Скалярно-тензорная теория

В теоретической физике скалярно -тензорная теория — это теория поля , которая включает как скалярное, так и тензорное поле для представления определенного взаимодействия. Например, Бранса-Дикке теория гравитации тензорное использует как скалярное, так и поле для обеспечения гравитационного взаимодействия .

Тензорные поля и теория поля

Современная физика пытается вывести все физические теории из как можно меньшего количества принципов. Таким образом, ньютоновская механика , как и квантовая механика, вытекает из Гамильтона принципа наименьшего действия . В этом подходе поведение системы описывается не силами , а функциями, описывающими энергию системы. Наиболее важными являются энергетические величины, известные как функция Гамильтона и функция Лагранжа . Их производные в пространстве известны как плотность гамильтониана и плотность лагранжа . Обращение к этим величинам приводит к теориям поля.

Современная физика использует теории поля для объяснения реальности. Эти поля могут быть скалярными , векторными или тензорными . Примером скалярного поля является поле температуры. Примером векторного поля является поле скорости ветра. Примером тензорного поля является поле тензора напряжений в нагруженном теле, используемое в механике сплошных сред .

Гравитация как теория поля

В физике силы (как векторные величины) представляют собой производную (градиент) скалярных величин, называемых потенциалами. В классической физике до Эйнштейна гравитация задавалась таким же образом как следствие гравитационной силы (векторной), заданной через скалярное потенциальное поле, зависящее от массы частиц. Таким образом, ньютоновская гравитация называется скалярной теорией . Гравитационная сила зависит от расстояния r массивных объектов друг от друга (точнее, от их центра масс). Масса — это параметр, а пространство и время неизменны.

Теория гравитации Эйнштейна, Общая теория относительности (ОТО), имеет другую природу. Он объединяет пространство и время в 4-мерном многообразии, называемом пространством-временем. В ОТО нет гравитационной силы, вместо этого действия, которые мы приписываем силе, являются следствием локальной кривизны пространства-времени. Эта кривизна определяется математически так называемой метрикой , которая является функцией полной энергии, включая массу, в этой области. Производная метрики — это функция, которая в большинстве случаев аппроксимирует классическую силу Ньютона. Метрика представляет собой тензорную величину степени 2 (ее можно представить в виде матрицы 4x4, объекта, несущего 2 индекса).

Другая возможность объяснить гравитацию в этом контексте - использовать как тензорные (степени n>1), так и скалярные поля, т.е. так, чтобы гравитация не задавалась ни исключительно через скалярное поле, ни только через метрику. Это скалярно-тензорные теории гравитации.

Теоретическое начало общей теории относительности задается через плотность Лагранжа. Это скалярная и калибровочно-инвариантная (см. калибровочные теории ) величина, зависящая от скаляра кривизны R. Этот лагранжиан, следуя принципу Гамильтона, приводит к уравнениям поля Гильберта и Эйнштейна . Если в лагранжиане кривизну (или связанную с ней величину) умножить на квадратное скалярное поле, получаются полевые теории скалярно-тензорных теорий гравитации. В них гравитационная постоянная Ньютона уже не реальная константа, а величина, зависящая от скалярного поля.

Математическая формулировка

Действие такой гравитационной скалярно-тензорной теории можно записать следующим образом:

S={\frac {1}{c}}\int {d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {1}{2\mu }}}\times \left[\Phi R-{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}-V(\Phi )+2\mu ~{\mathcal {L}}_{m}(g_{\mu \nu },\Psi )\right],

где $g$ – определитель метрики, $R$ – скаляр Риччи, построенный по метрике $g_{\mu \nu }$ , $\mu$ — константа связи с размерами $L^{-1}M^{-1}T^{2}$ , $V(\Phi )$ – потенциал скалярного поля, ${\mathcal {L}}_{m}$ является материальным лагранжианом и $\Psi$ представляет собой негравитационные поля. Здесь параметр Бранса–Дике $\omega$ было обобщено до функции. Хотя $\mu$ часто пишется как $8\pi G/c^{4}$ , следует иметь в виду, что фундаментальная константа $G$ там нет константы гравитации , которую можно было бы измерить, например, с помощью экспериментов типа Кавендиша . Действительно, эмпирическая гравитационная постоянная, как правило, больше не является константой в скалярно-тензорных теориях, а является функцией скалярного поля. $\Phi$ . Уравнения метрики и скалярного поля соответственно записывают:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {\mu }{\Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi +{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi ^{2}}}(\partial _{\mu }\Phi \partial _{\nu }\Phi -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\Phi )^{2})-g_{\mu \nu }{\frac {V(\Phi )}{2\Phi }},

и

{\frac {2\omega (\Phi )+3}{\Phi }}\Box \Phi ={\frac {\mu }{\Phi }}T-{\frac {\omega '(\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}+V'(\Phi )-2{\frac {V(\Phi )}{\Phi }}.

