. В отличие, например, от супергравитации типа IIA, супергравитация типа IIB не может быть получена как уменьшение теории в более высоких измерениях.

Псевдодействие

Бозонная часть псевдодействия для супергравитации типа IIB определяется выражением

$S_{IIB,{\text{bosonic}}}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}e^{-2\phi }{\bigg [}R+4\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}|H|^{2}{\bigg ]}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\big [}|F_{1}|^{2}+|{\tilde {F}}_{3}|^{2}+{\tfrac {1}{2}}|{\tilde {F}}_{5}|^{2}{\big ]}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int C_{4}\wedge H\wedge F_{3}.$

Здесь ${\tilde {F}}_{3}=F_{3}-C_{0}\wedge H$ и ${\tilde {F}}_{5}=F_{5}-{\tfrac {1}{2}}C_{2}\wedge H+{\tfrac {1}{2}}B\wedge F_{3}$ представляют собой модифицированные тензоры напряженности поля для калибровочных полей 2-формы и 4-формы, причем результирующее тождество Бьянки для 5-формы имеет вид $d{\tilde {F}}_{5}=H\wedge F_{3}$. Для кинетических членов используются обозначения: $|F_{p}|^{2}={\tfrac {1}{p!}}F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}F^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$. Самодвойственность ${\tilde {F}}_{5}=\star {\tilde {F}}_{5}$ должно быть вручную наложено на уравнения движения, что делает это псевдодействием, а не обычным действием.

Первая строка действия содержит действие Эйнштейна–Гильберта , дилатонный кинетический член и тензор напряженности поля Калба–Рамонда. $H=dB$. Первый член во второй строке имеет соответствующим образом модифицированные тензоры напряженности поля для трех $C_{p}$ калибровочные поля, а последний член представляет собой член Черна – Саймонса . Действие записывается в строковом фрейме , что позволяет приравнять поля к состояниям строки типа IIB. В частности, первая строка состоит из кинетических членов для полей NSNS , причем эти члены идентичны тем, которые встречаются в супергравитации типа IIA. При этом первый интеграл во второй строке состоит из кинетического члена для полей RR .

Глобальная симметрия

Супергравитация типа IIB имеет глобальную некомпактную структуру. ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ симметрия . Это можно сделать явным, переписав действие в системе Эйнштейна. $g_{\mu \nu }\rightarrow e^{\phi /2}g_{\mu \nu }$ и определение аксио-дилатонного комплексного скалярного поля $\tau =C_{0}+ie^{-\phi }$. Знакомство с матрицей

$M_{ij}={\frac {1}{{\text{Im}}\ \tau }}{\begin{pmatrix}|\tau |^{2}&-{\text{Re}}\ \tau \\-{\text{Re}}\ \tau &1\end{pmatrix}}$

и объединение двух тензоров напряженности поля трех форм в дублет $F_{3}^{i}=(H,F_{3})$, действие становится

$S_{IIB}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}R-{\frac {\partial _{\mu }\tau \partial ^{\mu }{\bar {\tau }}}{2({\text{Im}}\ \tau )^{2}}}-{\frac {1}{12}}M_{ij}F_{3,\mu \nu \rho }^{i}F_{3}^{j,\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}|{\tilde {F}}_{5}|^{2}{\bigg ]}-{\frac {\epsilon _{ij}}{8\kappa ^{2}}}\int C_{4}\wedge F_{3}^{i}\wedge F_{3}^{j}.$

Это действие явно инвариантно относительно преобразования $\Lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ который преобразует 3-формы $F_{3}^{i}\rightarrow \Lambda ^{i}{}_{j}F_{3}^{j}$ и аксио-дилатон как

$\tau \rightarrow {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\ \ \ \ {\text{where}}\ \ \ \Lambda ={\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}.$

Как метрика, так и самодуальный тензор напряженности поля инвариантны относительно этих преобразований. Инвариантность тензоров напряженности поля 3-й формы следует из того, что $M\rightarrow (\Lambda ^{-1})^{T}M\Lambda ^{-1}$.

