Кавендишский эксперимент

Схема Кавендиша торсионного маятника, вид сверху. Маятник состоит из двух небольших сферических свинцовых гирь (h, h) , свисающих с 6-футовой горизонтальной деревянной балки, поддерживаемой в центре тонкой крученой проволокой. Балка защищена от воздушных потоков внутри деревянного ящика (А, А, А, А) . Два больших груза (W, W) , прикрепленных к отдельной подвеске, притягивают маленькие грузы, заставляя балку слегка вращаться. Вращение считывается по шкале нониуса (S) на обоих концах стержня. Большие грузы можно повернуть на другую сторону торсионной балки (w, w) , заставляя балку вращаться в противоположном направлении.

Эксперимент Кавендиша , выполненный в 1797–1798 годах английским учёным Генри Кавендишем , был первым экспериментом по измерению силы гравитации между массами в лаборатории. и первым, кто дал точные значения гравитационной постоянной . Из-за используемых тогда условных единиц измерения гравитационная постоянная не фигурирует явно в работе Кавендиша. результат первоначально был выражен как относительная плотность Земли Вместо этого , или, что эквивалентно, масса Земли . Его эксперимент дал первые точные значения этих геофизических констант.

Эксперимент был разработан где-то до 1783 года геологом Джоном Мичеллом . который сконструировал торсионный балансовый для него аппарат. Однако Мичелл умер в 1793 году, не завершив работу. После его смерти аппарат перешел к Фрэнсису Джону Хайду Волластону , а затем к Кавендишу, который восстановил аппарат, но придерживался первоначального плана Мичелла. Затем Кавендиш провел серию измерений с помощью оборудования и сообщил о своих результатах в «Философских трудах Королевского общества» в 1798 году.

Эксперимент

Аппарат состоял из крутильных весов сферами диаметром 2 дюйма (51 мм) и массой 1,61 фунта (0,73 кг) , состоящих из деревянного стержня длиной шесть футов (1,8 м), горизонтально подвешенного на проволоке, с двумя свинцовыми , одна из которых была прикреплена к каждый конец. Два массивных свинцовых шара размером 12 дюймов (300 мм) и весом 348 фунтов (158 кг), подвешенных отдельно, можно было расположить на расстоянии от меньших шаров или по обе стороны от них на расстоянии 8,85 дюймов (225 мм). В ходе эксперимента было измерено слабое гравитационное притяжение между маленьким и большим шариками, которое отклонило торсионный балансир примерно на 0,16 дюйма (или всего на 0,03 дюйма с более жесткой подвесной проволокой).

Вертикальный разрез торсионного весового прибора Кавендиша, включая здание, в котором он располагался. Большие шары подвешивались к раме, чтобы их можно было вращать с помощью шкива снаружи. Рисунок 1 из статьи Кавендиша

Деталь, показывающая торсионный балансир ( m ), большой шарик ( W ), маленький шарик ( x ) и изолирующую коробку ( ABCDE ).

Два больших шара можно было расположить либо поодаль, либо по обе стороны от торсионного балансира. Их взаимное притяжение к маленьким шарикам заставило рычаг вращаться, скручивая подвесной трос. Рука поворачивалась до тех пор, пока не достигла угла, при котором сила скручивания проволоки уравновешивала объединенную силу гравитационного притяжения между большой и малой свинцовыми сферами. Измерив угол стержня и зная силу скручивания ( крутящий момент ) проволоки для данного угла, Кавендиш смог определить силу между парами масс. Поскольку гравитационную силу Земли, действующую на маленький шарик, можно было измерить непосредственно, взвесив его, соотношение двух сил позволило рассчитать относительную плотность Земли, используя закон гравитации Ньютона .

Кавендиш установил, что плотность Земли в 5,448 ± 0,033 раза превышает плотность воды (хотя из-за простой арифметической ошибки, обнаруженной в 1821 году Фрэнсисом Бейли , в его статье фигурирует ошибочное значение 5,480 ± 0,038 ). Текущее принятое значение — 5,514 г/см. ³ .

проволоки Чтобы найти коэффициент скручивания , крутящий момент, оказываемый проволокой при заданном угле скручивания, Кавендиш рассчитал период собственных колебаний балансирного стержня, когда он медленно вращался по часовой стрелке и против часовой стрелки против скручивания проволоки. Для первых трех экспериментов этот период составлял около 15 минут, а для следующих 14 экспериментов — вдвое меньше, около 7,5 минут. Период изменился, потому что после третьего эксперимента Кавендиш вставил более жесткую проволоку. Коэффициент кручения можно рассчитать исходя из этого, а также массы и размеров баланса. На самом деле стержень никогда не находился в состоянии покоя; Кавендишу пришлось измерить угол отклонения стержня во время его колебаний.