Кроме того, теория удовлетворяет следующему уравнению сохранения, подразумевающему, что пробные частицы следуют геодезическим координатам пространства-времени , например, в общей теории относительности:

\nabla _{\sigma }T^{\mu \sigma }=0,

где $T^{\mu \sigma }$ – тензор энергии-напряжения, определяемый как

T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m})}{\delta g^{\mu \nu }}}.

Ньютоновское приближение теории

Развивая пертурбативно теорию, определенную предыдущим действием, на фоне Минковского и предполагая нерелятивистские источники гравитации, первый порядок дает ньютоновское приближение теории. В этом приближении и для теории без потенциала метрика имеет вид

g_{00}=-1+2{\frac {U}{c^{2}}}+{\mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}={\mathcal {O}}(c^{-2}),~g_{ij}=\delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-1}),

с $U$ удовлетворяющее следующему обычному уравнению Пуассона в низшем порядке приближения:

\triangle U=8\pi G_{\mathrm {eff} }~\rho +{\mathcal {O}}(c^{-1}),

где $\rho$ - плотность источника гравитации и $G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}$ (нижний индекс $_{0}$ указывает на то, что соответствующее значение взято в настоящее космологическое время и местоположение). Следовательно, эмпирическая гравитационная постоянная является функцией текущего значения фона скалярного поля. $\Phi _{0}$ и поэтому теоретически зависит от времени и места. ^{[ 1 ]} Однако никаких отклонений от постоянства гравитационной постоянной Ньютона не было измерено. ^{[ 2 ]} подразумевая, что фон скалярного поля $\Phi _{0}$ довольно стабилен во времени. Такая стабильность теоретически обычно не ожидается, но теоретически может быть объяснена несколькими механизмами. ^{[ 3 ]}

Первое постньютоновское приближение теории

Развитие теории на следующем уровне приводит к так называемому первому постньютоновскому порядку. Для теории без потенциала и в системе координат с учетом условия слабой изотропии ^{[ 4 ]} (т.е. $g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,$ ), метрика принимает следующий вид:

g_{00}=-1+{\frac {2W}{c^{2}}}-\beta {\frac {2W^{2}}{c^{4}}}+{\mathcal {O}}(c^{-5})

g_{0i}=-(\gamma +1){\frac {2W_{i}}{c^{3}}}+{\mathcal {O}}(c^{-4})

g_{ij}=\delta _{ij}\left(1+\gamma {\frac {2W}{c^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(c^{-3})

с ^{[ 5 ]}

\Box W+{\frac {1+2\beta -3\gamma }{c^{2}}}W\triangle W+{\frac {2}{c^{2}}}(1+\gamma )\partial _{t}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma +{\mathcal {O}}(c^{-3})~,

\triangle W_{i}-\partial x_{i}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma ^{i}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~,

где $J$ — функция, зависящая от координатной шкалы

J=\partial _{t}W+\partial _{k}W_{k}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~.

Он соответствует оставшейся степени свободы диффеоморфизма , не фиксируемой условием слабой изотропии. Источники определяются как

\Sigma ={\frac {1}{c^{2}}}(T^{00}+\gamma T^{kk})~,\qquad \Sigma ^{i}={\frac {1}{c}}T^{0i}~,

так называемые параметры постньютоновские

\gamma ={\frac {\omega _{0}+1}{\omega _{0}+2}}~,

\beta =1+{\frac {\omega _{0}^{\prime }}{(2\omega _{0}+3)(2\omega _{0}+4)^{2}}}~,

и, наконец, эмпирическая гравитационная постоянная $G_{\mathrm {eff} }$ дается

G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{~2\omega _{0}+3~}}\,G~,

где $G$ (истинная) константа, которая появляется в константе связи $\mu$ определено ранее.