Преобразования суперсимметрии

Уравнения движения, полученные в результате действия супергравитации, инвариантны относительно следующих преобразований суперсимметрии

$\delta e_{\mu }{}^{a}={\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },$

$\delta \psi _{\mu }=(D_{\mu }\epsilon -{\tfrac {1}{8}}H_{\alpha \beta \mu }\gamma ^{\alpha \beta }\sigma ^{3})\epsilon +{\tfrac {1}{16}}e^{\phi }\sum _{n=1}^{6}{\frac {{F\!\!\!/}^{(2n-1)}}{(2n-1)!}}\gamma _{\mu }{\mathcal {P}}_{n}\epsilon ,$

$\delta B_{\mu \nu }=2{\bar {\epsilon }}\sigma ^{3}\gamma _{[\mu }\psi _{\nu ]},$

$\delta C_{\mu _{1},\cdots \mu _{2n-2}}^{(2n-2)}=-(2n-2)e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}{\mathcal {P}}_{n}\gamma _{[\mu _{1}\cdots \mu _{2n-3}}(\psi _{\mu _{2n-2}]}-{\tfrac {1}{2(2n-2)}}\gamma _{\mu _{2n-2}]}\lambda )$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{\tfrac {1}{2}}(2n-2)(2n-3)C_{[\mu _{1}\cdots \mu _{2n-4}}^{(2n-4)}\delta B_{\mu _{2n-3}\mu _{2n-2}]},$

$\delta \lambda =({\partial \!\!\!/}\phi -{\tfrac {1}{12}}H_{\mu \nu \rho }\gamma ^{\mu \nu \rho }\sigma ^{3})\epsilon +{\tfrac {1}{4}}e^{\phi }\sum _{n=1}^{6}{\frac {n-3}{(2n-1)!}}{F\!\!\!/}^{(2n-1)}{\mathcal {P}}_{n}\epsilon ,$

$\delta \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\lambda .$

Здесь $F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$ – тензоры напряженности поля, связанные с $C^{(p-1)}$ калибровочные поля, включая все их магнитные двойники для $p>5$, пока ${F\!\!\!/}^{(p)}=F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}$. Кроме того, ${\mathcal {P}}_{n}=\sigma ^{1}$ когда $n$ четный и ${\mathcal {P}}_{n}=i\sigma ^{2}$ когда это странно.

Связь с теорией струн

Супергравитация типа IIB — это низкоэнергетический предел теории струн типа IIB. Поля супергравитации в струнной системе напрямую связаны с различными безмассовыми состояниями теории струн. В частности, метрика, поле Калба–Рамонда и дилатон являются NSNS-полями, а три $C_{p}$ p-формы являются полями RR. При этом константа гравитационной связи связана с наклоном Редже соотношением $2\kappa ^{2}=(2\pi )^{7}\alpha '^{4}$.

Глобальный ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ симметрия супергравитации не является симметрией теории струн полного типа IIB, поскольку она смешивала бы $B$ и $C_{2}$ поля. Этого не происходит в теории струн, поскольку одно из них является полем NSNS, а другое - полем RR, причем они имеют разную физику, например, первое связано со струнами, а второе - нет. Вместо этого симметрия нарушается до дискретной подгруппы ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )\subset {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ что считается симметрией теории струн полного типа IIB.

Квантовая теория свободна от аномалий , а гравитационные аномалии точно компенсируются. В теории струн псевдодействие получает хорошо изученные поправки, которые подразделяются на два типа. Первые представляют собой квантовые поправки, связанные со связью струн, а вторые — струнные поправки, связанные с наклоном Редже. $\alpha '$. Эти поправки играют важную роль во многих сценариях стабилизации модулей.

Уменьшение размеров супергравитаций типа IIA и типа IIB обязательно приводит к одной и той же девятимерной ${\mathcal {N}}=2$ теории, поскольку в этом измерении существует только одна супералгебра этого типа. Это тесно связано с Т-двойственностью соответствующих теорий струн.