Оборудование Кавендиша было удивительно чувствительным для своего времени. Сила, участвующая в скручивании торсионного баланса, была очень небольшой, 1,74 × 10. ⁻⁷ Н , (вес всего 0,0177 миллиграмма) или около 1 ⁄ 50 000 000 веса маленьких шариков. Чтобы потоки воздуха и изменения температуры не мешали измерениям, Кавендиш поместил весь аппарат в ящик из красного дерева шириной около 1,98 метра, высотой 1,27 метра и толщиной 14 см, [1] и все это в закрытом сарае в своем поместье. Через два отверстия в стенах сарая Кавендиш использовал телескопы, чтобы наблюдать за движением горизонтального стержня торсионных весов. Ключевым наблюдаемым явлением, конечно же, было отклонение торсионного балансировочного стержня, которое, по измерениям Кавендиша, составило около 0,16 дюйма (или всего 0,03 дюйма для используемой в основном более жесткой проволоки). Кавендишу удалось измерить это небольшое отклонение с точностью лучше 0,01 дюйма (0,25 мм), используя нониусные шкалы на концах стержня. Точность результата Кавендиша не была превышена до эксперимента К.В. Бойса в 1895 году. Со временем торсионные весы Мичелла стали доминирующим методом измерения гравитационной постоянной ( G ), и в большинстве современных измерений до сих пор используются ее вариации.

Результат Кавендиша предоставил дополнительные доказательства существования ядра планеты из металла — идея, впервые предложенная Чарльзом Хаттоном на основе его анализа эксперимента Шихаллиона 1774 года . Результат Кавендиша 5,4 г·см. ⁻³ , на 23% больше, чем у Хаттона, что близко к 80% плотности жидкого железа Земли и на 80% выше, чем плотность внешней коры , что позволяет предположить существование плотного железного ядра.

Кавендиша G

Формулировка ньютоновской гравитации в терминах гравитационной постоянной стала стандартной лишь спустя много времени после времен Кавендиша. Действительно, одно из первых упоминаний о G относится к 1873 году, через 75 лет после работы Кавендиша.

Кавендиш выразил свой результат через плотность Земли. В переписке он называл свой эксперимент «взвешиванием мира». Более поздние авторы переформулировали его результаты в современных терминах.

$G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,$

После перевода в единицы СИ значение Кавендиша для плотности Земли составляет 5,448 г · см. ⁻³ , дает

Г = 6,74 × 10 ⁻¹¹ м ³ кг ^–1 с ⁻² ,

что отличается всего на 1% от значения CODATA 2014 года , равного 6,67408 × 10. ⁻¹¹ м ³ кг ⁻¹ с ⁻² . Сегодня физики часто используют единицы, в которых гравитационная постоянная принимает другую форму. используемая Гравитационная постоянная Гаусса, в космической динамике, является определенной константой, и эксперимент Кавендиша можно рассматривать как измерение этой константы. Во времена Кавендиша физики использовали одни и те же единицы измерения массы и веса, фактически принимая g за стандартное ускорение. Затем, поскольку R- _земля была известна, ρ- _земля играла роль обратной гравитационной постоянной. Таким образом, плотность Земли была в то время очень востребованной величиной, и ранее предпринимались попытки ее измерения, такие как эксперимент Шихаллиона в 1774 году.

Вывод G Земли

Определения терминов см. на рисунке ниже и в таблице в конце этого раздела.

Ниже описан не тот метод, который использовал Кавендиш, а описание того, как современные физики рассчитали бы результаты его эксперимента. По закону Гука крутящий момент на крученной проволоке пропорционален углу отклонения. $\theta$баланса. Крутящий момент $\kappa \theta$ где $\kappa$– коэффициент кручения проволоки. Однако крутящий момент в противоположном направлении также создается гравитационным притяжением масс. Его можно записать как произведение силы притяжения большого шара на маленький шарик и расстояния L/2 до подвесного троса. Так как имеется две пары шариков, каждая из которых испытывает силу F на расстоянии L / 2 от оси баланса, крутящий момент силы тяжести равен LF . В состоянии равновесия (когда баланс стабилизирован под углом $\theta$), общая величина крутящего момента должна быть равна нулю, поскольку эти два источника крутящего момента уравновешиваются. Таким образом, мы можем приравнять их величины, заданные формулами выше, что дает следующее:

$\kappa \theta \ =LF\,$

Для F Ньютона : закон всемирного тяготения используется для выражения силы притяжения между большим и маленьким шаром

Упрощенная схема торсионного баланса

$F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,$

Подстановка F в первое уравнение выше дает

$\kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,$

Чтобы найти коэффициент кручения ( $\kappa$) проволоки Кавендиш измерил период собственных резонансных колебаний T крутильных весов:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}$

Если предположить, что масса самой торсионной балки незначительна, то момент инерции баланса обусловлен как раз маленькими шариками. Если рассматривать их как точечные массы, каждая на расстоянии L/2 от оси, получим:

$I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,$,

и так:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,$

Решая это для $\kappa$, подставив в (1) и переставив G , результат:

$G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,$.

