Вспомогательное поле

В физике , и особенно в квантовой теории поля , вспомогательное поле — это поле, уравнения движения которого допускают единственное решение. Поэтому лагранжиан , описывающий такое поле $A$ содержит алгебраический квадратичный член и произвольный линейный член, но не содержит кинетических членов (производных поля):

${\mathcal {L}}_{\text{aux}}={\frac {1}{2}}(A,A)+(f(\varphi ),A).$

Уравнение движения для $A$ является

$A(\varphi )=-f(\varphi ),$

и лагранжиан становится

${\mathcal {L}}_{\text{aux}}=-{\frac {1}{2}}(f(\varphi ),f(\varphi )).$

Вспомогательные поля обычно не распространяются, и, следовательно, содержание любой теории может оставаться неизменным во многих обстоятельствах, если добавить такие поля вручную.Если у нас есть начальный лагранжиан ${\mathcal {L}}_{0}$ описание поля $\varphi$, то лагранжиан, описывающий оба поля, равен

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}(\varphi )+{\mathcal {L}}_{\text{aux}}={\mathcal {L}}_{0}(\varphi )-{\frac {1}{2}}{\big (}f(\varphi ),f(\varphi ){\big )}.$

Следовательно, вспомогательные поля могут использоваться для сокращения квадратичных членов в $\varphi$ в ${\mathcal {L}}_{0}$ и линеаризовать действие ${\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\,d^{n}x$.

Примерами вспомогательных полей являются комплексное скалярное поле F в киральном суперполе , действительное скалярное поле D в векторном суперполе , скалярное поле B в БРСТ и поле в преобразовании Хаббарда – Стратоновича .

Квантово -механический эффект добавления вспомогательного поля такой же, как и классический , поскольку интеграл по путям по такому полю является гауссовым . А именно:

$\int _{-\infty }^{\infty }dA\,e^{-{\frac {1}{2}}A^{2}+Af}={\sqrt {2\pi }}e^{\frac {f^{2}}{2}}.$

См. также

• Бозонное поле
• Фермионное поле
• Составное поле