Наблюдательные ограничения теории

Текущие наблюдения показывают, что $\gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}$ , ^{[ 2 ]} это означает, что $\omega _{0}>40000$ . Хотя объяснить такую величину в контексте исходной теории Брана – Дике невозможно, Дамур и Нордтведт обнаружили, что уравнения поля общей теории часто приводят к эволюции функции $\omega$ к бесконечности в ходе эволюции Вселенной. ^{[ 3 ]} Отсюда, по их мнению, текущее высокое значение функции $\omega$ может быть простым следствием эволюции Вселенной.

Семь лет данных миссии NASA MESSENGER ограничивают постньютоновский параметр. $\beta$ для смещения перигелия Меркурия на $|\beta -1|<1.6\times 10^{-5}$ . ^{[ 6 ]}

Оба ограничения показывают, что, хотя теория все еще является потенциальным кандидатом на замену общей теории относительности, скалярное поле должно быть очень слабо связанным, чтобы объяснить текущие наблюдения.

Обобщенные скалярно-тензорные теории также были предложены в качестве объяснения ускоренного расширения Вселенной, но измерение скорости гравитации с помощью гравитационно-волнового события GW170817 исключило это. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Многомерная теория относительности и скалярно-тензорные теории

После постулирования общей теории относительности Эйнштейна и Гильберта Теодор Калуца и Оскар Кляйн предложили в 1917 году обобщение на 5-мерное многообразие: теорию Калуцы – Клейна . Эта теория обладает 5-мерной метрикой (с компактифицированной и постоянной 5-й компонентой метрики, зависящей от калибровочного потенциала ) и объединяет гравитацию и электромагнетизм , т. е. происходит геометризация электродинамики.

Эта теория была модифицирована в 1955 году П. Джорданом в его проективной теории относительности следуя теоретико-групповым рассуждениям, Джордан взял функциональную 5-ю метрическую составляющую, что привело к переменной гравитационной постоянной G. , в которой , В своей оригинальной работе он ввел параметры связи скалярного поля, чтобы также изменить сохранение энергии, согласно идеям Дирака .

Следуя теории конформной эквивалентности , многомерные теории гравитации эквивалентны теориям обычной общей теории относительности в 4 измерениях с дополнительным скалярным полем. Одним из таких случаев является теория Джордана, которая, не нарушая сохранения энергии (что должно быть справедливо, учитывая, что микроволновое фоновое излучение исходит от черного тела), эквивалентна теории К. Бранса и Роберта Х. Дике 1961 г., так что обычно говорят о теории Бранса-Дике . Теория Бранса-Дикке следует идее модификации теории Гильберта-Эйнштейна, чтобы она была совместима с принципом Маха . Для этого гравитационная постоянная Ньютона должна была быть переменной, зависящей от распределения массы во Вселенной, как функция скалярной переменной, связанной как поле в лагранжиане. Он использует скалярное поле бесконечной длины (т.е. дальнодействующее), поэтому, на языке безмассовым теории ядерной физики Юкавы, это скалярное поле является полем . Эта теория становится эйнштейновой при больших значениях параметра скалярного поля.

В 1979 году Р. Вагонер предложил обобщение скалярно-тензорных теорий с использованием более чем одного скалярного поля, связанного со скалярной кривизной.

Теории JBD хотя и не меняют уравнение геодезических для пробных частиц, но меняют движение составных тел на более сложное. Связь универсального скалярного поля непосредственно с гравитационным полем приводит к потенциально наблюдаемым эффектам для движения конфигураций материи, в которые гравитационная энергия вносит значительный вклад. Это известно как эффект «Дикке – Нордтведта», который приводит к возможным нарушениям сильного, а также слабого принципа эквивалентности для расширенных масс.

Теории типа JBD со скалярными полями ближнего действия используют, согласно теории Юкавы, массивные скалярные поля . Первая из этих теорий была предложена А. Зи в 1979 году. Он предложил теорию нарушенной симметрии гравитации, объединив идею Брана и Дике с идеей нарушения симметрии, которая является существенной в рамках Стандартной модели СМ элементарных частиц . где так называемое нарушение симметрии приводит к образованию массы (в результате взаимодействия частиц с полем Хиггса). Зи предложил поле Хиггса СМ как скалярное поле и, следовательно, поле Хиггса для генерации гравитационной постоянной.