Как только G будет найден, притяжение объекта на поверхности Земли к самой Земле можно использовать для расчета Земли массы и плотности :

$mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,$

$M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,$

$\rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,$

Определения терминов

Символ	Единица	Определение
$\theta$	радианы	Отклонение торсионного балансира от исходного положения
Ф	Н	Гравитационная сила между массами M и m
г	м 3 кг −1 с −2	Гравитационная постоянная
м	кг	Масса небольшого свинцового шарика
М	кг	Масса большого свинцового шарика
р	м	Расстояние между центрами большого и маленького шариков при отклонении баланса
л	м	Длина торсионного балансира между центрами маленьких шариков
$\kappa$	Нм рад −1	Коэффициент скручивания подвесного провода
я	кг м 2	Момент инерции торсионного балансира
Т	с	Период колебаний торсионных весов
г	РС −2	Ускорение силы тяжести на поверхности Земли
М земля	кг	Масса Земли
Р земля	м	Радиус Земли
$\rho$земля	кг м −3	Плотность Земли

Ссылки

Источники

• Мальчики, К. Вернон (1894). «О постоянной гравитации Ньютона» . Природа . 50 (1292): 330–334. Бибкод : 1894Natur..50..330. . дои : 10.1038/050330a0 . Проверено 30 декабря 2013 г.
• Кавендиш, Генри (1798). «Опыты по определению плотности Земли» . Философские труды Королевского общества . 88 : 469–526. дои : 10.1098/rstl.1798.0022 .
• Клотфелтер, Бельгия (1987). «Эксперимент Кавендиша, каким его знал Кавендиш». Американский журнал физики . 55 (3): 210–213. Бибкод : 1987AmJPh..55..210C . дои : 10.1119/1.15214 . Устанавливает, что Кавендиш не определил Г.
• Фальконер, Изобель (1999). «Генри Кавендиш: человек и измерение». Измерительная наука и технология . 10 (6): 470–477. Бибкод : 1999MeScT..10..470F . дои : 10.1088/0957-0233/10/6/310 . S2CID   250862938 .
• Ходжес, Лоран (1999). «Эксперимент Мичелла-Кавендиша, веб-сайт факультета Университета штата Айова» . Архивировано из оригинала 6 сентября 2017 г. Проверено 30 декабря 2013 г. Обсуждает вклад Мичелла и определил ли Кавендиш Г.
• Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш . Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество . ISBN  978-0-87169-220-7 . Проверено 30 декабря 2013 г.
• Лалли, Шон П. (1999). «Генри Кавендиш и плотность Земли». Учитель физики . 37 (1): 34–37. Бибкод : 1999PhTea..37...34L . дои : 10.1119/1.880145 .
• Пойнтинг, Джон Х. (1894). Средняя плотность Земли: эссе, за которое в 1893 году была присуждена премия Адамса . Лондон: К. Гриффин и компания . Проверено 30 декабря 2013 г. Обзор гравитационных измерений с 1740 года.
• Пойнтинг, Джон Генри (1911). «Гравитация» . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . Том. 12 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 384–389.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с экспериментом Кавендиша, на Викискладе?

• Эксперимент Кавендиша в Фейнмановских лекциях по физике.
• Боковая гравитация в подвале, The Citizen Scientist , 1 июля 2005 г. Самодельный эксперимент Кавендиша, демонстрирующий расчет результатов и меры предосторожности, необходимые для устранения ветровых и электростатических ошибок.
• "Big 'G'", Physics Central , получено 8 декабря 2013 г. Эксперимент в Univ. Вашингтона для измерения гравитационной постоянной, используя вариацию метода Кавендиша.
• Eöt-Wash Group, Univ. Вашингтона. «Спор о гравитационной постоянной Ньютона» . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 8 декабря 2013 г. . Обсуждается современное состояние измерений G .
• Модель торсионных весов Кавендиша , найденная 28 августа 2007 года в Музее науки в Лондоне.