Ньютоновский предел

В физике предел Ньютона — это математическое приближение, применимое к физическим системам, демонстрирующим (1) слабую гравитацию , (2) объекты, движущиеся медленно по сравнению со скоростью света, и (3) медленно меняющиеся (или полностью статичные) гравитационные поля. В этих условиях Ньютона закон всемирного тяготения можно использовать для получения точных значений. В общем, при наличии значительной гравитации общую теорию относительности необходимо использовать .

В ньютоновском пределе пространство-время примерно плоское. а метрику Минковского можно использовать на конечных расстояниях. В этом случае «приблизительно плоское» определяется как пространство, в котором гравитационное воздействие приближается к 0, математически актуальное пространство-время и пространство Минковского не идентичны, пространство Минковского представляет собой идеализированную модель.

Специальная теория относительности

В специальной теории относительности ньютоновское поведение в большинстве случаев можно получить, выполнив предельное условие $v\to 0$. В этом пределе часто встречающийся гамма-фактор становится равным 1. $${\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}&\to 1\end{aligned}}$$а преобразования Лоренца между системами отсчета превращаются в преобразования Галилея $${\begin{aligned}t'=\gamma (t-v/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (x-v\,t)&\to x'=x-v\,t\end{aligned}}$$

Общая теория относительности

свободной Уравнение геодезических частицы в искривленном пространстве-времени с метрикой $g^{\mu \nu }$ может быть получено из действия $${\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu }\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }}}\end{aligned}}$$Если метрика пространства-времени $${\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}-1-{\frac {2\,\phi (x)}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$тогда, игнорируя все вклады порядка ${\frac {1}{c^{2}}}$ действие становится $${\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}}\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2}}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-m\,\phi (x)\right)\end{aligned}}$$действие, воспроизводящее ньютоновские уравнения движения частицы в гравитационном потенциале $\phi (x)$

См. также

• Классический предел