Взаимодействие поля Хиггса с частицами, приобретающими через него массу, является короткодействующим (т. е. типа Юкавы) и гравитационным (из него можно получить уравнение Пуассона) даже в пределах СМ, так что была взята идея Зи 1992 г. за скалярно-тензорную теорию с полем Хиггса как скалярное поле с механизмом Хиггса. Там массивное скалярное поле соединяется с массами, которые одновременно являются источником скалярного поля Хиггса, которое генерирует массу элементарных частиц посредством нарушения симметрии. Для исчезающего скалярного поля эти теории обычно переходят к стандартной Общей теории относительности, и из-за природы массивного поля для таких теорий возможно, что параметр скалярного поля (константа связи) не обязательно должен быть таким большим, как в стандартных теориях JBD. Однако пока неясно, какая из этих моделей лучше объясняет феноменологию, встречающуюся в природе, и действительно ли такие скалярные поля заданы или необходимы в природе. Тем не менее, теории JBD используются для объяснения инфляция (для безмассовых скалярных полей тогда говорят о поле инфлатона) после Большого взрыва, а также квинтэссенция . Кроме того, они являются возможностью объяснить динамику, обычно даваемую с помощью стандартных моделей холодной темной материи , а также MOND , Аксионов (также из «Нарушения симметрии»), MACHOS ,...

Связь с теорией струн

Общее предсказание всех моделей теории струн состоит в том, что у гравитона со спином 2 есть партнер со спином 0, называемый дилатоном . ^{[ 12 ]} Следовательно, теория струн предсказывает, что реальная теория гравитации представляет собой скалярно-тензорную теорию, а не общую теорию относительности. Однако точная форма такой теории в настоящее время не известна, поскольку нет математических инструментов для проведения соответствующих непертурбативных вычислений. Кроме того, точная эффективная четырехмерная форма теории также сталкивается с так называемой проблемой ландшафта .

См. также

Вырожденные скалярно-тензорные теории высшего порядка - Теория гравитации
Дилатон – Гипотетическая частица
Частица-хамелеон - гипотетическая скалярная частица, которая имеет более слабую материю, чем гравитация.
Прессурон - Гипотетическая гравитационная частица
Теория Хорндески - Обобщенная теория гравитации

