Рамки Джордана и Эйнштейна

Лагранжиан , которые являются полевыми переменными , в скалярно-тензорной теории может быть выражен в системе Иордана или в системе Эйнштейна которые подчеркивают различные аспекты уравнений гравитационного поля и уравнений эволюции полей материи. В системе Иордана скалярное поле или некоторая его функция умножает скаляр Риччи в лагранжиане, и материя обычно минимально связана с метрикой, тогда как в системе Эйнштейна скаляр Риччи не умножается на скалярное поле и материя связана неминимально. В результате в системе Эйнштейна уравнения поля для метрики пространства-времени напоминают уравнения Эйнштейна , но пробные частицы не движутся по геодезическим метрики. С другой стороны, в жордановой системе отсчета пробные частицы движутся по геодезическим, но уравнения поля сильно отличаются от уравнений Эйнштейна. Причинная структура в обоих фреймах всегда эквивалентна, и фреймы могут трансформироваться друг в друга так, как удобно для данного приложения.

Кристофер Хилл и Грэм Росс показали, что в системе Иордана существуют «члены гравитационного контакта», в соответствии с которыми действие модифицируется обменом гравитонами . Эта модификация возвращает нас к системе Эйнштейна как к эффективной теории. Контактные взаимодействия возникают в диаграммах Фейнмана , когда вершина содержит степень обмененного импульса: $q^{2}$, который затем отменяется против пропагатора Фейнмана , $1/q^{2}$, что приводит к точечному взаимодействию. Это должно быть включено как часть эффективного действия теории. Когда включен контактный член, результаты для амплитуд в системе Иордана будут эквивалентны амплитудам в системе Эйнштейна, ирезультаты физических расчетов в жордановой системе координат, в которых не учитываются контактные члены, обычно будут неверными. Это означает, что действие жордановой системы координат вводит в заблуждение, а система Эйнштейна однозначно правильна для полного представления физики.

Уравнения и физическая интерпретация

Если мы выполним масштабирование Вейля ${\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu }$, то тензоры Римана и Риччи изменяются следующим образом.

${\sqrt {-{\tilde {g}}}}=\Phi ^{-d/(d-2)}{\sqrt {-g}}$

${\tilde {R}}=\Phi ^{2/(d-2)}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left({\frac {\nabla \Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]$

В качестве примера рассмотрим преобразование простого скалярно-тензорного действия с произвольным набором полей материи $\psi _{\mathrm {m} }$ минимально связан с изогнутым фоном

$S=\int d^{d}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}\Phi {\tilde {R}}+S_{\mathrm {m} }[{\tilde {g}}_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]=\int d^{d}x{\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left(\nabla \left(\ln \Phi \right)\right)^{2}\right]+S_{\mathrm {m} }[\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]$

Поля с тильдой тогда соответствуют величинам в системе Иордана, а поля без тильды соответствуют полям в системе Эйнштейна. Смотрите, что дело в действии $S_{\mathrm {m} }$ меняется только при масштабировании метрики.

Системы Иордана и Эйнштейна созданы для того, чтобы упростить определенные части физических уравнений, что также придает системам координат и появляющимся в них полям особые физические интерпретации. Например, в системе Эйнштейна уравнения гравитационного поля будут иметь вид

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\mathrm {other\;fields} \,.$

Т.е. их можно интерпретировать как обычные уравнения Эйнштейна с конкретными источниками в правой части. Аналогично, в ньютоновском пределе можно было бы восстановить уравнение Пуассона для ньютоновского потенциала с отдельными исходными членами.

Однако благодаря преобразованию в систему Эйнштейна поля материи теперь связаны не только с фоном, но и с полем $\Phi$ который теперь действует как эффективный потенциал. В частности, изолированная пробная частица испытает универсальное четырехкратное ускорение.

$a^{\mu }={\frac {-1}{d-2}}{\frac {\Phi _{,\nu }}{\Phi }}(g^{\mu \nu }+u^{\mu }u^{\nu }),$

где $u^{\mu }$ – четырехскоростная частица. Т.е. в системе Эйнштейна ни одна частица не будет находиться в свободном падении.

С другой стороны, в жордановой системе координат все поля материи $\psi _{\mathrm {m} }$ минимально связаны с ${\tilde {g}}_{\mu \nu }$ а изолированные пробные частицы будут двигаться по геодезическим относительно метрики ${\tilde {g}}_{\mu \nu }$. Это означает, что если бы мы восстановили тензор кривизны Римана путем измерения геодезического отклонения, мы фактически получили бы тензор кривизны в системе Иордана. С другой стороны, когда мы делаем вывод о наличии источников материи в результате гравитационного линзирования из обычной релятивистской теории, мы получаем распределение источников материи в смысле системы Эйнштейна.

Модели

Гравитацию системы Иордана можно использовать для расчета сингулярной прыгающей космологической эволюции типа IV и получения сингулярности типа IV.

См. также

• Альберт Эйнштейн
• Паскуаль Джордан

Ссылки

• Валерио Фараони, Эдгард Гунциг, Паскуале Нардоне, Конформные преобразования в классических теориях гравитации и в космологии, Фундамент. Косм. Физ. 20 (1999): 121, arXiv : gr-qc/9811047 .
• Эанна Э. Фланаган, Свобода конформной системы отсчета в теориях гравитации, Класс. В. Грав. 21 (2004): 3817, arXiv : gr-qc/0403063 .