Ссылки

^ Галиаутдинов Андрей; Копейкин, Сергей М. (10 августа 2016 г.). «Постньютоновская небесная механика в скалярно-тензорной космологии». Физический обзор D . 94 (4): 044015. arXiv : 1606.09139 . Бибкод : 2016PhRvD..94d4015G . дои : 10.1103/PhysRevD.94.044015 . S2CID 32869795 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Узан, Жан-Филипп (1 декабря 2011 г.). «Варьирующиеся константы, гравитация и космология» . Живые обзоры в теории относительности . 14 (1): 2. arXiv : 1009.5514 . Бибкод : 2011LRR....14....2U . дои : 10.12942/lrr-2011-2 . ISSN 2367-3613 . ПМК 5256069 . ПМИД 28179829 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дамур, Тибо ; Нордтведт, Кеннет (12 апреля 1993 г.). «Общая теория относительности как космологический аттрактор тензорно-скалярных теорий». Письма о физических отзывах . 70 (15): 2217–2219. Бибкод : 1993PhRvL..70.2217D . дои : 10.1103/PhysRevLett.70.2217 . ПМИД 10053505 .
^ Дамур, Тибо; Соффель, Майкл; Сюй, Чунмин (15 мая 1991 г.). «Общая релятивистская небесная механика. I. Метод и определение систем отсчета». Физический обзор D . 43 (10): 3273–3307. Бибкод : 1991PhRvD..43.3273D . дои : 10.1103/PhysRevD.43.3273 . ПМИД 10013281 .
^ Минаццоли, Оливье; Шовино, Бертран (2011). «Скалярно-тензорное распространение света во внутренней Солнечной системе, включая соответствующие вклады c ^ {-4} для измерения дальности и передачи времени» . Классическая и квантовая гравитация . 28 (8): 085010. arXiv : 1007.3942 . Бибкод : 2011CQGra..28h5010M . дои : 10.1088/0264-9381/28/8/085010 . S2CID 119118136 .
^ Дженуя, Антонио; Мазарико, Эрван; Гуссенс, Сандер; Лемуан, Фрэнк Г.; Нойманн, Грегори А.; Смит, Дэвид Э.; Зубер, Мария Т. (18 января 2018 г.). «Расширение Солнечной системы и строгий принцип эквивалентности глазами миссии НАСА MESSENGER» . Природные коммуникации . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 289. Бибкод : 2018NatCo...9..289G . дои : 10.1038/s41467-017-02558-1 . ISSN 2041-1723 . ПМК 5773540 . ПМИД 29348613 .
^ Ломбрайзер, Лукас ; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации из-за гравитационных волн и крупномасштабной структуры». Буквы по физике Б. 765 : 382–385. arXiv : 1602.07670 . Бибкод : 2017PhLB..765..382L . дои : 10.1016/j.physletb.2016.12.048 . S2CID 118486016 .
^ «Попытки разгадать загадку теории Эйнштейна могут скоро закончиться» . физ.орг . 10 февраля 2017 г. . Проверено 29 октября 2017 г.
^ «Теоретическая битва: Темная энергия против модифицированной гравитации» . Арс Техника . 25 февраля 2017 г. Проверено 27 октября 2017 г.
^ Эскиага, Хосе Мария; Сумалакарреги, Мигель (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817: тупики и путь вперед». Письма о физических отзывах . 119 (25): 251304. arXiv : 1710.05901 . Бибкод : 2017PhRvL.119y1304E . doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251304 . ПМИД 29303304 . S2CID 38618360 .
^ Креминелли, Паоло; Верницци, Филиппо (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817 и GRB170817A». Письма о физических отзывах . 119 (25): 251302. arXiv : 1710.05877 . Бибкод : 2017PhRvL.119y1302C . doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251302 . ПМИД 29303308 . S2CID 206304918 .
^ Дамур, Тибо ; Пьяцца, Федерико; Венециано, Габриэле (5 августа 2002 г.). «Безудержный дилатон и нарушения принципа эквивалентности». Письма о физических отзывах . 89 (8): 081601. arXiv : gr-qc/0204094 . Бибкод : 2002PhRvL..89h1601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.081601 . ПМИД 12190455 . S2CID 14136427 .

П. Джордан, Гравитация и Вселенная , Vieweg (Брауншвейг), 1955: Проективная теория относительности. Первая статья по теориям JBD.
CH Бранс и Р. Х. Дике, Phys. Rev. 124 : 925, 1061: Теория Бранса – Дике, исходящая из принципа Маха.
Р. Вагонер, Phys. Ред. D1 (812): 3209, 2004: Теории JBD с более чем одним скалярным полем.
А. Зи, Phys. Преподобный Летт. 42 (7): 417, 1979: Сломанно-симметричная скалярно-тензорная теория.
Х. Денен и Х. Фроммерт, Int. Дж. Теория. Физ. 30 (7): 985, 1991: Гравитационноподобное и короткодействующее взаимодействие полей Хиггса в рамках Стандартной модели или элементарных частиц.
Х. Денен и др. , Межд. Дж. Теория. Физ. 31 (1): 109, 1992: Скалярно-тензорная теория с полем Хиггса.
Ч. Бранс, июнь 2005 г.: Корни скалярно-тензорных теорий. arXiv : gr-qc/0506063 . Обсуждается история попыток построения теорий гравитации со скалярным полем и связь с принципом эквивалентности и принципом Маха.
П.Г. Бергманн (1968). «Комментарии к скалярно-тензорной теории». Межд. Дж. Теория. Физ . 1 (1): 25–36. Бибкод : 1968IJTP....1...25B . дои : 10.1007/BF00668828 . S2CID 119985328 .
Р. В. Вагонер (1970). «Скалярно-тензорная теория и гравитационные волны». Физ. Преподобный . Д1 (12): 3209–3216. Бибкод : 1970PhRvD...1.3209W . дои : 10.1103/physrevd.1.3209 .

[1] Галиаутдинов Андрей; Копейкин, Сергей М. (10 августа 2016 г.). «Постньютоновская небесная механика в скалярно-тензорной космологии». Физический обзор D . 94 (4): 044015. arXiv : 1606.09139 . Бибкод : 2016PhRvD..94d4015G . дои : 10.1103/PhysRevD.94.044015 . S2CID 32869795 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Узан, Жан-Филипп (1 декабря 2011 г.). «Варьирующиеся константы, гравитация и космология» . Живые обзоры в теории относительности . 14 (1): 2. arXiv : 1009.5514 . Бибкод : 2011LRR....14....2U . дои : 10.12942/lrr-2011-2 . ISSN 2367-3613 . ПМК 5256069 . ПМИД 28179829 .

[:1-3] Перейти обратно: ^а ^б Дамур, Тибо ; Нордтведт, Кеннет (12 апреля 1993 г.). «Общая теория относительности как космологический аттрактор тензорно-скалярных теорий». Письма о физических отзывах . 70 (15): 2217–2219. Бибкод : 1993PhRvL..70.2217D . дои : 10.1103/PhysRevLett.70.2217 . ПМИД 10053505 .

[4] Дамур, Тибо; Соффель, Майкл; Сюй, Чунмин (15 мая 1991 г.). «Общая релятивистская небесная механика. I. Метод и определение систем отсчета». Физический обзор D . 43 (10): 3273–3307. Бибкод : 1991PhRvD..43.3273D . дои : 10.1103/PhysRevD.43.3273 . ПМИД 10013281 .

[5] Минаццоли, Оливье; Шовино, Бертран (2011). «Скалярно-тензорное распространение света во внутренней Солнечной системе, включая соответствующие вклады c ^ {-4} для измерения дальности и передачи времени» . Классическая и квантовая гравитация . 28 (8): 085010. arXiv : 1007.3942 . Бибкод : 2011CQGra..28h5010M . дои : 10.1088/0264-9381/28/8/085010 . S2CID 119118136 .

[6] Дженуя, Антонио; Мазарико, Эрван; Гуссенс, Сандер; Лемуан, Фрэнк Г.; Нойманн, Грегори А.; Смит, Дэвид Э.; Зубер, Мария Т. (18 января 2018 г.). «Расширение Солнечной системы и строгий принцип эквивалентности глазами миссии НАСА MESSENGER» . Природные коммуникации . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 289. Бибкод : 2018NatCo...9..289G . дои : 10.1038/s41467-017-02558-1 . ISSN 2041-1723 . ПМК 5773540 . ПМИД 29348613 .

[7] Ломбрайзер, Лукас ; Лима, Нельсон (2017). «Проблемы самоускорения в модифицированной гравитации из-за гравитационных волн и крупномасштабной структуры». Буквы по физике Б. 765 : 382–385. arXiv : 1602.07670 . Бибкод : 2017PhLB..765..382L . дои : 10.1016/j.physletb.2016.12.048 . S2CID 118486016 .

[8] «Попытки разгадать загадку теории Эйнштейна могут скоро закончиться» . физ.орг . 10 февраля 2017 г. . Проверено 29 октября 2017 г.

[9] «Теоретическая битва: Темная энергия против модифицированной гравитации» . Арс Техника . 25 февраля 2017 г. Проверено 27 октября 2017 г.

[10] Эскиага, Хосе Мария; Сумалакарреги, Мигель (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817: тупики и путь вперед». Письма о физических отзывах . 119 (25): 251304. arXiv : 1710.05901 . Бибкод : 2017PhRvL.119y1304E . doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251304 . ПМИД 29303304 . S2CID 38618360 .

[11] Креминелли, Паоло; Верницци, Филиппо (18 декабря 2017 г.). «Темная энергия после GW170817 и GRB170817A». Письма о физических отзывах . 119 (25): 251302. arXiv : 1710.05877 . Бибкод : 2017PhRvL.119y1302C . doi : 10.1103/PhysRevLett.119.251302 . ПМИД 29303308 . S2CID 206304918 .

[12] Дамур, Тибо ; Пьяцца, Федерико; Венециано, Габриэле (5 августа 2002 г.). «Безудержный дилатон и нарушения принципа эквивалентности». Письма о физических отзывах . 89 (8): 081601. arXiv : gr-qc/0204094 . Бибкод : 2002PhRvL..89h1601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.89.081601 . ПМИД 12190455 . S2CID 14136427 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]